16、17世紀(jì)的歐洲，漫長的中世紀(jì)已經(jīng)結(jié)束，文藝復(fù)興帶來了人們的覺醒，束縛人們思想自由發(fā)展的煩瑣哲學(xué)和神學(xué)的教條權(quán)威逐步被摧毀了。封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會，生產(chǎn)力大大解放。資本主義工場手工業(yè)的繁榮和向機器生產(chǎn)的過渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速發(fā)展。

例如在航海方面，為了確定船只的位置，要求更加精密的天文觀測。軍事方面，彈道學(xué)成為研究的中心課題。準(zhǔn)確時計的制造，運河的開鑿，堤壩的修筑，行星的橢圓軌道理論等等，也都需要很多復(fù)雜的計算。古希臘以來的初等數(shù)學(xué)，已漸漸不能滿足當(dāng)時的需要了。

在科學(xué)史上，這一時期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出新的課題。首先是哥白尼提出地動說，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動搖。他的弟子雷蒂庫斯見到當(dāng)時天文觀測日益精密，推算詳細(xì)的三角函數(shù)表已成為刻不容緩的事，于是開始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。當(dāng)時全憑手算，雷蒂庫斯和他的助手勤奮工作達(dá)12年之久，直到死后才由他的弟子奧托完成。

16世紀(jì)下半葉，丹麥天文學(xué)家第谷進(jìn)行了大量精密的天文觀測，在這個基礎(chǔ)上，德國天文學(xué)家開普勒總結(jié)出行星運動的三大定律，導(dǎo)致后來牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)。

開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數(shù)的圓薄片累積而成，從而求出其體積。這是積分學(xué)的前驅(qū)工作。

意大利科學(xué)家伽利略主張自然科學(xué)研究必須進(jìn)行系統(tǒng)的觀察與實驗，充分利用數(shù)學(xué)工具去探索大自然的奧秘。這些觀點對科學(xué)(特別是物理和數(shù)學(xué))的發(fā)展有巨大的影響。他的學(xué)生卡瓦列里創(chuàng)立了“不可分原理”。依靠這個原理他解決了許多現(xiàn)在可以用更嚴(yán)格的積分法解決的問題。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受開普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。

16世紀(jì)的意大利，在代數(shù)方程論方面也取得了一系列的成就。塔塔利亞、卡爾達(dá)諾、費拉里、邦貝利等人相繼發(fā)現(xiàn)和改進(jìn)三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虛數(shù)。這是自希臘丟番圖以來代數(shù)上的最大突破。法國的韋達(dá)集前人之大成，創(chuàng)設(shè)大量代數(shù)符號，用字母代表未知數(shù)，改良計算方法，使代數(shù)學(xué)大為改觀。

在數(shù)字計算方面，斯蒂文系統(tǒng)地闡述和使用了小數(shù)，接著納皮爾創(chuàng)制了對數(shù)，大大加快了計算速度。以后帕斯卡發(fā)明了加法機，萊布尼茨發(fā)明了乘法機，雖然未臻于實用，但開辟了機械計算的新途徑。

17世紀(jì)初，初等數(shù)學(xué)的主要科目(算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角)已基本形成，但數(shù)學(xué)的發(fā)展正是方興未艾，它以加速的步伐邁入數(shù)學(xué)史的下一個階段：變量數(shù)學(xué)時期這一時期和前一時期(常稱為初等數(shù)學(xué)時期)的區(qū)別在于前一時期主要是用靜止的方法研究客觀世界的個別要素，而這一時期是用運動的觀點探索事物變化和發(fā)展的過程。

變量數(shù)學(xué)以解析幾何的建立為起點，接著是微積分學(xué)的勃興。這一時期還出現(xiàn)了概率論和射影幾何等新的領(lǐng)域。但似乎都被微積分的強大光輝掩蓋了。分析學(xué)以洶涌澎湃之勢向前發(fā)展，到18世紀(jì)達(dá)到了空前燦爛的程度，其內(nèi)容的豐富，應(yīng)用之廣泛，使人目不暇接。

這一時期所建立的數(shù)學(xué)，大體上相當(dāng)于現(xiàn)今大學(xué)一二年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容。為了與中學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)相區(qū)別有時也叫古典高等數(shù)學(xué)，這一時期也相應(yīng)叫做古典高等數(shù)學(xué)時期。

解析幾何的產(chǎn)生，一般以笛卡兒《幾何學(xué)》的出版為標(biāo)志。這本書的內(nèi)容不僅僅是幾何，也有很多代數(shù)的問題。它和現(xiàn)在的解析幾何教科書有很大的差距，其中甚至看不到“笛卡兒坐標(biāo)系”。但可貴的是它引入了革命性的思想，為開辟數(shù)學(xué)的新園地作出了貢獻(xiàn)。

《幾何學(xué)》的主要功績，可以歸結(jié)為三點：把過去對立著的兩個研究對象“形”和“數(shù)”統(tǒng)一起來，引入了變量，用代數(shù)方法去解決古典的幾何問題；最后拋棄了希臘人的齊性限制；改進(jìn)了代數(shù)符號。

法國數(shù)學(xué)家費馬也分享著解析幾何創(chuàng)立的榮譽，他的發(fā)現(xiàn)在時間上可能早于笛卡兒，不過發(fā)表很晚。他是一個業(yè)余數(shù)學(xué)家，在數(shù)論、概率論、光學(xué)等方面均有重要貢獻(xiàn)。他已得到微積分的要旨，曾提出求函數(shù)極大極小的方法。他建立了很多數(shù)論定理，其中“費馬大定理”最有名，不過只是一個猜想，至今仍未得到證明。

對概率論的興趣，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但促使數(shù)學(xué)家去思考一些特殊的概率問題卻來自賭博者的請求。費馬、帕斯卡、惠更斯是概率論的早期創(chuàng)立者，以后經(jīng)過18、19世紀(jì)拉普拉斯、泊松等人的研究，概率論成為應(yīng)用廣泛的龐大數(shù)學(xué)分支。

和解析幾何同時，17世紀(jì)在幾何領(lǐng)域內(nèi)還發(fā)生了另一場重大的變革，這就是射影幾何的建立。決定性的進(jìn)步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了無窮遠(yuǎn)點、無窮遠(yuǎn)線，討論了極點與極線、透射、透視等問題，他所發(fā)現(xiàn)的“德扎格定理”是全部射影幾何的基本定理。

帕斯卡1640年發(fā)表的《圓錐曲線論》，是自阿波羅尼奧斯以來圓錐曲線論的最大進(jìn)步?？墒钱?dāng)時的數(shù)學(xué)家大多致力于分析學(xué)的研究，射影幾何沒有受到重視，直到18世紀(jì)末才重新引起人們的注意。

17世紀(jì)是一個創(chuàng)作豐富的時期，而最輝煌的成就是微積分的發(fā)明。它的出現(xiàn)是整個數(shù)學(xué)史也是整個人類歷史的一件大事。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，同時又回過頭來深刻地影響著生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展。微積分對于今天的科技工作者來說，已經(jīng)象布帛菽粟一樣，須臾不可離了。

微積分是經(jīng)過了長時間的醞釀才產(chǎn)生的。積分的思想，早在阿基米德時代已經(jīng)萌芽，16、17世紀(jì)之交，開普勒、卡瓦列里、費馬、沃利斯特別是巴羅等人作了許多準(zhǔn)備工作。作為微分學(xué)中心問題的切線問題的探討，卻是比較晚的事，因而微分學(xué)的起點遠(yuǎn)遠(yuǎn)落在積分學(xué)之后。

17世紀(jì)的著名數(shù)學(xué)家(主要是法國)如費馬、笛卡兒、羅貝瓦爾、德扎格等人都曾卷入“切線問題”的論戰(zhàn)中。笛卡兒和費馬認(rèn)為切線是當(dāng)兩個交點重合時的割線。而羅貝瓦爾則從運動的角度出發(fā)，將切線看作描畫這曲線的運動在這點的方向，這觀點至今在力學(xué)上還有實際意義。

牛頓、萊布尼茨的最大功勞是將兩個貌似不相關(guān)的問題聯(lián)系起來，一個是切線問題(微分學(xué)的中心問題)，一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)，建立起兩者之間的橋梁，用微積分基本定理或者“牛頓—萊布尼茨公式”表達(dá)出來。

在牛頓1665年5月20日(格里歷31日)手寫的一頁文件中，有微積分的最早記載，但他的工作長久沒有人知道，直到1687年才用幾何的形式摘記在他的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中。牛頓建立微積分主要從運動學(xué)的觀點出發(fā)，而萊布尼茨則是從幾何學(xué)的角度去考慮。特別和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)系。

萊布尼茨第一篇微分學(xué)的文章1684年在《學(xué)藝》上發(fā)表，第一篇積分學(xué)的文章1686年在同一雜志發(fā)表。他所創(chuàng)設(shè)的符號遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓，故為后世所沿用。它的理論很快就得到洛必達(dá)、伯努利家族和歐拉等人的繼承和發(fā)揚光大，到18世紀(jì)進(jìn)入了一個豐收的時期。

任何一項重大發(fā)明，都不可能一開始便完整無瑕。17世紀(jì)的微積分帶有嚴(yán)重的邏輯困難，以致受到多方面的非議。它的基礎(chǔ)是極限論，而牛頓、萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的。究竟極限是什么，無窮小是什么，這在當(dāng)時是帶有根本性質(zhì)的難題。盡管如此，微積分在實踐方面的勝利，足以令人信服。大多數(shù)數(shù)學(xué)家暫時擱下邏輯基礎(chǔ)不顧，勇往直前地去開拓這個新的園地。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點，可以概括如下。

產(chǎn)生了幾個影響很大的新領(lǐng)域，如解析幾何、微積分、概率論、射影幾何等。每一個領(lǐng)域都使古希臘人的成就相形見絀。

代數(shù)化的趨勢，希臘數(shù)學(xué)的主體是幾何學(xué)，代數(shù)的問題往往也要用幾何方法去論證。17世紀(jì)的代數(shù)學(xué)比幾何學(xué)占有更重要的位置，它沖破希臘人的框框，進(jìn)一步向符號代數(shù)轉(zhuǎn)化，幾何問題常常反過來用代數(shù)方法去解決。

