貝葉斯定理是什么，有什么用處？可能很多人都聽(tīng)過(guò)這個(gè)貝葉斯定理，卻對(duì)它一知半解。事實(shí)上，不懂貝葉斯定理不會(huì)讓我們的生活崩塌，不會(huì)讓我們的生活一團(tuán)亂麻，但是一旦掌握了貝葉斯定理，在很多決策場(chǎng)景中，我們將會(huì)變得更加明智。

今天我們將通過(guò)一個(gè)實(shí)際生活中的案例，用最通俗的方式幫助大家理解它。后續(xù)的話，我會(huì)為大家講解如何用Python在實(shí)際案例中應(yīng)用貝葉斯定理，感興趣的朋友歡迎關(guān)注哦。

小明到底有沒(méi)有得癌癥？

這是一個(gè)非常經(jīng)典的案例，令人難以想象的是，很多時(shí)候一些醫(yī)生的誤診竟是因?yàn)樗麄儾欢惾~斯定理！

考慮這樣的場(chǎng)景，醫(yī)生常通過(guò)某種血檢來(lái)輔助判斷病人是否罹患某種癌癥。但是這種血檢返回的結(jié)果并不是百分百的精準(zhǔn)，當(dāng)患者的確患病時(shí)，血檢返回陽(yáng)性的概率為98%；當(dāng)患者沒(méi)有患病時(shí)，血檢返回陰性的概率為97%。已知有千分之一的人會(huì)得這種癌癥。

現(xiàn)在小明做了這種血檢，并且檢測(cè)結(jié)果顯示陽(yáng)性，那么請(qǐng)問(wèn)他得病的可能性大，還是沒(méi)病的可能性大呢？

用直覺(jué)來(lái)判斷，是不是第一反應(yīng)就是小明大概率得了這種癌癥了？

然而事實(shí)并非如此，小明得病的概率僅有3.17%！是不是非常難以置信？檢驗(yàn)為陽(yáng)性的時(shí)候，小明患病的概率竟然只有3.17%！現(xiàn)在應(yīng)該很多同學(xué)不認(rèn)可這個(gè)結(jié)果，那么接下來(lái)我們就看一下貝葉斯定理是個(gè)什么東西。

條件概率

認(rèn)識(shí)貝葉斯定理之前，我們有必要先了解下條件概率以及它的一些性質(zhì)。

條件概率是指在某些背景約束（或前提條件）下某事件發(fā)生的概率，比如令一名學(xué)生考上清華大學(xué)作為事件A，其概率為P(A)，學(xué)生是女生作為事件B，其概率為P(B)，那么在學(xué)生是女生的前提條件下，學(xué)生考上清華的概率就是P(A|B)。下面我們分別考慮事件A與事件B之間是否相互獨(dú)立的情況。

• 事件A與事件B相互獨(dú)立：
• 如果事件A和時(shí)間B是相互獨(dú)立的，那么P(A)=P(A|B)，無(wú)論B是否發(fā)生，對(duì)于事件A的發(fā)生沒(méi)有影響，這時(shí)也有P(AB)=P(A)P(B)，即事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率是兩個(gè)事件各自發(fā)生概率的乘積。
• 事件A與事件B之間不相互獨(dú)立：
• 事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率為P(AB)，那么P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)，也就是說(shuō)兩事件同時(shí)發(fā)生的概率為其中一個(gè)事件發(fā)生的概率乘以在該事件發(fā)生的前提下另一事件發(fā)生的概率。無(wú)論事件A、B之間是否相互獨(dú)立，這個(gè)等式都成立，它就是貝葉斯定理的基礎(chǔ)。

貝葉斯定理

從式（1）可以得知：

式（2）就是鼎鼎大名的貝葉斯定理了，我們來(lái)從另一個(gè)角度理解一下它的意義。我們用數(shù)據(jù)集D替換事件B，用假設(shè)H替換事件A，得到：

這就給我們提供了一種方法，可以根據(jù)數(shù)據(jù)集D的變化不斷更新假設(shè)H發(fā)生的概率，這種方式被稱作“歷史詮釋”。

• P(H)可以理解為假設(shè)H發(fā)生的先驗(yàn)概率；
• P(H|D)則可以理解為假設(shè)H發(fā)生的后驗(yàn)概率，是在我們獲得了更多數(shù)據(jù)的情況下推斷出的更先進(jìn)的概率；
• 我們每次獲得的新知識(shí)，也就是后驗(yàn)的數(shù)據(jù)，都會(huì)作為下一次計(jì)算的先驗(yàn)數(shù)據(jù)；
• P(D|H)可以被理解為似然度，也就是在假設(shè)H發(fā)生的情況下，數(shù)據(jù)分布剛好是D的概率；
• P(D)則是在任何假設(shè)下數(shù)據(jù)分布剛好為D的概率，我們把它稱為標(biāo)準(zhǔn)化常量。

那么我們現(xiàn)在來(lái)回頭看小明是否得癌癥的問(wèn)題。

等式的前半部分就是貝葉斯定理的公式。而在后邊計(jì)算P(陽(yáng)性)的時(shí)候，可以看到我們用了兩部分相加得到了P(陽(yáng)性)。這里我們不得不介紹一下全概率公式：

拿我們這個(gè)例子來(lái)說(shuō)，P(B)就是P(陽(yáng)性)，然而P(陽(yáng)性)的數(shù)據(jù)我們無(wú)法直接獲取，但是我們知道在患病和無(wú)病的條件下血檢為陽(yáng)性的概率，也知道患病和無(wú)病的概率，因此把患病情況下血檢為陽(yáng)性的條件概率乘以患病的概率，再加上無(wú)病情況下血檢為陽(yáng)性的條件概率乘以無(wú)病的概率，就是所有情況下血檢為陽(yáng)性事件發(fā)生的概率了，即：

那么最后我們給出完整的計(jì)算過(guò)程：

你學(xué)會(huì)了嗎？有任何問(wèn)題都可以在下方留言，我會(huì)一一回答！