數(shù)學(xué)發(fā)展史大致可以分為四個(gè)階段：

1. 數(shù)學(xué)起源時(shí)期

2. 初等數(shù)學(xué)時(shí)期

3. 近代數(shù)學(xué)時(shí)期

4. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期

一、數(shù)學(xué)起源時(shí)期 （ 遠(yuǎn)古 —— 公元前5世紀(jì) ）

這一時(shí)期：建立自然數(shù)的概念；認(rèn)識簡單的幾何圖形；算術(shù)與幾何尚未分開。

? 數(shù)學(xué)起源于四個(gè)“河谷文明”地域：非洲的 尼羅河；西亞的 底格里斯河與幼發(fā)拉底河；中南亞的 印度河與恒河；東亞的 黃河與長江

? 當(dāng)對數(shù)的認(rèn)識(計(jì)數(shù))變得越來越明確時(shí)，人們感到有必要以某種方式來表達(dá)事物的這一屬性，于是導(dǎo)致了記數(shù)。人類現(xiàn)在主要采用十進(jìn)制，與“人的手指共有十個(gè)”有關(guān)。 而記數(shù)也是伴隨著計(jì)數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的。

記數(shù)：刻痕記數(shù)是人類最早的數(shù)學(xué)活動，考古發(fā)現(xiàn)有3萬年前的狼骨上的刻痕。

? 古埃及的象形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前3400年；

? 巴比倫的楔形數(shù)字出現(xiàn)在約公元前2400年；

? 中國的甲骨文數(shù)字出現(xiàn)在約公元前1600年。

? 古埃及的紙草書和羊皮書及巴比倫的泥板文書記載了早期數(shù)學(xué)的內(nèi)容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股數(shù)”及二次方程求解的記錄。

? 捷克摩拉維亞狼骨（約三萬年前）

? 莫斯科紙草書

? 2 0世紀(jì)在兩河流域有約50萬塊泥版文書出土，其中300多塊與數(shù)學(xué)有關(guān)西安半坡遺址：中國西安半坡遺址反映的是約公元前6000年的人類活動，那里出土的彩陶上有多種幾何圖形，包括平行線、三角形、圓、長方形、菱形等。

? 埃及金字塔：建于約公元前2900年的埃及法老胡夫 的金字塔，塔基每邊長約230米，塔基的正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一。

? 中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）：宋刻本《周髀算經(jīng)》（西周，前1100年）

《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的記載

二、初等數(shù)學(xué)時(shí)期 （ 前6世紀(jì)——公元16世紀(jì) ）

也稱常量數(shù)學(xué)時(shí)期，這期間逐漸形成了初等數(shù)學(xué)的主要分支：算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角。 該時(shí)期的基本成果，構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。

這一時(shí)期又分為三個(gè)階段： 古希臘；東方；歐洲文藝復(fù)興。

1．古希臘（前6世紀(jì)——公元6世紀(jì)）

畢達(dá)哥拉斯 —— “ 萬物皆數(shù)“ 歐幾里得 —— 幾何《原本》

阿基米德 —— 面積、體積 阿波羅尼奧斯 —— 《圓錐曲線論》

托勒密 —— 三角學(xué) 丟番圖 —— 不定方程

2．東方 （公元2世紀(jì)——15世紀(jì)）

1） 中國

① 西漢（前2世紀(jì)） ——《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》

②魏晉南北朝（公元3世紀(jì)——5世紀(jì)）——?jiǎng)⒒?、祖沖之出入相補(bǔ)原理，割圓術(shù)，算π

③ 宋元時(shí)期 （公元10世紀(jì)——14世紀(jì)）

宋元四大家——李冶 （1192～1279）、 秦九韶（約1202～約1261）、 楊輝 （13世紀(jì)下半葉）、朱世杰（13世紀(jì)末～14世紀(jì)初）

天元術(shù)、正負(fù)開方術(shù) —— 高次方程數(shù)值求解；

大衍總數(shù)術(shù) —— 一次同余式組求解

2）印度

現(xiàn)代記數(shù)法（公元8世紀(jì)）——印度數(shù)碼，有0，負(fù)數(shù)；

十進(jìn)制（后經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，也稱阿拉伯記數(shù)法）

數(shù)學(xué)與天文學(xué)交織在一起

阿耶波多——《阿耶波多歷數(shù)書》（公元499年） 開創(chuàng)弧度制度量

婆羅摩笈多——《婆羅摩修正體系》、《肯特卡迪亞格》 代數(shù)成就可貴

婆什迦羅——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12世紀(jì)） 算術(shù)、代數(shù)、組合學(xué)

3）阿拉伯國家（公元8世紀(jì)——15世紀(jì)）

花拉子米——《代數(shù)學(xué)》（阿拉伯文《還原與對消計(jì)算概要》）曾長期作為歐洲的數(shù)學(xué)課本，“代數(shù)”一詞，即起源于此；阿拉伯語原意是“還原”，即“移項(xiàng)”；此后，代數(shù)學(xué)的內(nèi)容，主要是解方程。

阿布爾．維法 奧馬爾．海亞姆

3．歐洲文藝復(fù)興時(shí)期（公元16世紀(jì)——17世紀(jì)初）

1）方程與符號：意大利－ 塔塔利亞、卡爾丹、費(fèi)拉里 三次方程的求根公式

法國 － 韋達(dá) 引入符號系統(tǒng)，代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科

2）透視與射影幾何 ：畫家 － 布努雷契、柯爾比、迪勒、達(dá)．芬奇

數(shù)學(xué)家 － 阿爾貝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊爾

3）對數(shù)：簡化天文、航海方面煩雜計(jì)算，把乘除轉(zhuǎn)化為加減。

英國數(shù)學(xué)家 － 納皮爾

三、近代數(shù)學(xué)時(shí)期（公元17世紀(jì)——19世紀(jì)初）

家庭手工業(yè)、作坊 →→ 工場手工業(yè) →→ 機(jī)器大工業(yè)