出現(xiàn)了大量新概念，如無理數(shù)、虛數(shù)、瞬時變化率、導(dǎo)數(shù)、積分等等，都不是經(jīng)驗事實的直接反映，而是由數(shù)學(xué)理論進(jìn)一步抽象所產(chǎn)生。

數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的聯(lián)系更加緊密，實驗科學(xué)(從伽利略開始)的興起，促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展，而數(shù)學(xué)的成果又滲透到其他科學(xué)部門中去。許多數(shù)學(xué)家，如牛頓、萊布尼茨、笛卡兒、費馬等，本身也都是天文學(xué)家、物理學(xué)家或哲學(xué)家。

數(shù)學(xué)知識廣泛交流傳播，希臘時代只有少數(shù)人在研究數(shù)學(xué)，直到16世紀(jì)，情況并無多大改變。17世紀(jì)研究人員大增，學(xué)術(shù)團(tuán)體(學(xué)會或?qū)W院)相繼成立，加上印刷業(yè)的興旺發(fā)達(dá)，數(shù)學(xué)知識得到普遍的推廣和應(yīng)用。

總的來說，17世紀(jì)是許多新興科目的始創(chuàng)階段，而18世紀(jì)是充實和發(fā)揚階段，19世紀(jì)是回顧、推廣和改革階段，并以嶄新的姿態(tài)進(jìn)入下一個世紀(jì)。

十八世紀(jì)數(shù)學(xué)

     將微積分學(xué)深入發(fā)展，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的主流。這種發(fā)展是與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起的，并且刺激和推動了許多新分支的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特點的獨立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

在十八世紀(jì)特別是后期，數(shù)學(xué)研究活動和數(shù)學(xué)教育方式也發(fā)生了變革。這一切使十八世紀(jì)成為向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時期。

微積分學(xué)的發(fā)展

在十八世紀(jì)，無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進(jìn)行的。不列顛數(shù)學(xué)家們在劍橋、牛津、倫敦、愛丁堡等著名的大學(xué)里傳授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，代表人有科茨、泰勒、麥克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發(fā)現(xiàn)的著名公式使人們有可能通過冪級數(shù)展開來研究函數(shù)；馬克勞林的《流數(shù)論》可以說是對微積分最早的系統(tǒng)處理，該書是為反駁伯克利主教《分析學(xué)家》一文而作，后者出于宗教的動機，對牛頓流數(shù)論中存在的無限小概念混亂提出了尖銳批評，引起了關(guān)于微積分基礎(chǔ)的論戰(zhàn)。

泰勒、馬克勞林之后，英國數(shù)學(xué)陷入了長期停滯、僵化的狀態(tài)。十八世紀(jì)初即已爆發(fā)的微積分發(fā)明權(quán)的爭論，滋長了不列顛數(shù)學(xué)家們濃厚的民族保守情緒，他們囿于牛頓的傳統(tǒng)，難以擺脫其迂回的幾何手法等弱點的束縛。與此相對照，在海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發(fā)展起來。

推廣萊布尼茨學(xué)說的任務(wù)，主要由他的學(xué)生、瑞士巴塞爾的雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利兩兄弟擔(dān)當(dāng)，而這方面最重大的進(jìn)步則是由歐拉作出的。

歐拉于1748年出版了《無窮小分析引論》，這部巨著與他隨后發(fā)表的《微分學(xué)》、《積分學(xué)》標(biāo)志著微積分歷史上的一個轉(zhuǎn)折：以往的數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主要研究對象，而歐拉則第一次把函數(shù)放到了中心的地位，并且是建立在函數(shù)的微分的基礎(chǔ)之上。函數(shù)概念本身正是由于歐拉等人的研究而大大豐富了。

數(shù)學(xué)家們開始明確區(qū)分代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)、隱函數(shù)與顯函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等；通過一些困難積分問題的求解，諸如B函數(shù)、橢圓不定積分等一系列新的超越函數(shù)被納入函數(shù)的范疇；已有的對數(shù)、指數(shù)和三角函數(shù)的研究不僅進(jìn)一步系統(tǒng)化，而且被推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。

在十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、連續(xù)性和級數(shù)收斂性等概念還沒有形成統(tǒng)一的見解，他們往往不顧基礎(chǔ)問題的薄弱而大膽前進(jìn)。盡管如此，許多人對建立微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)仍作出了重要的嘗試。除了歐拉的函數(shù)理論外，另一位天才的分析大師拉格朗日采取了所謂“代數(shù)的途徑”。他在1797年出版的《解析函數(shù)論》一書中，主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù)，并以此作為整個微分、積分理論之出發(fā)點。

達(dá)朗貝爾則發(fā)展了牛頓的“首末比方法”，但用極限的概念代替了含糊的“最初與最終比”的說法。如果說歐拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趨勢，那么，達(dá)朗貝爾則為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理的內(nèi)核。19世紀(jì)的嚴(yán)格化運動，正是這些不同方向融會發(fā)展的結(jié)果。

數(shù)學(xué)與力學(xué)開始結(jié)合

數(shù)學(xué)同力學(xué)的有機結(jié)合，是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的另一個鮮明特征。這種結(jié)合，其緊密的程度為數(shù)學(xué)史上任何時期所不能比擬。幾乎所有的數(shù)學(xué)家都以巨大的熱情，致力于運用微積分新工具去解決各種物理、力學(xué)問題。

歐拉的名字同流體力學(xué)和剛體運動的基本方程聯(lián)系著；拉格朗日最享盛名的著作《分析力學(xué)》，“將力學(xué)變成了分析的一個分支”；拉普拉斯則把數(shù)學(xué)看作是研究力學(xué)天文學(xué)的工具，他的許多重要數(shù)學(xué)成果正是包含在他的五大卷《天體力學(xué)》中。

這種廣泛的應(yīng)用成為新的數(shù)學(xué)思想的源泉，而使數(shù)學(xué)本身的發(fā)展大大受惠。一系列新的數(shù)學(xué)分支在十八世紀(jì)成長起來。

達(dá)朗貝爾關(guān)于弦振動的著名研究，導(dǎo)出了弦振動方程及其最早的解，成為偏微分方程論的發(fā)端。另一類重要的偏微分方程──位勢方程，主要通過對引力問題的進(jìn)一步探討而獲得。與偏微分方程相聯(lián)系的一些較為深入的理論問題也開始受到注意。

拉格朗日發(fā)展了解一階偏微分方程的一般理論；對不同類型的二階方程的研究還促使歐拉、達(dá)朗貝爾等具備了將函數(shù)展為三角級數(shù)的概念。

常微分方程的研究進(jìn)展更為迅速。三體問題、擺的運動及彈性理論等的數(shù)學(xué)描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三體問題最為重要，二階常微分方程在其中扮演了中心角色。

數(shù)學(xué)家起先是采用各種特殊的技巧對付不同的方程，但漸漸地開始尋找?guī)毡樾缘姆椒?。這樣，歐拉推廣了約翰第一·伯努利的積分因子和常數(shù)變易法；黎卡提在以他的名字命名的非線性方程的研究中，首創(chuàng)了后來成為處理高階方程主要手段的降階法；泰勒最先引起人們對奇異解存在性的注意；歐拉在1750年解出了一般的常系數(shù)線性方程，他還引進(jìn)超幾何級數(shù)作為解二階線性方程的基礎(chǔ)；對全微分方程的研究亦由歐拉、拉格朗日和蒙日等開展起來。

變分法起源于最速降曲線問題和相類似的一些問題，它的奠基人是歐拉。所謂“最速降曲線”問題，是要求出兩點間的一條曲線，使質(zhì)點在重力作用下，沿著它由一點至另一點的降落最快。這問題在1696年被約翰第一·伯努利提出來向其他人挑戰(zhàn)，牛頓、洛必達(dá)和伯努利兄弟不久都分別獲得了正確的解答。

歐拉自1728年開始以他特有的透徹精神重新考察了最速降曲線等問題，最終確立了求積分極值問題的一般方法。歐拉的方法后來又為拉格朗日所發(fā)展，拉格朗日首先將變分法置于分析的基礎(chǔ)上，他還充分運用變分法來建造其分析力學(xué)體系，全部力學(xué)被他化歸為一個統(tǒng)一的變分原理──虛功原理。

這些新的分支與微積分本身一起，形成了被稱之為“分析”的廣大領(lǐng)域，與代數(shù)、幾何并列為數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，在十八世紀(jì)，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了代數(shù)與幾何。

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不僅大大拓展了分析的疆域，同時賦予它與幾何相對的意義，他們力圖用純分析的手法以擺脫對于幾何論證的依賴，這種傾向成為十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的另一大特征，并且在歐拉和拉格朗日的工作中表現(xiàn)得最為典型。

拉格朗日在《分析力學(xué)》序中宣稱：“在這本書中找不到一張圖，我所敘述的方法既不需要作圖，也不需要任何幾何的或力學(xué)的推理，只需要統(tǒng)一而有規(guī)則的代數(shù)(分析)運算”。

幾何與代數(shù)

對于幾何學(xué)，十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家們著眼于分析方法的應(yīng)用，及與此相聯(lián)系的坐標(biāo)幾何的發(fā)展。雖然早先已有部分結(jié)果，但微分幾何形成為獨立的學(xué)科主要是在十八世紀(jì)。

伯努利兄弟以及歐拉、拉格朗日等在確定平面曲線曲率、拐點、漸伸線、漸屈線、測地線及曲線簇包絡(luò)等方面作出許多貢獻(xiàn)；蒙日自1771年起發(fā)表的一系列工作，則使微分幾何在十八世紀(jì)的發(fā)展臻于高峰。

蒙日及其學(xué)生全面概括了空間曲線的一般理論，并借著偏微分方程對已為歐拉等人觸及的可展曲面、極小曲面、曲面曲率及各種曲面簇等問題獲得了系統(tǒng)的結(jié)果。蒙日通過其幾何研究還建立了偏微分方程的特征理論。

