一句話，科學(xué)的需要和對方法論的興趣，推動了費爾馬和笛卡爾對坐標(biāo)幾何的研究。

費爾馬

費爾馬，出身于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好。雖然他只能利用閑暇時間研究數(shù)學(xué)，但他對數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。并同巴斯卡(Passcal)一同開創(chuàng)了概率論的研究工作，他和笛卡爾都是坐標(biāo)幾何的發(fā)明者。

費爾馬關(guān)于曲線的工作，是從研究古希臘幾何學(xué)家，特別是阿波羅尼(Apollonius)開始的。阿波羅尼的《論平面軌跡》一書久已失傳，而費爾馬是把它重新寫出來的人之一。他用代數(shù)來研究曲線。他說，他打算發(fā)起一個關(guān)于軌跡的一般研究，在這種研究是古希臘人沒做到的。1629年他寫了一本《平面和立體的軌跡引論》（1679年發(fā)表），書中說，他找到了一個研究有關(guān)曲線問題的普遍方法。

費爾馬的坐標(biāo)幾何研究怎樣產(chǎn)生的，我們不知道，很可能把阿波羅尼的結(jié)果，直接翻譯成代數(shù)的形式。他考慮任意曲線和它上面的一般點J，J的位置用A、E兩個字母定出：A是從原點O沿底線到點Z的距離，E是從Z到J的距離。它所用的坐標(biāo)，就是我們現(xiàn)在的斜坐標(biāo)。但是Y軸沒有明白出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)，它的A，E就是我們現(xiàn)在的X,Y.

費爾馬把他的一般原理，敘述為“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩各未知量，我們就得到一個軌跡，這兩個量之一，其末端描繪出一條直線或曲線?！鼻拔闹袑Σ煌恢玫腅,其末端J,……就把“線”描出，它的未知量A和E，實際是變數(shù)?；蛘呖梢哉f，聯(lián)系A(chǔ)和E的方程是不定的。他寫出聯(lián)系A(chǔ)、E的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他給出方程（用我們現(xiàn)在的寫法就是）dx=by，并指出這代表一條直線。他又給出d(a-x)=by,并指出它也表示一條直線。方程p2-x2=y2代表一個圓。a2+x2=ky2和xy=a各代表一條雙曲線，x2=ay代表一條拋物線，而且費爾馬確實領(lǐng)悟到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)。因為他給出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡化到的簡單形式。他肯定地得到如下結(jié)論：一個聯(lián)系著A、E的方程，如果是一次的就代表直線，如果是二次的就代表圓錐曲線。

笛卡爾

　　
笛卡爾，首先是一位杰出的近代哲學(xué)家。他是近代生物學(xué)的奠基人、第一流的物理學(xué)家，同時也是一位數(shù)學(xué)家。它的父親是一位相當(dāng)富有的律師。笛卡爾大學(xué)畢業(yè)后去巴黎當(dāng)律師，在那里他花了一年的時間，跟兩位神甫一起研究數(shù)學(xué)。其后九年中，他曾在幾個軍隊中服役，但他一直研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布萊達(dá)地方的招貼牌有一個挑戰(zhàn)性的問題，被他解決了。這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開始用心于數(shù)學(xué)?；氐桨屠韬?，他為望遠(yuǎn)鏡的威力所激動，又一心鉆研光學(xué)儀器的理論和構(gòu)造。1682年他32歲時移居荷蘭，得到較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境，在那里住了二十年，寫出了著名的作品。1649年他被邀請去做瑞典女皇的教師，第二年在那里患肺炎逝世，享年五十四歲。
　　
1637年笛卡爾寫的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書出版，這是一本文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個著名的附錄：《幾何》、《折光》和《隕星》?！稁缀巍肥撬鶎懙奈ㄒ灰槐緮?shù)學(xué)書，他關(guān)于坐標(biāo)幾何的思想，就包括在它的這本《幾何》中。笛卡爾的其他著作有《思想的指導(dǎo)法則》，《世界體系》，《哲學(xué)原理》，《音樂概要》。
　　
笛卡爾是通過三個途徑來研究數(shù)學(xué)的，作為一個哲學(xué)家，他把數(shù)學(xué)方法看作是在一切領(lǐng)域建立真理的方法來研究。作為自然科學(xué)的研究者，它廣泛地研究了力學(xué)、水靜力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)等各個方面，它的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學(xué)的。作為一個關(guān)心科學(xué)用途的人，他強調(diào)把科學(xué)成果付之應(yīng)用。在這一點上，他同希臘人明白地公開決裂。由于他注意到數(shù)學(xué)的力量，他就是要去尋找數(shù)學(xué)的用途。他不推崇純粹數(shù)學(xué)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)不是思維訓(xùn)練，而是一門建設(shè)性的有用科學(xué)。他認(rèn)為把數(shù)學(xué)方法用到數(shù)學(xué)本身是沒有價值的，因為這不算是研究自然。那些為數(shù)學(xué)而搞數(shù)學(xué)的人，是白費精力的盲目研究者。