貿(mào)易及殖民地 →→ 航海業(yè)空前發(fā)展

對運(yùn)動和變化的研究成了自然科學(xué)的中心→→變量、函數(shù)

1．笛卡爾的坐標(biāo)系（1637年的《幾何學(xué)》）

２．牛頓和萊布尼茲的微積分 （17世紀(jì)后半期）

微積分的起源，主要來自對解決兩個(gè)方面問題的需要：

? 一是力學(xué)的一些新問題，已知路程對時(shí)間的關(guān)系求速度，及已知速度對時(shí)間的關(guān)系求路程；

? 二是幾何學(xué)的一些老問題，作曲線在某點(diǎn)的切線問題，及求面積和體積的問題。

３．微分方程、變分法、微分幾何、復(fù)變函數(shù)、概率論

? 微分方程論研究的是這樣一種方程，方程中的未知項(xiàng)不是數(shù)，而是函數(shù)。

? 變分法研究的是這樣一種極值問題，所求的極值不是點(diǎn)或數(shù)，而是函數(shù)。

? 微分幾何是關(guān)于曲線和曲面的一般理論。

? 與微分幾何相聯(lián)系的解析幾何在18世紀(jì)也有長足的發(fā)展，被推廣到三維情形，并突破了笛卡爾當(dāng)年解析幾何僅僅作為求解幾何問題的代數(shù)技巧的界限。

微積分及其中變量、函數(shù)和極限等概念，運(yùn)動、變化等思想，使辯證法滲入了全部數(shù)學(xué)；并使數(shù)學(xué)成為精確地表述自然科學(xué)和技術(shù)的規(guī)律及有效地解決問題的得力工具。

4．代數(shù)基本定理（1799年）高斯

? 這一時(shí)期代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程。

? 18世紀(jì)的最后一年，高斯的博士論文給出了具有重要意義的“代數(shù)基本定理”的第一個(gè)證明。

? 該定理斷言，在復(fù)數(shù)范圍里，n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)根。

“分析”、“代數(shù)”、“幾何”三大分支

在18世紀(jì)，由微積分、微分方程、變分法等構(gòu)成的“分析”，已經(jīng)成為與代數(shù)、幾何并列的數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，并且在這個(gè)世紀(jì)里，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了代數(shù)和幾何。

第三時(shí)期（近代數(shù)學(xué)時(shí)期）的基本結(jié)果，如解析幾何、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等，已成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容。

四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代—— ）

進(jìn)一步劃分為三個(gè)階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀階段（1820——1870年）；

現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成階段（1870——1950年）；

現(xiàn)代數(shù)學(xué)繁榮階段（1950——現(xiàn)在）。

１．康托的“集合論”

2．柯西、魏爾斯特拉斯等人的“數(shù)學(xué)分析”

3．希爾伯特的“公理化體系” 4．高斯、羅巴契夫斯基、波約爾、黎曼的“非歐幾何”

5．伽羅瓦創(chuàng)立的“抽象代數(shù)”

6．黎曼開創(chuàng)的“現(xiàn)代微分幾何”

7．龐加萊創(chuàng)立的“拓?fù)鋵W(xué)” 8. 其它：數(shù)論、隨機(jī)過程、數(shù)理邏輯、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、分形與混沌 等等

第二節(jié) 數(shù)學(xué)發(fā)展中心的遷移

一． 數(shù)學(xué)發(fā)展中心遷移的規(guī)律：數(shù)學(xué)的發(fā)展與其它科學(xué)的發(fā)展一樣，有一些要素：第一要有客觀需求，第二要有經(jīng)濟(jì)保障，第三要有文化環(huán)境，第四要有大批人才。 第四點(diǎn)是標(biāo)志，而前三點(diǎn)是產(chǎn)生第四點(diǎn)的基礎(chǔ)。

粗線條的遷移路徑

①公元前600年——公元前后

古希臘 （古代奴隸制社會鼎盛的中心） 泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼奧斯

②公元前后——公元14世紀(jì) 中國、印度、阿拉伯（封建經(jīng)濟(jì)的繁榮）

中國：劉徽、祖沖之、泰九韶、楊輝、沈括、李冶、朱世杰

印度：阿耶波多、波羅摩笈多、馬哈維拉、婆什迦羅 阿拉伯：花拉子米、奧馬·海亞姆

③15世紀(jì)——17世紀(jì) 意大利、法國 （資本主義興起、文藝復(fù)興）

意大利：達(dá)·芬奇、塔塔利亞、卡爾丹 法 國：韋達(dá)、笛卡兒、費(fèi)馬、卡瓦列里

④17世紀(jì)——18世紀(jì) 英國 （資產(chǎn)階級革命帶來的海上霸權(quán)） 納皮爾、巴羅、牛頓、泰勒、麥克勞林

⑤18世紀(jì)——19世紀(jì)前半 法國、德國（法國大革命）

達(dá)朗貝爾、拉普拉斯、拉格朗日、勒讓德、柯西、傅立葉、伽羅瓦、歐拉（瑞士）、高斯

⑥19世紀(jì)后半——20世紀(jì)30年代 德國、法國（德國統(tǒng)一運(yùn)動）

黎曼、克萊因、魏爾斯特拉斯、克羅涅克爾、勒貝格、康托、龐加萊、希爾伯特、嘉當(dāng)

⑦20世紀(jì)40年代——現(xiàn)在 美國 （資本主義的高度發(fā)達(dá)；移民政策）

馮·諾依曼、諾特、波利亞、阿廷、外爾