現(xiàn)代解析幾何的基本課題如對稱的坐標(biāo)軸概念、平面曲線的系統(tǒng)研究等，基本上也是十八世紀(jì)的產(chǎn)品。帕倫于1705、1713年將解析幾何推廣至三維情形，該項工作被克萊羅所繼續(xù)。解析幾何突破了笛卡兒以來作為求解幾何難題的代數(shù)技巧的界限。

對綜合幾何的興趣直到十八世紀(jì)末才被重新喚起，這主要歸功于蒙日的《畫法幾何學(xué)》。蒙日指出畫法幾何只是投影幾何的一個方面，這促進(jìn)了更一般的投影幾何學(xué)與幾何變換理論的發(fā)展。投影幾何在十九世紀(jì)整整活躍了一個世紀(jì)，而幾何變換則已成為現(xiàn)代幾何學(xué)的基本概念。

十八世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家將分析看作代數(shù)的延伸，代數(shù)本身的研究有時便服從分析的需要。然而十八世紀(jì)代數(shù)學(xué)仍為下一世紀(jì)的革命性發(fā)展開辟了道路。

1799年，高斯發(fā)表了關(guān)于代數(shù)基本定理的研究，給出了該定理的第一個嚴(yán)格證明；高于四次的代數(shù)方程用根式求解之不可能，也已被拉格朗日等人認(rèn)識，拉格朗日在《方程的代數(shù)求解》一文中討論了這個問題，雖未能作出嚴(yán)格證明，但卻考察了根的有理函數(shù)及根的置換對它們的影響。高斯、拉格朗日的結(jié)果是19世紀(jì)阿貝爾、伽羅瓦、雅可比等在方程論方面的劃時代成就的出發(fā)點。

虛數(shù)在十八世紀(jì)數(shù)學(xué)中的重要性增加了，達(dá)朗貝爾關(guān)于一切虛數(shù)都有形式a+bi的斷言，被大多數(shù)同時代的學(xué)者所接受(雖然他的論證并不嚴(yán)格)；丹麥的韋塞爾提出了虛數(shù)的圖像表示法，這一切為19世紀(jì)復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

概率論進(jìn)一步的發(fā)展

帕斯卡、費馬和惠更斯以來，第一個對概率論給予認(rèn)真注意的是雅各布第一·伯努利。他的《猜度術(shù)》一書，包含了大數(shù)律的敘述；棣莫弗最早使用正態(tài)分布曲線；拉格朗日的貢獻(xiàn)在于誤差理論。

不過，首先將概率論建立在堅固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的是拉普拉斯。從1771年起，拉普拉斯發(fā)表了一系列重要著述，特別是1812年出版的《概率的解析理論》，對古典概率論作出了強有力的數(shù)學(xué)綜合，敘述并證明了許多重要定理。拉普拉斯等人的著作還討論了概率論對人口統(tǒng)計、保險事業(yè)、度量衡、天文學(xué)甚至某些法律問題的應(yīng)用。概率論在十八世紀(jì)已遠(yuǎn)不再是只與賭博問題相聯(lián)系的學(xué)科了。

數(shù)學(xué)教育的發(fā)展

十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究活動，大部分是與歐洲各國的科學(xué)院相聯(lián)系，尤其是大陸國家的科學(xué)院。它們不僅是評議研究成果，促進(jìn)科學(xué)通訊，而且掌握著聘用專門成員的財政經(jīng)費。

萊布尼茨1700年創(chuàng)立的柏林科學(xué)院，在普魯士國王弗里德里克時代曾擁有歐拉和拉格朗日為院士；歐拉其余的生涯是在彼得堡科學(xué)院奉職；拉格朗日在弗里德里克死后被路易十六請到巴黎。而巴黎科學(xué)院也許是十八世紀(jì)歐洲最重要的學(xué)術(shù)中心，與它相聯(lián)系的法國最卓越的數(shù)學(xué)家還有克萊羅、達(dá)朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯、蒙日以及勒讓德等。

這種主要靠宮廷支持的科學(xué)院，在推動數(shù)學(xué)研究職業(yè)化方面起了一定的但卻是有限的作用。在十八世紀(jì)的晚期，人們開始注意并努力改變大學(xué)中數(shù)學(xué)教育與研究分離、脫節(jié)的現(xiàn)象。

格丁根大學(xué)最先強調(diào)教學(xué)與研究的結(jié)合，但對當(dāng)時的數(shù)學(xué)并未發(fā)生影響。真正的沖擊來自法國。法國大革命時期建立的巴黎綜合工科學(xué)校和巴黎高等師范學(xué)校，不僅提供為培養(yǎng)工程師和教師所必需的數(shù)學(xué)教育，對數(shù)學(xué)研究也給予同樣的重視，它們作為新型的科學(xué)教育和研究機構(gòu)的典范，對19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究職業(yè)化運動有極大的影響。

社會政治對十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響值得注意。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)研究活動中心的轉(zhuǎn)移，明顯地與資產(chǎn)階級革命中心的轉(zhuǎn)移現(xiàn)象相吻合。英國學(xué)術(shù)界的保守氣氛，同擁教保王的政治環(huán)境不無關(guān)系，而在啟蒙思想熏陶下的法國學(xué)派，卻自覺地接過了發(fā)展牛頓自然科學(xué)理論的任務(wù)。

法國大革命本身提供了社會變革影響數(shù)學(xué)事業(yè)的史例。這個國家當(dāng)時最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，幾乎都被革命政權(quán)吸收到度量衡改革、教育改革、軍事工程建設(shè)等活動中去。

對于數(shù)學(xué)發(fā)展特別重要的是他們在新成立的巴黎綜合工科學(xué)校與巴黎高等師范學(xué)校中的作用。拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、勒讓德等均受聘出任那里的數(shù)學(xué)教授，蒙日還是綜合工科學(xué)校的積極創(chuàng)建者并兼校長。他們的任職，使這兩所學(xué)校特別是綜合工科學(xué)校成為新一代數(shù)學(xué)家的搖籃，如柯西和泊松都是畢業(yè)于綜合工科學(xué)校。

這些學(xué)校為適應(yīng)培養(yǎng)新人才的需要而采用的數(shù)學(xué)新教材，釀成了“教科書的革命”，其中勒讓德的《幾何學(xué)基礎(chǔ)》、蒙日的《畫法幾何學(xué)》、拉克魯瓦的《微積分學(xué)》以及畢奧和勒弗朗索瓦的解析幾何教程，都是反復(fù)再版，并被譯成了多國語言。在法國所進(jìn)行的改革，到19世紀(jì)初即已擴及旁國特別是德國，并刺激了英國數(shù)學(xué)的復(fù)蘇，成為數(shù)學(xué)發(fā)展新時代的序幕。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)

十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上創(chuàng)造精神和嚴(yán)格精神高度發(fā)揚的時代。復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀(jì)典型的數(shù)學(xué)成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的概貌

十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主流是微積分學(xué)的擴展，它與力學(xué)和天文學(xué)的問題緊密相聯(lián)。微積分的運用使這些自然科學(xué)領(lǐng)域迅猛發(fā)展，至十八世紀(jì)末，它們達(dá)到了一種相對完美的程度。

然而，將數(shù)學(xué)和這些自然科學(xué)基本上視為一體的觀念，使當(dāng)時一些著名的數(shù)學(xué)家，如拉格朗日、歐拉、達(dá)朗貝爾等對數(shù)學(xué)的前途產(chǎn)生了悲觀情緒，他們覺得數(shù)學(xué)泉源已近枯竭。

而實際上，此時的數(shù)學(xué)正處于興旺發(fā)達(dá)的前夜：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家忙于獲取微積分的成果與應(yīng)用，較少顧及其概念與方法的嚴(yán)密性，到十八世紀(jì)末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數(shù)學(xué)家面前；另一方面，處于數(shù)學(xué)中心課題之外的數(shù)學(xué)分支已積累了一批重要問題，如復(fù)數(shù)的意義、歐式幾何中平行公設(shè)的地位，高次代數(shù)方程根式解的可能性等，它們大都是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出的課題；再者，自十八世紀(jì)后期開始，自然科學(xué)出現(xiàn)眾多新的研究領(lǐng)域，如熱力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、測地學(xué)等等，從數(shù)學(xué)外部給予數(shù)學(xué)以新的推動力。上述因素促成了十九世紀(jì)數(shù)學(xué)充滿活力的創(chuàng)新與發(fā)展。

十九世紀(jì)歐洲的社會環(huán)境也為數(shù)學(xué)發(fā)展提供了適宜的舞臺，法國資產(chǎn)階級大革命所造成的民主精神和重視數(shù)學(xué)教育的風(fēng)尚，鼓勵大批有才干的青年步入數(shù)學(xué)教育和研究領(lǐng)地。法國在十九世紀(jì)一直是最活躍的數(shù)學(xué)中心之一，涌現(xiàn)出一批優(yōu)秀人才，如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當(dāng)、達(dá)布、龐加萊、阿達(dá)馬。他們在幾乎所有的數(shù)學(xué)分支中都作出了卓越貢獻(xiàn)。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學(xué)術(shù)界思想十分活躍，突破了一切禁區(qū)。

英國新一代數(shù)學(xué)家克服近一個世紀(jì)以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“分析學(xué)會”，使英國進(jìn)入世界數(shù)學(xué)發(fā)展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數(shù)學(xué)界的杰出人物，在代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理方面的成就尤為突出。

德國在1870年統(tǒng)一之前，資本主義發(fā)展比較緩慢，但從十八世紀(jì)下半葉起，它一直是思想意識領(lǐng)域十分活躍的地區(qū)，特別是思辨哲學(xué)強調(diào)事物內(nèi)部矛盾促進(jìn)事物發(fā)展的思想，對純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了有益的影響。

從高斯登上數(shù)學(xué)舞臺至十九世紀(jì)下半葉，德國逐漸發(fā)展成為與法國并駕齊驅(qū)的又一個世界數(shù)學(xué)中心，除高斯外，施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內(nèi)克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無愧為十九世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)家。

