數(shù)學(xué)與中國文學(xué)的比較
丘成桐
很多人會(huì)覺得我今日的講題有些奇怪，中國文學(xué)與數(shù)學(xué)好象是風(fēng)馬牛不相及，
但我卻討論它。其實(shí)這關(guān)乎個(gè)人的感受和愛好，不見得其它數(shù)學(xué)家有同樣的感覺，
“如人飲水，冷暖自知”。每個(gè)人的成長和風(fēng)格跟他的文化背景、家庭教育有莫
大的關(guān)系。我幼受庭訓(xùn)，影響我至深的是中國文學(xué)，而我最大的興趣是數(shù)學(xué)，所
以將他們做一個(gè)比較，對(duì)我來說是相當(dāng)有意義的事。
中國古代文學(xué)記載最早的是詩三百篇，有風(fēng)雅頌，既有民間抒情之歌，朝廷
禮儀之作，也有歌頌或諷刺當(dāng)政者之曲。至孔子時(shí)，文學(xué)為君子立德和陶冶民風(fēng)
而服務(wù)。戰(zhàn)國時(shí)，諸子百家都有著述，在文學(xué)上有重要的貢獻(xiàn)，但是諸子如韓非
卻輕視文學(xué)之士。屈原開千古辭賦之先河，畢生之志卻在楚國的復(fù)興。文學(xué)本身
在古代社會(huì)沒有占據(jù)到重要的地位。司馬遷甚至說：“文史、星歷，近乎卜祝之
間，固主上所戲弄，倡優(yōu)畜之，流俗之所輕也?！币恢钡讲茇Р湃婵隙ㄎ膶W(xué)本
身的重要性：“蓋文章，經(jīng)國之大業(yè)，不朽之盛事?！奔词谷绱耍茇У牡艿懿?
植卻不以為文學(xué)能與治國的重要性相比。他寫信給他的朋友楊修說：
“吾雖德薄，位為蕃侯，猶幾戮力上國，流惠下民，建永世之業(yè)，留金石之
功。豈徒以翰墨為勛績，辭賦為君子哉?！?
至于數(shù)學(xué)，中國儒家將它放在六藝之末，是一個(gè)輔助性的學(xué)問。當(dāng)政者更視
之為雕蟲小技，與文學(xué)比較，連歌頌朝廷的能力都沒有，政府對(duì)數(shù)學(xué)的尊重要到
近年來才有極大的改進(jìn)。西方則不然，希臘哲人以數(shù)學(xué)為萬學(xué)之基。帕拉圖以通
幾何為入其門檻之先決條件，所以數(shù)學(xué)家得到崇高地位，在西方蓬勃發(fā)展了兩千
多年。
一、數(shù)學(xué)之基本意義
數(shù)學(xué)之為學(xué)，有其獨(dú)特之處，它本身是尋求自然界真相的一門科學(xué)，但數(shù)學(xué)
家也如文學(xué)家般天馬行空，憑愛好而創(chuàng)作，故此數(shù)學(xué)可說是人文科學(xué)和自然科學(xué)
的橋梁。
數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法
表達(dá)出來。這里所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛，我們認(rèn)為數(shù)字、幾何
圖形和各種有意義的規(guī)律都是自然界的一部份，我們希望用簡潔的數(shù)學(xué)語言將這
些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來。
數(shù)學(xué)是一門公理化的科學(xué)，所有命題必需由三段論證的邏輯方法推導(dǎo)出來，
但這只是數(shù)學(xué)的形式，而不是數(shù)學(xué)的精髓。大部份數(shù)學(xué)著作枯燥乏味，而有些卻
令人嘆為觀止，其中的分別在那里？
大略言之，數(shù)學(xué)家以其對(duì)大自然感受的深刻膚淺，來決定研究的方向，這種
感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個(gè)人的氣質(zhì)，氣質(zhì)與文化修養(yǎng)
有關(guān)，無論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性
的作用。文化修養(yǎng)是以數(shù)學(xué)的功夫?yàn)榛A(chǔ)，自然科學(xué)為副，但是深厚的人文知識(shí)
也極為要緊，因?yàn)槿宋闹R(shí)也致力于描述心靈對(duì)大自然的感受，所以司馬遷寫史
記除了“通古今之變”外，也要“究天人之際”。
劉勰在文心雕龍．原道篇說文章之道在于：
“寫天地之輝光，曉生民之耳目?！?
劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。他又說：
“人與天地相參，乃性靈所集聚，是以謂之三才，為五行之秀氣，實(shí)天地之
靈氣。靈心既生，于是語言以立。語言既立，于是文章著明，此亦原于自然之道
也?！?
文心雕龍．風(fēng)骨：
“詩總六義，風(fēng)冠其首，斯乃化感之本源，志氣之符契也?！?
歷代的大數(shù)學(xué)家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數(shù)學(xué)之所出，
即有微積分的創(chuàng)作。費(fèi)爾瑪和尤拉對(duì)變分法的開創(chuàng)性發(fā)明也是由于探索自然界的
現(xiàn)象而引起的。
近代幾何學(xué)的創(chuàng)始人高斯認(rèn)為幾何和物理不可分，他說：“我越來越確信幾
何的必然性無法被驗(yàn)證，至少現(xiàn)在無法被人類或?yàn)榱巳祟惗?yàn)證，我們或許能在
未來領(lǐng)悟到那無法知曉的空間的本質(zhì)。我們無法把幾何和純粹是先驗(yàn)的算術(shù)歸為
一類，幾何和力學(xué)卻不可分割。”
二十世紀(jì)幾何學(xué)的發(fā)展，則因物理學(xué)上重要的突破而屢次改變其航道。當(dāng)?shù)?
拉克把狹義相對(duì)論用到量子化的電子運(yùn)動(dòng)理論時(shí)，發(fā)現(xiàn)了狄拉克方程，以后的發(fā)
展連狄拉克本人也嘆為觀止，認(rèn)為他的方程比他的想象來得美妙，這個(gè)方程在近
代幾何的發(fā)展起著關(guān)鍵性的貢獻(xiàn)，我們對(duì)旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它
出于自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至。
廣義相對(duì)論提出了場方程，它的幾何結(jié)構(gòu)成為幾何學(xué)家夢(mèng)寐以求的對(duì)象，因
為它能賦予空間一個(gè)調(diào)和而完美的結(jié)構(gòu)。我研究這種幾何結(jié)構(gòu)垂三十年，時(shí)而迷
惘，時(shí)而興奮，自覺同詩經(jīng)、楚辭的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為
一體，自得其趣。
捕捉大自然的真和美，實(shí)遠(yuǎn)勝于一切人為的造作，正如文心雕龍說的：
“云霞雕色，有逾畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然
耳?！?
在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結(jié)構(gòu)是一個(gè)極為重要的物理問題，
它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其它幾何學(xué)家都不相信它存在，我卻鍥
而不舍，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：
“亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔?！?
我花了五年工夫，終于找到了具有超對(duì)稱的引力場結(jié)構(gòu)，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)
上的重要工具。當(dāng)時(shí)的心境，可以用以下兩句來描述：
“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛?！?