笛卡爾對當(dāng)時幾何和代數(shù)的研究方法進(jìn)行了分析和比較，他認(rèn)為沒有任何東西比幾何圖形更容易印入人的腦際了。因此用這種方式表達(dá)事物是非常有益的，但他對歐幾里德幾何中的每一個證明都要求某種新的往往是奇巧的想法，這一點深感不安。他還批評希臘人的幾何過多地依賴于圖形。他完全看到了代數(shù)的力量，看到他在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時強調(diào)代數(shù)的一般性，以及它把程序機(jī)械化和把解題工作量減小的價值。他看到代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。他對當(dāng)時通行的代數(shù)也加以批評，說它完全受公式和法則的控制，不像一門改進(jìn)思想的科學(xué)。因此它主張采取代數(shù)和幾何中一切最好的東西，互相以長補短。它所作的工作就是把代數(shù)用到幾何上去。在這里，他對方法的普遍興趣和他對代數(shù)的專門知識，就組成了聯(lián)合力量，于是就產(chǎn)生了它的《幾何》一書。

　　
在《幾何》一書中，他開始仿照韋達(dá)(Vjeta)的方法，用代數(shù)解決幾何作圖題，后來才逐漸出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。
　　
在《幾何》第一卷的前一半中，笛卡爾用代數(shù)解決的只是古典的幾何作圖題，這只不過是代數(shù)在幾何上的一個應(yīng)用，并不是現(xiàn)代意義下的解析幾何。
　　
下一步，笛卡爾考慮了不確定的問題，其結(jié)果可以有很多長度作為答案。這些長度的端點充滿一條曲線。他說：“也要求發(fā)現(xiàn)并描出這條包括所有端點的曲線”。曲線的描出，根據(jù)于最后得到的不定方程，笛卡爾指出：對于每一個x，長度y滿足一個確定的方程，因而可以畫出。
　　
笛卡爾的做法，是選定一條直線作為基線，以點Ａ為原點，x值是基線上從Ａ量起一個線段的長度。y是由基線出發(fā)與基線作成一個固定角度的一個線段的長度。這個坐標(biāo)系我們現(xiàn)在叫作斜角坐標(biāo)系。笛卡爾的x、y只取正值，即圖形在第一象限內(nèi)。
　　
有了曲線方程的思想之后，笛卡爾進(jìn)一步發(fā)展了它的思想。
　　
1、曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。
2、同一坐標(biāo)系中兩個曲線的方程聯(lián)立，可解出交點。
3、曲線概念的推廣，古希臘人說平面曲線是可以用直尺和圓規(guī)畫出的曲線，而笛卡爾則排斥了這種認(rèn)為只有用直尺和圓規(guī)畫出的曲線才是合法的思想，他提出，那些可用一個唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程表示出的曲線，都是幾何曲線。這樣，例如蔓葉線（x3+y3-3axy=0）和蚌線都被承認(rèn)是幾何曲線，其他如螺線等，笛卡爾稱之為機(jī)械曲線[萊布尼茲(Leibniz)后來把它們分別稱之為代數(shù)曲線和超越曲線]。笛卡爾對曲線概念的這一推廣，取消了曲線是否存在看它是否可以用圓規(guī)和直尺畫出這個判別標(biāo)準(zhǔn)，不但接納了以前被排斥的曲線，而且開辟了整個曲線領(lǐng)域，牛頓(Newton)1707年稱這是“把所有何以用方程表示的線都接收到幾何里”。
　　
從上面的敘述我們可以看出，費爾馬和笛卡爾良人各自都研究了坐標(biāo)幾何，但他們研究的目的和方法卻有明顯不同。費爾馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼的工作。而笛卡爾批評了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個傳統(tǒng)決裂。雖然用方程表示曲線的思想，在費爾馬的工作中更為明顯，但應(yīng)該說真正發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法的威力的是笛卡爾。