處于數(shù)學(xué)中心之外的國家和地區(qū)，也出現(xiàn)不少優(yōu)秀學(xué)者，最突出的有挪威的阿貝爾和李，捷克的波爾查諾、俄國的羅巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡婭，匈牙利的波爾約，意大利的貝爾特拉米和里奇等。這種人才輩出的局面在數(shù)學(xué)史上是空前的。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)突破分析學(xué)獨占主導(dǎo)地位的局面，幾何、代數(shù)、分析各分支出現(xiàn)如雨后春筍般的竟相發(fā)展。僅在十九世紀(jì)的前30多年中，一批二三十歲的年輕數(shù)學(xué)家就在數(shù)論、射影幾何、復(fù)變函數(shù)、微分幾何、非歐幾何、群論等領(lǐng)域作出開創(chuàng)性的成績。

隨著眾多新研究方向的開拓和證明嚴(yán)格化的要求，越來越多的學(xué)者開始埋頭于較窄的領(lǐng)域作精細(xì)的研究。如阿貝爾主要從事分析與代數(shù)學(xué)研究，彭賽列專攻射影幾何，伽羅瓦關(guān)心代數(shù)方程的可解性。只有高斯和柯西仍然關(guān)心科學(xué)與數(shù)學(xué)中幾乎所有的問題。

在十九世紀(jì)下半葉，一些數(shù)學(xué)家注意了各分支間的聯(lián)系，最著名的有克萊因的埃爾朗根綱領(lǐng)，在幾何中引進(jìn)群的觀點，取得很大成功，但專門化的研究方式尚處于方興未艾的階段。從十九世紀(jì)晚期開始的將數(shù)學(xué)各分支奠基于公理體系之上的運動，又推進(jìn)了各分支的細(xì)分，這種傾向一直延續(xù)到二十世紀(jì)。

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家的工作方式呈現(xiàn)出全新的、不同于十八世紀(jì)的特色。數(shù)學(xué)成為一項得到全社會承認(rèn)的職業(yè)，數(shù)學(xué)家主要在大量培養(yǎng)人才的新型大學(xué)教書，研究與教學(xué)有機地聯(lián)系在一起。法國的巴黎綜合工科學(xué)校、巴黎高等師范大學(xué)，德國的柏林大學(xué)、格丁根大學(xué)是當(dāng)時最重要的數(shù)學(xué)研究與教學(xué)中心。

由于數(shù)學(xué)家人數(shù)與成果的劇增交流思想與成果的渠道增多了，數(shù)學(xué)雜志成了重要的傳播媒介。法國的熱爾崗編輯出版了《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)年刊》，是最早的專門數(shù)學(xué)期刊。之后，高水平的數(shù)學(xué)雜志相繼問世，最著名的有克雷爾創(chuàng)辦的德文的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，劉維爾創(chuàng)辦的法文的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》。

到十九世紀(jì)后半葉，隨著各國數(shù)學(xué)會的問世，各種會刊及專門雜志顯著增加。這些數(shù)學(xué)會還在推動本國數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)國際學(xué)術(shù)交流方面發(fā)揮積極作用。最早成立的是倫敦數(shù)學(xué)會，之后創(chuàng)建的有法國數(shù)學(xué)會、美國數(shù)學(xué)會和德國數(shù)學(xué)會。在接近世紀(jì)之末，由各國數(shù)學(xué)會發(fā)起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數(shù)學(xué)家大會，后成為一項定期舉行的國際學(xué)術(shù)活動?！　?/span> 　

十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展錯綜復(fù)雜，粗略地可以分為四個階段。

數(shù)論、分析與幾何的創(chuàng)新階段

這一階段從十九世紀(jì)初到十九世紀(jì)二十年代。

1801年，高斯發(fā)表《算術(shù)研究》，這部象征近代數(shù)論起點的巨著，同時也打開了數(shù)學(xué)新世紀(jì)的大門。十九世紀(jì)前的數(shù)論主要是一些漂亮但卻孤立的成果，高斯一方面將這些成果系統(tǒng)化，對問題及方法加以分類，同時開辟了全新的課題及方法。樹立了嚴(yán)格證明的典范，認(rèn)為找出簡單漂亮的證明，有助于掌握問題的實質(zhì)并發(fā)現(xiàn)不同問題間的聯(lián)系(典型的是他給出了二次互反律的七個證明)。

高斯的觀點代表了十九世紀(jì)對數(shù)學(xué)嚴(yán)密性追求的時代精神，也指出了純粹數(shù)學(xué)發(fā)展的一條途徑。同年，高斯依據(jù)少量觀測數(shù)據(jù)，運用誤差分析等方法計算出谷神星的軌道，準(zhǔn)確地預(yù)報了這顆小行星在天空出現(xiàn)的時刻，哄動了科學(xué)界。高斯在一生中始終對理論與應(yīng)用同等重視，他的成就一直鼓舞著最有才華的數(shù)學(xué)家。他和阿基米德、牛頓一起，被認(rèn)為是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家。

1807年，傅里葉向巴黎科學(xué)院提交了一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的文章，在解熱傳導(dǎo)方程時，提出任意函數(shù)可用三角級數(shù)表示。這是分析學(xué)在十九世紀(jì)的首項重要工作，它不僅使分析方法進(jìn)入新的物理領(lǐng)域，而且擴展了函數(shù)概念，推進(jìn)了偏微分方程理論。對傅里葉級數(shù)收斂點的研究，最終導(dǎo)致康托爾創(chuàng)立集合論。由于傅里葉級數(shù)在應(yīng)用中的重要性，研究其收斂性成為分析嚴(yán)格化的動力之一。

十九世紀(jì)分析嚴(yán)格化的倡導(dǎo)者有高斯、波爾查諾、柯西、阿貝爾和狄利克雷等人。1812年，高斯對一類具體的級數(shù)──超幾何級數(shù)，進(jìn)行了嚴(yán)密研究，這是歷史上第一項重要的有關(guān)級數(shù)收斂性的工作。1817年，波爾查諾首先拋棄無窮小量概念，用極限觀念給出導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性的定義，并得到判別級數(shù)收斂的一般準(zhǔn)則(現(xiàn)稱柯西準(zhǔn)則)，由于他的工作長期被埋沒，因此對當(dāng)時數(shù)學(xué)的發(fā)展沒有產(chǎn)生影響，是數(shù)學(xué)史上一件憾事。

柯西是對分析嚴(yán)格化影響最大的學(xué)者，1821年發(fā)表了《分析教程》，除獨立得到波爾查諾的基本結(jié)果，還用極限概念定義了連續(xù)函數(shù)的定積分，這是建立分析嚴(yán)格理論的第一部重要著作。值得注意的是，柯西的分析理論基本上基于幾何直觀，按現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)衡量仍不夠嚴(yán)密。阿貝爾一直強調(diào)分析中定理的嚴(yán)格證明，在1826年最早使用一致收斂的思想，證明了連續(xù)函數(shù)的一個一致收斂級數(shù)的和在收斂區(qū)域內(nèi)部連續(xù)。

柯西在建立嚴(yán)格的分析理論的同時，還為十九世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)創(chuàng)造──單復(fù)變函數(shù)論奠定了基礎(chǔ)。1814～1825年間，他得到了計算復(fù)函數(shù)沿復(fù)平面上路徑積分的基本定理和留數(shù)計算公式。由于柯西的工作，復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)論在十九世紀(jì)20年代為廣大數(shù)學(xué)家所熟悉。1826年，阿貝爾和雅可比創(chuàng)立了橢圓函數(shù)理論，成為復(fù)變函數(shù)論蓬勃發(fā)展的生長點。

十九世紀(jì)最富革命性的創(chuàng)造當(dāng)屬非歐幾何。自古希臘時代始，歐氏幾何一直被認(rèn)為是客觀物質(zhì)空間惟一正確的理想模型，是嚴(yán)格推理的典范。16世紀(jì)后的數(shù)學(xué)家在論證代數(shù)或分析結(jié)果的合理性時，都試圖歸之為歐氏幾何問題。

但歐氏幾何的平行公設(shè)曾引起數(shù)學(xué)家的持久的關(guān)注，以弄清它和其他公理、公設(shè)的關(guān)系。這個煩擾了數(shù)學(xué)家千百年的問題，終于被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約各自獨立解決。高斯在1816年已認(rèn)識到平行公設(shè)不可能在歐氏幾何其他公理、公設(shè)的基礎(chǔ)上證明，得到在邏輯上相容的非歐幾何，其中平行公設(shè)不成立，但由于擔(dān)心受人指責(zé)而未發(fā)表。

1825年左右，波爾約和羅巴切夫斯基分別得到同樣的結(jié)果，并推演了這種新幾何中的一些定理。羅巴切夫斯基1829年的文章《論幾何基礎(chǔ)》是最早發(fā)表的非歐幾何著作，因此這種幾何也稱為羅巴切夫斯基幾何。這項發(fā)現(xiàn)的技術(shù)細(xì)節(jié)是簡單的，但觀念的變革是深刻的，歐氏幾何不再是神圣的，數(shù)學(xué)家步入了創(chuàng)造新幾何的時代。

非歐幾何對人們認(rèn)識物質(zhì)世界的空間形式提供了有力武器，但由于它背叛傳統(tǒng)，創(chuàng)立之初未受到數(shù)學(xué)界的重視。只是當(dāng)高斯有關(guān)非歐幾何的通信和筆記在他1855年去世后出版時，才因高斯的名望而引起數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。

十九世紀(jì)前半葉最熱門的幾何課題是射影幾何。1822年，彭賽列發(fā)表《論圖形的射影性質(zhì)》，這是他1813～1814年被俘關(guān)在俄國時開始研究的總結(jié)。他探討幾何圖形在任一投影下所有截影所共有的性質(zhì)，他的方法具有象解析幾何那樣的普遍性。1827年左右，普呂克等人引進(jìn)齊次坐標(biāo)，用代數(shù)方法研究射影性質(zhì)，豐富了射影幾何的內(nèi)容。

對純幾何問題興趣的增長，并未減弱分析在幾何中的應(yīng)用。高斯從1816年起參與大地測量和地圖繪制工作，引起他對微分幾何的興趣。1827年他發(fā)表的《關(guān)于曲面的一般研究》，為這一數(shù)學(xué)分支注入了全新的思想，開創(chuàng)了微分幾何的現(xiàn)代研究。

