質(zhì)數(shù)合數(shù) 分解質(zhì)因數(shù)

悟癡 2018-11-26

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一、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念

自然數(shù)可以按約數(shù)（即因數(shù)）的個數(shù)進行分類：

①質(zhì)數(shù)：只能被1和自身整除的自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)，即質(zhì)數(shù)只有兩個約數(shù)（即因數(shù)）：1和它本身。如2、3、5等

②合數(shù)：除了能被1和自身整除外，還有能被其他整數(shù)整除的自然數(shù)叫合數(shù)，即，合數(shù)的約數(shù)（即因數(shù)）多于2個，除了1和它本身外，還有別的約數(shù)（即因數(shù)）。如4、6、8等等

③1 1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)的自然數(shù)只有1

注意：

1不能質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)

2是最小的質(zhì)數(shù)，也是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)

4是最小的合數(shù)

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

二、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的應(yīng)用

例1．3個質(zhì)數(shù)的和是80，這3個質(zhì)數(shù)的積最大是多少？

解析：由于3個數(shù)的和是偶數(shù)，所以這3個數(shù)中必有一個是偶數(shù)，在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，所以3個數(shù)中一定有2。

另兩個質(zhì)數(shù)的和是78，要使乘積最大，這兩個質(zhì)數(shù)應(yīng)該相差盡可能小，顯然，和是78的兩個質(zhì)數(shù)，41和37的差最小，即這兩個數(shù)的積是最大。

2×37×41=3034

這3個質(zhì)數(shù)乘積最大是3034。

例2．一個兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后，仍是一個兩位質(zhì)數(shù)，我們稱這樣的兩位質(zhì)數(shù)為“無暇質(zhì)數(shù)”，則所有“無暇質(zhì)數(shù)”之和等于多少？

解析：設(shè)“無暇質(zhì)數(shù)”為ab，那么ba也是質(zhì)數(shù)

因此，a、b無為奇數(shù)，容易檢驗，“無暇質(zhì)數(shù)”分別是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9個

所以，它們的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429

例3．正方體紙盒的每個面上都寫有一個自然數(shù)，并且相對兩個面所寫的兩數(shù)之和都相等。若18對面所寫的質(zhì)數(shù)是a，14對面所寫的質(zhì)數(shù)是b，35對面所寫的質(zhì)數(shù)是c，那么a+b+c=？

解析：由題意可知18+a=14+b=35+c，要想等式成立，a、b、c的奇偶性應(yīng)分別為奇、奇、偶或偶、偶、奇。而a、b、c均為質(zhì)數(shù)，所以只有c=2成立，此時b=23，a=19，所以a+b+c=44

例4．一個質(zhì)數(shù)的2倍與另一個質(zhì)數(shù)的3倍之和是100，這兩個質(zhì)數(shù)的積是多少？

解析：一個質(zhì)數(shù)的2倍是一個偶數(shù)，由于和是100，也是偶數(shù)，所以另一個質(zhì)數(shù)的3倍應(yīng)該是偶數(shù)，即另一個質(zhì)數(shù)是偶數(shù)，即是2，我們可以把剩余的那個質(zhì)數(shù)求出來，是47，

兩個質(zhì)數(shù)之積是2×47=94

三、分解質(zhì)因數(shù)的應(yīng)用

質(zhì)因數(shù)：如果一個數(shù)的約數(shù)（即因數(shù)）是質(zhì)數(shù)，這個約數(shù)（即因數(shù)）就叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：就是把一個數(shù)表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如： 12=2×2×3

例1．四個連續(xù)自然數(shù)的積是360，求這四個自然數(shù)

解析：360=2×2×2×3×3×5

=3×（2×2）×5×（2×3）

=3×4×5×6

例2．把9、15、28、30、34、55、77、85這八個數(shù)平均分成兩組，使每組里四個數(shù)的乘積相等

解析：把八個數(shù)平均分成兩組，每組四個數(shù)，要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組數(shù)的乘積中所含有的質(zhì)因數(shù)應(yīng)該完全相同。因此，我們可以先把這八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后根據(jù)這些質(zhì)因數(shù)進行分組。

9=3×3 15=3×5 28=2×2×7 30=2×3×5

34=2×17 55=5×11 77=7×11 85=5×17

從上面18個質(zhì)因數(shù)中可以看出，每組四個數(shù)的乘積中，都必須含有兩個2，兩個3，兩個5，一個7，一個11和一個17。因此，這兩組數(shù)分別是（9，28，55，85）和（15，30，34，77）

例3．小明是個中學(xué)生，他說：“這次考試，我的名次乘以我的年齡再乘以我的考試分數(shù)，結(jié)果是2910，你能算出小明的名次、年齡和分數(shù)嗎？

解析：2910=名次×年齡×分數(shù)，可以看出，名次、年齡和分數(shù)分別是2910的因數(shù)，將2910分解質(zhì)因數(shù)=2×3×5×97

=2×（3×5)×97