有種種原因，使坐標(biāo)幾何的思想──用代數(shù)方程表示并研究曲線的思想，在當(dāng)時沒有很快地被數(shù)學(xué)家們熱情地接受并利用。
　　
一個原因是因為費爾馬的書《軌跡引論》到1679年才出版，而笛卡爾的《幾何》中對幾何作圖題的強調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實上，許多和他同時代的人，都認(rèn)為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問題的工具，甚至萊布尼茲說笛卡爾的工作是退回到古代。雖然笛卡爾本人確實知道，它的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于提供一個解決作圖問題的工具，他在《幾何》的引言中說：“我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察在這些性質(zhì)的方法，根據(jù)我看遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述?！钡们€方程之處，確實被他的作圖問題所掩蓋。
　　
坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一個原因，是笛卡爾的書《幾何》寫得使人難懂。書中許多模糊不清之處，是他故意搞的。它說歐洲幾乎沒有一個數(shù)學(xué)家能讀懂他的著作，他只約略指出作圖法和證法，而留給別人去填寫入細(xì)節(jié)。他在一封信中把他的工作比作建筑師的工作，只是定出計劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工和瓦工。他還說：“我沒有做過任何不經(jīng)心得刪節(jié)，但我預(yù)見到，對于那些自命無所不知的人，我如果寫的使他們能充分理解，他們將不失機(jī)會地說我寫的都是他們已經(jīng)知道的東西?！边€有另一理由，在《幾何》中他說，他不愿意奪去讀者們自己進(jìn)行加工的樂趣。的確，它的思想必須從它的書中許多解出的例題里去推測，他說，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因為如果有人不嫌麻煩而去系統(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。
　　
影響坐標(biāo)幾何被迅速接收的原因，還有一個是許多數(shù)學(xué)家反對把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，認(rèn)為數(shù)量運算和幾何量的運算要加以區(qū)別，不能混淆。再一個原因是當(dāng)時代數(shù)被認(rèn)為是缺乏嚴(yán)密性的。
　　
上述種種原因，雖然阻礙了對費爾馬和笛卡爾的貢獻(xiàn)的了解，但也有很多人逐漸采用并擴(kuò)展了坐標(biāo)幾何。
　　

解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當(dāng)大的進(jìn)展，因此解析幾何不是一個巨大的成就，但在方法論上卻是一個了不起的創(chuàng)建。
　　
1、笛卡爾希望通過解析幾何引進(jìn)一個新的方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關(guān)于曲線的某些事實，而且這個探索問題的方式，幾乎成為自動的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負(fù)數(shù)，甚至以后代表復(fù)數(shù)時，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點時，必須分別考慮交點在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時，則不須加區(qū)別。
　　
2、解析幾何把代數(shù)和幾何結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)造成一個雙面的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達(dá)到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點來求三次和四次方程的實根的著名方法），拉格朗日(Lagrange)曾把這些優(yōu)點寫進(jìn)他的《數(shù)學(xué)概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，他們的進(jìn)展就緩慢，他們的應(yīng)用就狹窄。但當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善?！钡拇_，十七世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于解析幾何，可以說微分學(xué)和積分學(xué)如果沒有解析幾何的預(yù)先發(fā)展是難以想象的。
　　
3、解析幾何的顯著優(yōu)點在于它是數(shù)量工具。這個數(shù)量工具是科學(xué)的發(fā)展久已迫切需要的。十七世紀(jì)一直公開要求著的，例如當(dāng)開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞著太陽運動，伽利略發(fā)現(xiàn)拋出去的石子沿著拋物線的軌道飛出去時就必須計算這些橢圓和炮彈飛時所畫的拋物線了。這些都需要提供數(shù)量的工具，研究物理世界，似乎首先需求幾何。物體基本上是幾何的形象，運動物體的路線是曲線，研究它們都需要數(shù)量知識。而解析幾何能使人把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識。

　　
解析幾何的重要性在于他的方法──建立坐標(biāo)系，用方程來表示曲線，通過研究方程來研究曲線。
　　
蘇聯(lián)著名幾何學(xué)家格列諾夫在他所編的《解析幾何》前言中說：“解析幾何沒有嚴(yán)格確定的內(nèi)容，對它來說，決定性的因素，不是研究對象，而是方法?！薄斑@個方法的實質(zhì)，在于用某種標(biāo)準(zhǔn)的方式把方程（方程組）同幾何對象（即圖形）相對應(yīng)，使得圖形的幾何關(guān)系在其方程的性質(zhì)中表現(xiàn)出來?！?br>　　
由于解析幾何方法解決各類問題的普遍性，它已成為幾何研究中的一個基本方法。不僅如此，它還被廣泛應(yīng)用于其他精確的自然科學(xué)領(lǐng)域，如力學(xué)和物理學(xué)之中。
　　
因此我們學(xué)習(xí)解析幾何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不僅僅在于記住它的某些具體結(jié)論。
　　
解析幾何的基本方法，包括兩個方面：一是由圖形到方程，二是從方程到圖形，也就是選擇坐標(biāo)系，建立圖形方程。通過對方程的研究得到圖形的性質(zhì)，了解圖形的形狀。
　　
解析幾何離不開代數(shù)，但又要隨時把各種代數(shù)表示的幾何涵義放在心中。學(xué)習(xí)中要特別注意，培養(yǎng)自己的幾何直觀能力。這種能力對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是極為重要的。
　　
應(yīng)用解析幾何的方法，可以研究很多具體對象。因為我們應(yīng)把目的放在掌握基本方法上，采取“研究對象簡單一些，突出基本方法”的方針，避免發(fā)生因為研究對象復(fù)雜，引起很多枝節(jié)，從而淹沒了基本方法的現(xiàn)象。這也是笛卡爾留給我們的一個教訓(xùn)。它就是因為講了很多很多的作圖題，把它的關(guān)于解析幾何的基本思想淹沒了。