代數(shù)觀念的變革時期

代數(shù)思想的革命發(fā)生在十九世紀(jì)30～40年代。

1830年，皮科克的《代數(shù)學(xué)》問世，書中對代數(shù)運算的基本法則進(jìn)行了探索性研究。在這之前，代數(shù)的符號運算實際僅是實數(shù)與復(fù)數(shù)運算的翻版。皮科克試圖建立一門更一般的代數(shù)，它僅是符號及其滿足的某些運算法則的科學(xué)。他和德?摩根等英國學(xué)者圍繞這一目標(biāo)的工作，為代數(shù)結(jié)構(gòu)觀點的形成及代數(shù)公理化研究作了嘗試，因而皮科克被譽為“代數(shù)中的歐幾里得”。皮科克的目標(biāo)雖然很有價值，但方法過于含糊，無法達(dá)到他的愿望。

代數(shù)中更深刻的思想來自于數(shù)學(xué)史上傳奇式的人物伽羅華。在1829～1832年間，他提出并論證了代數(shù)方程可用根式解的普遍判別準(zhǔn)則，從概念和方法上為最基本的一種代數(shù)結(jié)構(gòu)(群)理論奠定了基礎(chǔ)，闡明了群的正規(guī)子群及同構(gòu)等重要概念。

伽羅瓦在1832年去世前，幾次向巴黎科學(xué)院遞交他的論文，均未獲答復(fù)。他的理論在1846年由劉維爾發(fā)表之前幾乎無人知曉，到十九世紀(jì)60年代后才引起重視，這是數(shù)學(xué)史上新思想歷經(jīng)磨難終放異彩的最典型的例證。

另一項引起代數(shù)觀念深刻變革的成果，歸功于哈密頓和格拉斯曼。哈密頓在用“數(shù)對”表示復(fù)數(shù)并探究其運算規(guī)則時，試圖將復(fù)數(shù)概念推廣到三維空間，未獲成功，但卻意想不到的創(chuàng)立了四元數(shù)理論，時間是1843年。

四元數(shù)是第一個被構(gòu)造出的不滿足乘法交換律的數(shù)學(xué)對象。從此，數(shù)學(xué)家便突破了實數(shù)與復(fù)數(shù)的框架，比較自由地構(gòu)作各種新的代數(shù)系統(tǒng)。四元數(shù)理論一經(jīng)問世便引來數(shù)學(xué)與物理學(xué)家的討論，它本身雖沒有廣泛應(yīng)用，但成為向量代數(shù)、向量分析以及線性結(jié)合代數(shù)理論的先導(dǎo)。1844年，格拉斯曼在討論 n維幾何時，獨立得到更一般的具有 n個分量的超復(fù)數(shù)理論，這一高度獨創(chuàng)的成果由于表達(dá)晦澀，無法為當(dāng)時的學(xué)者所理解。

在這一時期，還誕生了代數(shù)不變量理論，這是從數(shù)論中的二次型及射影幾何中的線性變換引伸出的課題。1841年左右，凱萊受布爾的影響開始研究代數(shù)型在線性變換下的不變量。之后，尋找各種特殊型的不變量及不變量的有限基，成為十九世紀(jì)下半葉最熱門的研究課題，出現(xiàn)了人數(shù)眾多的德國學(xué)派，進(jìn)而開辟了代數(shù)幾何的研究領(lǐng)域。

數(shù)論中的重要問題，往往成為新思想發(fā)展的酵母。1844年，庫默爾在研究費馬大定理時提出了理想數(shù)理論，借助理想數(shù)可證明在惟一因子分解定理不成立的代數(shù)數(shù)域中，普通數(shù)論中的某些結(jié)果仍成立。

在這代數(shù)學(xué)豐產(chǎn)的時期，幾何、分析和數(shù)論也都有長足的進(jìn)步。格林在討論變密度橢球體的引力問題時，考慮了 n維位勢；凱萊在分析學(xué)中討論了具有 n個坐標(biāo)的變量；格拉斯曼則直接從幾何上建立高維空間理論。他們從不同角度導(dǎo)出超越直觀的 n維空間概念。施陶特確立了不依賴歐氏空間的長度概念的射影幾何體系，從邏輯上說明射影幾何比歐氏幾何更基本。

分析的嚴(yán)格化在繼續(xù)。狄利克雷按變量間對應(yīng)的說法給出現(xiàn)代意義下的函數(shù)定義。魏爾斯特拉斯開始了將分析奠基于算術(shù)的工作，從1842年起采用明確的一致收斂概念于分析學(xué)，使級數(shù)理論更趨完善。

值得注意的是，未經(jīng)嚴(yán)格證明的分析工具仍被廣泛使用，在獲得新結(jié)果方面顯示威力。格林首先使用了位勢函數(shù)的極小化積分存在的原理，即現(xiàn)稱的狄利克雷原理，它的嚴(yán)格理論遲至1904年才為希爾伯特闡明，但是在十九世紀(jì)50年代就已成為黎曼研究分析學(xué)的重要工具。

隨著分析工具的逐步完善，數(shù)學(xué)家開始更自覺地在數(shù)學(xué)其他分支使用它們。除微分幾何外，解析數(shù)論也應(yīng)運而生。1837年，狄利克雷在證明算術(shù)序列包含無窮多素數(shù)時，精心使用了級數(shù)理論，這是近代解析數(shù)論最早的重要成果。劉維爾則在1844年首次證明了超越數(shù)的存在，引起數(shù)學(xué)家對尋找超越數(shù)和證明某些特殊的數(shù)為超越數(shù)的興趣。在下半世紀(jì)，林德曼利用埃爾米特證明 e為超越數(shù)的方法，證明了π的超越性，從而徹底解決了化圓為方問題。

數(shù)學(xué)新思想的深化階段

這一階段從十九世紀(jì)五十年代到十九世紀(jì)七十年代。

1851年，黎曼的博士論文《單復(fù)變函數(shù)一般理論的基礎(chǔ)》第一次明確了單值解析函數(shù)的定義，指出了實函數(shù)與復(fù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本差別，特別是闡述了現(xiàn)稱為黎曼面的概念和共形映射定理，開創(chuàng)了多值函數(shù)研究的深刻方法，打通了復(fù)變函數(shù)論深入發(fā)展的道路。黎曼本人利用這一思想出色地探討了阿貝爾積分及其反演阿貝爾函數(shù)，1854年，黎曼為獲大學(xué)講師資格，提交了兩篇論文，其中《關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》是數(shù)學(xué)史上影響最深遠(yuǎn)的作品之一。

在十九世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)家已認(rèn)識到存在不同于歐氏幾何的新幾何學(xué)，并發(fā)展了內(nèi)蘊幾何和高維幾何的理論，但它們處于分散與孤立的狀態(tài)。黎曼以其深刻的洞察力將三者統(tǒng)一于 n維流形的理論，開始了現(xiàn)代微分幾何學(xué)研究。

這是關(guān)于任意維空間的內(nèi)蘊幾何，黎曼以二次微分形式定義流形的度量，給出了流形曲率的概念。他還論證了能在球面上實現(xiàn)二維正的常曲率空間。據(jù)說黎曼的深刻思想當(dāng)時只有高斯能理解。經(jīng)十九世紀(jì)60年代貝爾特拉米等人的介紹與推進(jìn)，黎曼的理論才開始為廣大數(shù)學(xué)家領(lǐng)悟，他們對微分不變量的研究，最后導(dǎo)致里奇創(chuàng)立張量理論。

在另一篇論文中，黎曼探討了將積分概念推廣到間斷函數(shù)上去，提出了現(xiàn)稱為黎曼積分的概念。他構(gòu)造了具有無窮間斷點而按他的定義仍可積的函數(shù)。尋找這類函數(shù)是十九世紀(jì)70～80年代很時髦的課題。沿著擴展積分概念的方向，后來的數(shù)學(xué)家得到各種廣義積分，最著名的當(dāng)屬二十世紀(jì)初出現(xiàn)的勒貝格積分。

1859年，黎曼研究 ζ函數(shù)的復(fù)零點，提出著名的黎曼猜想。黎曼的思想，在幾何、分析、數(shù)論領(lǐng)域長盛不衰，有力地影響著十九世紀(jì)后期以至二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究。

魏爾斯特拉斯在這一時期繼續(xù)分析算術(shù)化的工作，提出了現(xiàn)代通用的極限定義，即用靜態(tài)的方法(不等式)刻畫變化過程。他構(gòu)造出處處不可微的連續(xù)函數(shù)實例，告誡人們必須精細(xì)地處理分析學(xué)的對象，對實變函數(shù)論的興起起了催化作用。在復(fù)變函數(shù)論方面，他提出了基于冪級數(shù)的解析開拓理論。魏爾斯特拉斯的眾多成果出自他任中學(xué)教員的時期，到1859年出任柏林大學(xué)教師后才廣為人知。由于他為分析奠基的出色成就，后被譽為“現(xiàn)代分析之父”。

當(dāng)?shù)聡鴮W(xué)者在分析與幾何領(lǐng)域大放異彩之時，英國學(xué)者繼續(xù)發(fā)揮他們在代數(shù)中的優(yōu)勢。1854年，布爾發(fā)表了《思維規(guī)律的研究》，創(chuàng)立了符號邏輯代數(shù)，這是使演繹推理形式化的有力工具。布爾強調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)不是探究對象的內(nèi)容，而是研究其形式，因而數(shù)學(xué)不必限于討論數(shù)和連續(xù)量的問題，可由符號表示的一切事物都可納入數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

1855年，凱萊在研究線性變換的不變量時，系統(tǒng)地提出矩陣概念及其運算法則。矩陣是繼四元數(shù)之后的又一類不滿足乘法交換律的數(shù)學(xué)對象，它們和群論都是推動抽象代數(shù)觀點形成發(fā)展的重要因素。在凱萊之后，矩陣?yán)碚摬粩嗤晟?，不僅成為數(shù)學(xué)中的銳利武器，還是描述和解決物理問題的有效武器。

基于對矩陣和四元數(shù)的認(rèn)識，凱萊還引進(jìn)了抽象群的概念，但未立刻引起重視，抽象群論的發(fā)展還有待于對各種具體的群作深入的研究。

十九世紀(jì)60年代末，若爾當(dāng)擔(dān)起了向數(shù)學(xué)界闡明伽羅瓦理論的重任，在發(fā)表于1870年的《置換論》中，他對置換群理論及其與伽羅瓦方程論的聯(lián)系作出清晰的總結(jié)，為群論在十九世紀(jì)最后30年間的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

在這一時期，數(shù)學(xué)家對射影幾何及非歐幾何的認(rèn)識也日趨深化。1859年，凱萊論證了歐氏空間的度量性質(zhì)并非圖形本身的屆性，而可以借助某種特定圖形按射影概念加以建立，說明歐氏幾何是射影幾何的一部分?？巳R因發(fā)揮凱萊的思想，同樣論證非歐幾何也可以包括在射影幾何之內(nèi)。這樣便徹底澄清了射影幾何與那些度量幾何的關(guān)系，鋪平了幾何公理化發(fā)展的道路。

1868年，貝爾特拉米在偽球面上實現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何，在歐氏空間中給出直觀上難以想象的非歐幾何模型。之后克萊因和龐加萊分別給出各自的非歐幾何模型，說明非歐幾何本身的相容性(即無矛盾性)與歐氏幾何一致，加速了人們接受非歐幾何的進(jìn)程。

在60年代末70年代初，由高斯在十九世紀(jì)初開辟的代數(shù)數(shù)論研究，經(jīng)由戴德金和克羅內(nèi)克等人的推進(jìn)，形成為內(nèi)容豐富的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。戴德金引進(jìn)一種代數(shù)數(shù)類代替庫默爾的理想數(shù)，重建了代數(shù)數(shù)域中的惟一因子分解定理，創(chuàng)立了理想論?？肆_內(nèi)克則另辟蹊徑，得到相似的概念，并創(chuàng)立有理函數(shù)域論，引進(jìn)在域上添加代數(shù)量生成擴域的方法。

這里，需要提及概率論中的幾項重要成果。在十九世紀(jì)，概率論的發(fā)展不象數(shù)學(xué)其他分支那樣突出。自拉普拉斯之后，泊松曾得到著名的泊松分布。更重要的是切比雪夫關(guān)于獨立隨機變量序列的大數(shù)律和某類獨立隨機變量序列的中心極限定理，概率論的系統(tǒng)理論到二十世紀(jì)才完成。

綜上所述，可看到十九世紀(jì)前半葉出現(xiàn)的新思想，在這20多年間變得更成熟，形成了眾多獨立的研究方向或分支學(xué)科。

數(shù)學(xué)公理化運動的初創(chuàng)期

這一階段從十九世紀(jì)七十年代初到十九世紀(jì)末。數(shù)學(xué)經(jīng)過十九世紀(jì)前七十年的發(fā)展，討論基礎(chǔ)問題的條件已趨成熟。與以前的世紀(jì)不同，十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家最終選擇算術(shù)而不是幾何作為本門科學(xué)的基礎(chǔ)。

幾何中普呂克有關(guān)齊次坐標(biāo)的研究，分析中魏爾斯特拉斯的靜態(tài)方法都反映了這種傾向。但是算術(shù)中最基本的實數(shù)概念始終是模糊的?？挛鞯膶崝?shù)定義有嚴(yán)重缺陷，犯了循環(huán)定義的錯誤。

1872年，魏爾斯特拉斯、康托爾、戴德金和其他一些數(shù)學(xué)家，在確認(rèn)有理數(shù)存在的前提下，通過不同途徑給無理數(shù)下了精確定義。又經(jīng)過不少數(shù)學(xué)家的努力，最終由意大利學(xué)者皮亞諾完成了有理數(shù)理論。1881年，他在《算術(shù)原理新方法》中，給出了自然數(shù)的公理體系，由此可從邏輯上嚴(yán)格定義正整數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)。

康托爾在探討實數(shù)定義的同時，研究了傅里葉級數(shù)收斂點集的結(jié)構(gòu)，1874年起發(fā)表一系列有關(guān)無窮集合的文章，開創(chuàng)了集合論這一基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)分支?？低袪柕某晒歉叨泉殑?chuàng)性的，他把無窮集本身作為研究對象，通過一一對應(yīng)方法，區(qū)分無窮集的大小，定義了集合的基數(shù)(或稱勢)，引進(jìn)序型、序數(shù)以及一些屬于拓?fù)鋵W(xué)的基本概念。他提出了著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

康托爾的工作影響十分深遠(yuǎn)：首先是重新喚起人們對實無窮的研究，開拓了點集拓?fù)涞念I(lǐng)域；第二，使人們把函數(shù)的定義域建立在一般的點集之上，推動了測度論和泛函分析的研究；第三，由于集合論的內(nèi)在矛盾，激發(fā)起對數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的深入研究。

但集合論問世之初，曾遭到一些著名數(shù)學(xué)家的激烈反對，以至康托爾晚年處于精神崩潰狀態(tài)。到十九世紀(jì)末，阿達(dá)馬等證實了康托爾的理論在分析學(xué)中的重要應(yīng)用，才使這一理論得到轉(zhuǎn)機，終于成為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的一個基礎(chǔ)。

分析的嚴(yán)格化以皮亞諾的自然數(shù)公理體系的建立而告一段落。這種公理化的傾向也同樣在其他數(shù)學(xué)分支蔓延。弗雷格提出了邏輯公理體系，帕施得到了射影幾何的公理體系。最著名的是希爾伯特于1899年在《幾何基礎(chǔ)》中闡述的歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)。他考慮了公理系統(tǒng)的獨立性、相容性和完備性，并證明歐幾里得幾何的相容性可歸結(jié)為算術(shù)的相容性。

希爾伯特的工作掀起了公理化的熱潮：一方面，數(shù)學(xué)家為各數(shù)學(xué)分支建立公理體系；另一方面，通過略去否定或其他方式改變所論體系的公理來探索新體系、新問題。

公理化運動并沒有限制新思想的萌生和對各種具體課題的研究，后者始終是數(shù)學(xué)發(fā)展中最活躍的因素。群論的應(yīng)用在這一時期特別引人矚目，1872年，克萊因受聘任埃爾朗根大學(xué)教授時，發(fā)表題為《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》的講演(即著名的埃爾朗根綱領(lǐng))，他指出每種幾何可由特定的變換群來刻畫，各種幾何的研究內(nèi)容是在相應(yīng)的變換群下的不變量，一種幾何的子幾何則是研究原變換群的子群的不變量。根據(jù)變換群的觀點，克萊因?qū)缀芜M(jìn)行了系統(tǒng)分類，揭示了群的概念在幾何中的統(tǒng)一作用(不包括一般的黎曼幾何和代數(shù)幾何)開拓了研究幾何的一種有效的方法?？巳R因的工作體現(xiàn)了數(shù)學(xué)專門化趨勢中蘊含的統(tǒng)一因素。

1874年，挪威數(shù)學(xué)家李在研究常微分方程與保持這些方程的解不變的變換群之間的關(guān)系時，創(chuàng)建了連續(xù)變換群理論(現(xiàn)稱李群)以及相應(yīng)的代數(shù)(現(xiàn)稱李代數(shù))。有了對具體的群的廣泛研究，抽象群論獲得了新生。1882年，德國數(shù)學(xué)家迪克受凱萊工作的鼓舞，引進(jìn)用生成元和生成元之間關(guān)系來定義群的抽象觀點，開始抽象群論的系統(tǒng)研究。與此相伴的是分析與經(jīng)典代數(shù)方法對群論的應(yīng)用，即群的表示理論應(yīng)運而生。

組合拓?fù)鋵W(xué)作為一門學(xué)科在十九世紀(jì)末登上了數(shù)學(xué)舞臺。龐加萊是這一領(lǐng)域的主要奠基者。龐加萊是當(dāng)時領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家之一，興趣廣泛，研究涉及眾多數(shù)學(xué)分支以至天體力學(xué)和物理科學(xué)。在探討描述行星運動的微分方程周期解時，他采用了拓?fù)溆^點分析奇點及積分曲線的結(jié)構(gòu)，開創(chuàng)了微分方程定性理論。在研究一般”維圖形的結(jié)構(gòu)時，引進(jìn)了一套系統(tǒng)的組合方法，為組合拓?fù)涞於嘶A(chǔ)。拓?fù)浜统橄蟠鷶?shù)的觀點和方法成為二十世紀(jì)最有影響的研究手段。

與龐加萊齊名的另一位著名數(shù)學(xué)家是希爾伯特。他不僅積極創(chuàng)導(dǎo)了公理化方法，而且特別重視數(shù)學(xué)中單個重大問題的研究，認(rèn)為這是數(shù)學(xué)活力之所在。他本人就通過解決一系列具體問題，得到許多重要方法。十九世紀(jì)末，他發(fā)表了兩個報告?！稊?shù)論報告》系統(tǒng)總結(jié)了代數(shù)數(shù)論的全部成果，開辟了類域論的研究方向。

1900年，在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特作了影響深遠(yuǎn)的題為《數(shù)學(xué)問題》的報告，成為迎接二十世紀(jì)挑戰(zhàn)的宣言。

在數(shù)學(xué)分成幾十個分支各自獨立發(fā)展的形勢下，希爾伯特堅信數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯(lián)系。在十九世紀(jì)末，領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)前途充滿了信心，與十八世紀(jì)末的情景形成鮮明對照。龐加萊和希爾伯特的業(yè)績展示了二十世紀(jì)數(shù)學(xué)大發(fā)展的曙光。

        二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)

如果有人想談?wù)撘粋€世紀(jì)的終結(jié)以及下一個世紀(jì)的開始，那么他有兩個具有相當(dāng)難度的選擇：一個是回顧過去百年的數(shù)學(xué)；另一個是對未來百年數(shù)學(xué)發(fā)展的預(yù)測，我選擇了前面這個比較困難的任務(wù)，任何人都可以預(yù)測未來而且我們并不能判定是對還是錯．然而對過去的任何評述，每個人都可以提出異議．

我在這里所講的是我個人的觀點．這個報告不可能包含所有內(nèi)容，特別是，有一些重要的內(nèi)容我不準(zhǔn)備涉及，一部分是因為我不是那些方面的專家，一部分也是出于它們已經(jīng)在其他地方被評述過了.例如，我不會去談?wù)撃切┌l(fā)生在邏輯與計算領(lǐng)域內(nèi)的著名事件，這些事件往往是與像Hi1bert，G?del，Turing這些偉大的名字相關(guān)的，除了數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)物理中的應(yīng)用之外，我也不會談?wù)撎鄶?shù)學(xué)的其他應(yīng)用，這是因為數(shù)學(xué)的應(yīng)用太廣泛了，而且這需要專門的論述．每一個方面都需要一個專門的報告．也許大家在這次會議的其他報告中會聽到很多關(guān)于這些內(nèi)容的演講．另外，試著羅列一些定理，甚至是列出在過去一百年的著名數(shù)學(xué)家的名字也是毫無意義的，那簡直是在做枯燥的練習(xí)．所以，代替它們的是，我試著選擇一些我認(rèn)為在很多方面都是很重要的主題來討論并且強調(diào)圍繞這些主題所發(fā)生的事情．

首先我有一個一般性的說明．世紀(jì)是一個大約的數(shù)字概念．我們不會真地認(rèn)為在過整整一百年的時候，有些事情會突然停下來，再重新開始，所以當(dāng)我描述二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)時，有些內(nèi)容實際上可能是跨世紀(jì)的，如果某件事件發(fā)生在十九世紀(jì)九十年代，并持續(xù)到二十世紀(jì)初，我將不去計較這種時間方面的細(xì)節(jié)．我所做的就象一個天文學(xué)家，工作在一個近似的數(shù)字環(huán)境中．實際上，許多東西始于十九世紀(jì)，只不過在二十世紀(jì)才碩果累累．

這個報告的難點之一是很難把我們自己放回到1900年時作為一位數(shù)學(xué)家的位置上，這是因為上個世紀(jì)的數(shù)學(xué)有非常多的內(nèi)容已經(jīng)被我們的文化和我們自己吸收掉了．難以想象人們不用我們的術(shù)語來思考的那個時代是什么樣子的．實際上，如果現(xiàn)在有人在數(shù)學(xué)上有一個真正重要的發(fā)現(xiàn)，其后他也一定會與之一起被忽略掉了！他會完全地被融入到背景之中，于是為了能夠回顧過去，我們必須努力去想象在不同時代，人們用不同方式思考問題時的情景．

從局部到整體

作為開始，我準(zhǔn)備列一些主題并且圍繞它們來討論．我談?wù)摰牡谝粋€主題概括地講，就是被大家稱為從局部到整體的轉(zhuǎn)變．在古典時期，人們大體上已經(jīng)研究了在小范圍內(nèi)，使用局部坐標(biāo)等等來研究事物．在這個世紀(jì)，重點已經(jīng)轉(zhuǎn)移到試圖了解事物整體和大范圍的性質(zhì)．由于整體性質(zhì)更加難以研究，所以大多只能有定性的結(jié)果，這時拓?fù)涞乃枷刖妥兊梅浅Ｖ匾耍?/span>Poincaré，他不僅為拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展作出先驅(qū)性的貢獻(xiàn)，而且也預(yù)言拓?fù)鋵W(xué)將成為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個重要的組成部分，順便讓我提一下，給出一系列著名問題的Hilbert并沒有意識到這一點．拓?fù)鋵W(xué)很難在他的那些問題中找到具體體現(xiàn)．但是對Poincaré而言，他相當(dāng)清楚地看出拓?fù)鋵W(xué)將成為一個重要的內(nèi)容．

讓我試著列一些領(lǐng)域，然后大家就能知道我在想什么了．例如，考慮一下復(fù)分析（也被稱為“函數(shù)論”），這在十九世紀(jì)是數(shù)學(xué)的中心，也是象Weierstrass這樣偉大人物工作的中心．對于他們而言，一個函數(shù)就是一個復(fù)變量的函數(shù);對于Weierstrass而言，一個函數(shù)就是一個冪級數(shù)．它們是一些可以用于寫下來，并且可以明確描繪的東西或者是一些公式．函數(shù)是一些公式:它們是明確可以用顯式寫下來的．然而接下來Abe1，Riemann和其后許多人的工作使我們遠(yuǎn)離了這些，以至于函數(shù)變得可以不用明確的公式來定義，而更多地是通過它們的整體性質(zhì)來定義：通過它們的奇異點的分布，通過它們的定義域位置，通過它們?nèi)≈捣秶@些整體性質(zhì)正是一個特定函數(shù)與眾不同的特性．局部展開只是看待它們的一種方式．

一個類似的事情發(fā)生在微分方程中，最初，解一個微分方程，人們需要尋找一個明確的局部解！是一些可以寫下來的東西．隨著事物的發(fā)展，解不必是一個顯函數(shù)，人們不一定必須用好的公式來描述它們．解的奇異性是真正決定其整體性質(zhì)的東西．與發(fā)生在復(fù)分析中的一切相比，這種精神是多么的類似，只不過在細(xì)節(jié)上有些不同罷了．

在微分幾何中，Gauss和其他人的經(jīng)典工作描述了小片的空間，小塊的曲率以及用來描述局部幾何的局部方程．只要人們想要了解曲面的整體圖象以及伴隨它們的拓?fù)鋾r，從這些經(jīng)典結(jié)果到大范圍的轉(zhuǎn)變就是很自然的了．當(dāng)人們從小范圍到大范圍時，最有意義的性質(zhì)就是拓?fù)涞男再|(zhì)．

數(shù)論也有一個類似的發(fā)展，盡管它并不是很明顯地適用于這一框架．?dāng)?shù)論學(xué)家們是這樣來區(qū)分他們稱之為“局部理論”和“整體理論”的：前者是當(dāng)他們討論一個單個的素數(shù)，一次一個素數(shù)，以及有限個素數(shù)時；后者是當(dāng)他們同時討論全部素數(shù)時．這種素數(shù)和點之間，局部和整體之間的類似性在數(shù)論發(fā)展過程中起了很重要的作用，并且那些在拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展中產(chǎn) 生的思想深深地影響了數(shù)論．

當(dāng)然這種情況也發(fā)生在物理學(xué)中，經(jīng)典物理涉及局部理論，這時我們寫下可以完全描述小范圍性質(zhì)的微分方程，接下來我們就必須研究一個物理系統(tǒng)的大范圍性質(zhì)．物理學(xué)涉及的全部內(nèi)容就是當(dāng)我們從小范圍出發(fā)時，我們可以知道在大范圍內(nèi)正在發(fā)生什么，可以預(yù)計將要發(fā)生什么，并且沿著這些結(jié)論前進(jìn)．

維數(shù)的增加

我的第二個主題有些不同，我稱之為維數(shù)的增加．我們再次從經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論開始：經(jīng)典復(fù)變函數(shù)論主要是詳細(xì)討論一個復(fù)變量理論并加以精煉．推廣到兩個或者更多個變量基本上發(fā)生在本世紀(jì)，并且是發(fā)生在有新現(xiàn)象出現(xiàn)的領(lǐng)域內(nèi)．不是所有的現(xiàn)象都與一個變量的情形相同，這里有完全新的特性出現(xiàn)，并且n個變量的理論的研究越來越占有統(tǒng)治地位，這也是本世紀(jì)主要成就之一．

另一方面，過去的微分幾何學(xué)家主要研究曲線和曲面，我們現(xiàn)在研究n維流形的幾何，大家仔細(xì)想一想，就能意識到這是一個重要的轉(zhuǎn)變．在早期，曲線和曲面是那些人們能真正在空間里看到的東西．而高維則有一點點虛構(gòu)的成分，在其中人們可以通過數(shù)學(xué)思維來想象,但當(dāng)時人們也許沒有認(rèn)真對待它們．認(rèn)真對待它們并且用同樣重視程度來研究它們的這種思想實際上是二十世紀(jì)的產(chǎn)物．同樣地，也沒有明顯的證據(jù)表明我們十九世紀(jì)的先驅(qū)者們思考過函數(shù)個數(shù)的增加，研究不單單一個而是幾個函數(shù)，或者是向量值函數(shù)(vector-valued function)．所以我們看到這里有一個獨立和非獨立變量個數(shù)增加的問題．

線性代數(shù)總是涉及多個變量，但它的維數(shù)的增加更具有戲劇性，它的增加是從有限維到無窮維，從線性空間到有無窮個變量的Hilbert空間．當(dāng)然這就涉及到了分析,在多個變量的函數(shù)之后，我們就有函數(shù)的函數(shù)，即泛函．它們是函數(shù)空間上的函數(shù)．它們本質(zhì)上有無窮多個變量，這就是我們稱為變分學(xué)的理論．一個類似的事情發(fā)生在一般（非線性）函數(shù)理論的發(fā)展中．這是一個古老的課題，但真正取得卓越的成果是在二十世紀(jì)．這就是我談的第二個主題．

從交換到非交換

第三個主題是從交換到非交換的轉(zhuǎn)變．這可能是二十世紀(jì)數(shù)學(xué)，特別是代數(shù)學(xué)的最主要的特征之一．代數(shù)的非交換方面已經(jīng)極其重要，當(dāng)然，它源自于十九世紀(jì)．它有幾個不同的起源．Hamilton在四元數(shù)方面的工作可能是最令人驚嘆的，并且有巨大的影響，實際上這是受處理物理問題時所采用的思想所啟發(fā)．還有Grassmann在外代數(shù)方面的工作，這是另一個代數(shù)體系，現(xiàn)在已經(jīng)被融入我們的微分形式理論中．當(dāng)然，還有Cayley以線性代數(shù)為基礎(chǔ)的矩陣方面的工作和Galois在群論方面的工作等．

所有這些都是以不同的方式形成了把非交換乘法引入代數(shù)理論的基石，我形象地把它們說成是二十世紀(jì)代數(shù)機器賴以生存的“面包和黃油”．我們現(xiàn)在可以不去思考這些，但在十九世紀(jì)，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，當(dāng)然，這些思想在不同的領(lǐng)域內(nèi)得到了驚人的發(fā)展．矩陣和非交換乘法在物理中的應(yīng)用產(chǎn)生了量子理論．Heisenberg對易關(guān)系是非交換代數(shù)在物理中的一個最重要的應(yīng)用例子，以至后來被von Neumann推廣到他的算子代數(shù)理論中．

群論也是在二十世紀(jì)占重要位量的理論，我稍后再回來談它．

從線性到非線性

我的下一個主題是從線性到非線性的轉(zhuǎn)變．古典數(shù)學(xué)的大部分或者基本上是線性的，或者即使不是很精確的線性，也是那種可以通過某些擾動展開來研究的近似線性，真正的非線性現(xiàn)象的處理是非常困難的，且只是在本世紀(jì)，才在很大的范圍內(nèi)對其進(jìn)行了真正的研究．

我們從幾何開始談起：Euclid幾何，平面的幾何，空間的幾何，直線的幾何，所有這一切都是線性的．而從非歐幾何的各個不同階段到Riemann的更一般的幾何，所討論的基本上是非線性的．在微分方程中，真正關(guān)于非線性現(xiàn)象的研究已經(jīng)處理了眾多我們通過經(jīng)典方法所看不到的新現(xiàn)象．在這里我只舉兩個例子，孤立子和混沌，這是微分方程理論兩個非常不同的方面，在本世紀(jì)已經(jīng)成為極度重要和非常著名的研究課題了．它們代表不同的極端．孤立子代表非線性微分方程的無法預(yù)料的有組織的行為，而混沌代表的是無法預(yù)料的無組織的行為(disorganized behavior)．這兩者出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，都是非常有趣和重要的，但它們基本土都是非線性現(xiàn)象．我們同樣可以將關(guān)于孤立子的某些工作的早期歷史追溯到十九世紀(jì)下葉，但那只是很少的一部分．

當(dāng)然，在物理學(xué)，Maxwell方程（電磁學(xué)的基本方程）是線性偏微分方程．與之對應(yīng)的是著名的Yang-Mills方程，它們是非線性方程并被假定用來調(diào)控與物質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān)的力．這些方程之所以是非線性的，是因為Yang-Mills方程本質(zhì)上是Maxwell方程的矩陣體現(xiàn)，并且由矩陣不可交換這一事實導(dǎo)致方程中出現(xiàn)非線性項．于是在這里我們看到了一個非線性性與非交換性之間的有趣的聯(lián)系．非交換性產(chǎn)生一類特殊的非線性性，這的確是很有意思和很重要的．

幾何與代數(shù)

至此我談的是一些一般性的主題，現(xiàn)在我想談?wù)撘幌聰?shù)學(xué)中的一個二分叉現(xiàn)象，它來回?fù)u擺卻始終伴隨著我們，這就給了我一個機會來做一些哲學(xué)上的思索和說明．我指的是幾何和代數(shù)之間的二分法，幾何和代數(shù)是數(shù)學(xué)的兩個形式支柱，并且都有悠久的歷史．幾何學(xué)可以追溯到古希臘甚至更早的時期；代數(shù)學(xué)則源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它們都已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但它們之間有一種令人感到不太自然的關(guān)系．

讓我首先由這個問題的歷史開始．Euc1id幾何是數(shù)學(xué)理論中最早的一個例子，直到Descartes在我們現(xiàn)在稱為的笛卡兒平面中引入代數(shù)坐標(biāo)之前，它一直是純幾何的．Descartes的做法是一種將幾何思考化為代數(shù)運算的嘗試．從代數(shù)學(xué)家們的角度來講，這當(dāng)然是對幾何學(xué)的一個重大突破或者說一次重大的沖擊，如果我們來比較Newton和Leibniz在分析方面的工作，我們會發(fā)現(xiàn)他們屬于不同的傳統(tǒng)，Newton基本上是一個幾何學(xué)家而Le1bniz基本土是一個代數(shù)學(xué)家，這其中有著很深刻的道理．對于Newton而言，幾何學(xué)，或者是由他發(fā)展起來的微積分學(xué)，都是用來描述自然規(guī)律的數(shù)學(xué)嘗試．他關(guān)心的是在很廣泛意義下的物理，以及幾何世界中的物理．在他看來，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的觀點來思考它，用幾何圖象的觀點來看待它．當(dāng)他發(fā)展微積分的時候，他想要發(fā)展的是微積分的一種能盡可能貼近隱藏在其后的物理內(nèi)蘊的表現(xiàn)形式．所以他用的是幾何論證，因為這樣可以與實際意義保持密切關(guān)系，另一方面，Leibniz有一個目標(biāo)，一個雄心勃勃的目標(biāo)，那就是形式化整個數(shù)學(xué)，將之變成一個龐大的代數(shù)機器．這與Newton的途徑截然不同，并且二者有很多不同的記號．正如我們所知道的，在Newton和Leibniz之間的這場大爭論中，Leibniz的記號最后得勝．我們現(xiàn)在還沿用他的記號來寫偏導(dǎo)數(shù)．Newton的精神尚在，但被人們埋葬了很長時間．

在十九世紀(jì)末期，也就是一百年前，Poincaré和Hilbert是兩個主要人物．我在前面已經(jīng)提到過他們了，并且可以粗略地講，他們分別是Newton和Leibniz的傳人．Poincaré的思想更多的是幾何和拓?fù)涞木?，他用這些思想作為他的基本洞察工具．Hilbert更多的是一個形式主義者，他要的是公理化，形式化，并且要給出嚴(yán)格的，形式的描述．雖然任何一個偉大的數(shù)學(xué)家都不能輕易地被歸到哪一類中去，但是，很清楚地，他們屬于不同的傳統(tǒng)．

當(dāng)準(zhǔn)備這個報告的時候，我想我應(yīng)該寫下我們目前這一代中能夠繼承這些傳統(tǒng)的具有代表性的人的名字．談?wù)撨€健在的人是十分困難的──誰該放在這張名單上呢？接著我又暗自思忖：有誰會介意被放在這么一張著名的名單的哪一邊呢？于是我選擇了兩個名字Arnold　Bourbaki，前者是Poincaré-Newton傳統(tǒng)的繼承人，而后者，我認(rèn)為，是Hilbert最著名的接班人．Arnold毫不含糊地認(rèn)為：他的力學(xué)和物理的觀點基本上是幾何的，是源自于Newton的；以為存在處于二者之間的東西，除了象Riemann（他確實跟兩者都有偏離）等少數(shù)人之外，都是一種誤解．Bourbaki努力繼續(xù)Hilbert的形式化的研究，將數(shù)學(xué)公理化和形式化推向了一個令人矚目的范圍并取得了一些成功．每一種觀點都有它的優(yōu)點，但是它們之間很難調(diào)和．

讓我來解釋一下我自己是如何看待幾何和代數(shù)之間的不同．幾何學(xué)當(dāng)然講的是空間，這是毫無疑問的．如果我面對這間房間里的聽眾，我可以在一秒中內(nèi)或者是一微秒內(nèi)看到很多，接收到大量的信息，當(dāng)然這不是一件偶然的事件．我們大腦的構(gòu)造與視覺有著極其重要的關(guān)系．我從一些從事神經(jīng)生理學(xué)的朋友那里了解到，視覺占用了大腦皮層的百分之八十或九十．在大腦中大約有十七個中樞，每一個中樞專門用來負(fù)責(zé)視覺活動的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分與水平方向有關(guān)，有些部分是關(guān)于色彩和透視的，最后有些部分涉及的是所見事物的具體含義和解說．理解并感知我們所看到的這個世界是我們?nèi)祟惏l(fā)展進(jìn)化的一個非常重要的部分．因此空間直覺(spatial intuition)或者空間知覺(spatial perception)是一種非常強有力的工具，也是幾何學(xué)在數(shù)學(xué)上占有如此重要位置的原因，它不僅僅對那些明顯具有幾何性質(zhì)的事物可以使用，甚至對那些沒有明顯幾何性質(zhì)的事物也可以使用．我們努力將它們歸結(jié)為幾何形式，因為這樣可以讓我們使用我們的直覺．我們的直覺是我們最有力的武器．特別是在向?qū)W生或是同事講解一種數(shù)學(xué)時可以看得很清楚．當(dāng)你講解一個很長而且很有難度的論證，最后使學(xué)生明白了．學(xué)生這時會說些什么呢？他會說“我看到了（我懂了）！”在這里看見與理解是同義詞，而且我們還可以用“知覺”這個詞來同時形容它們，至少這在英語里是對的，把這個現(xiàn)象與其他語言作對比同樣有趣．我認(rèn)為有一點是很基本的：人類通過這種巨大的能力和視覺的瞬間活動獲取大量的信息，從而得以發(fā)展，而教學(xué)參與其中并使之完善．

在另一方面（也許有些人不這樣認(rèn)為），代數(shù)本質(zhì)上涉及的是時間．無論現(xiàn)在做的是哪一類代數(shù)，都是一連串的運算被一個接著一個羅列出來，這里“一個接著一個”的意思是我們必須有時間的概念．在一個靜態(tài)的宇宙中，我們無法想象代數(shù)，但幾何的本質(zhì)是靜態(tài)的：我可以坐在這里觀察，沒有什么變化，但我仍可以繼續(xù)觀察．然而,代數(shù)與時間有關(guān)，這是因為我們有一連串的運算，這里當(dāng)我談到“代數(shù)”時，我并不單單指現(xiàn)代代數(shù)．任何算法，任何計算過程，都是一個接著一個地給出一連串步驟,現(xiàn)代計算機的發(fā)展使這一切看得很清楚．現(xiàn)代計算機用一系列0和1來反映其信息并由此給出問題的答案．

代數(shù)涉及的是時間的操作，而幾何涉及的是空間．它們是世界互相垂直的兩個方面，并且它們代表數(shù)學(xué)中兩種不同的觀念．因此在過去數(shù)學(xué)家們之間關(guān)于代數(shù)和幾何相對重要性的爭論或者對話代表了某些非常非?；镜氖虑椋?/font>