以后大批的弦理論學(xué)家參與研究這個(gè)結(jié)構(gòu)，得出很多深入的結(jié)果。剛開始時(shí)，
我的朋友們都對(duì)這類問題敬而遠(yuǎn)之，不愿意與物理學(xué)家打交道。但我深信造化不
致弄人，回顧十多年來在這方面的研究尚算滿意，現(xiàn)在卡拉比－丘空間的理論已
經(jīng)成為數(shù)學(xué)的一支主流。
二、數(shù)學(xué)的文采
數(shù)學(xué)的文采，表現(xiàn)于簡潔，寥寥數(shù)語，便能道出不同現(xiàn)象的法則，甚至在自
然界中發(fā)揮作用，這是數(shù)學(xué)優(yōu)雅美麗的地方。我的老師陳省身先生創(chuàng)作的陳氏類，
就文采斐然，令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現(xiàn)象界中成為
物理學(xué)界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明“采
菊東蘺下，悠然見南山”的意境。
從歐氏幾何的公理化、到笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，到牛頓、萊布尼茲的微積
分，到高斯、黎曼創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)幾何，一直到與物理學(xué)水乳相融的近代幾何，都以
簡潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色于任何一件文學(xué)創(chuàng)作，它們軔生的時(shí)代與
文藝興起的時(shí)代相同，絕對(duì)不是巧合。
數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)想法的時(shí)候，可以看到高雅的文采和嶄新的風(fēng)格，例
如歐幾里得證明存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，開創(chuàng)反證法的先河。高斯研究十七邊形的對(duì)
稱群，使伽羅華群成為數(shù)論的骨干。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五
言詩的始祖蘇(武)李(陵)唱和詩和詞的始祖李太白的憶秦娥。
三、數(shù)學(xué)中的賦比興
中國詩詞都講究比興，鐘爃在“詩品”中說：
“文已盡而意有余，興也。因物喻志，比也?！?
劉勰在文心雕龍中說：
“故比者，附也。興者，起也。附理者切類以指事，起情者依微以擬議。起
情故興體以立，附理故比例以生?！?
白居易：
“噫，風(fēng)雪花草之物《三百篇》中豈含之乎？顧所用何如耳，設(shè)如北風(fēng)其涼，
假風(fēng)以刺威虐也，雨雪霏霏，因雪以愍征役也……比興發(fā)于此而義歸于彼。”
他批評(píng)謝朓詩“‘余霞散成綺，澄江凈如練?！悇t麗矣，吾不知其所諷焉，
故仆所謂嘲風(fēng)雪，弄花草而已，文意盡去矣?！?
有深度的文學(xué)作品必需要有“義”、有“諷”、有“比興”。數(shù)學(xué)亦如是。
我們?cè)趯で笳嬷獣r(shí)，往往只能憑已有的經(jīng)驗(yàn)，因循研究的大方向，憑我們對(duì)大自
然的感覺而向前邁進(jìn)，這種感覺是相當(dāng)主觀的，因個(gè)人的文化修養(yǎng)而定。
文學(xué)家為了達(dá)到最佳意境的描述，不見得忠實(shí)地描寫現(xiàn)象界，例如賈島只追
究“僧推月下門”或是“僧敲月下門”的意境，而不在乎所說的是不同的事實(shí)。
數(shù)學(xué)家為了創(chuàng)造美好的理論，也不必依隨大自然的規(guī)律，只要邏輯推導(dǎo)沒有問題，
就可以盡情的發(fā)揮想象力，然而文章終究有高下之分。大致來說，好的文章“比
興”的手法總會(huì)比較豐富。
中國古詩十九首，作者年代不詳，但大家都認(rèn)為是漢代的作品。劉勰說：
“比采而推，兩漢之作乎?！边@是從詩的結(jié)構(gòu)和風(fēng)格進(jìn)行推敲而得出的結(jié)論。在
數(shù)學(xué)的研究過程中，我們亦利用比的方法去尋找真理。我們創(chuàng)造新的方向時(shí)，不
必憑實(shí)驗(yàn)，而是憑數(shù)學(xué)的文化涵養(yǎng)去猜測去求證。
舉例而言，三十年前我提出一個(gè)猜測，斷言三維球面里的光滑極小曲面，其
第一特征值等于二。當(dāng)時(shí)這些曲面例子不多，只是憑直覺，利用相關(guān)情況模擬而
得出的猜測，最近有數(shù)學(xué)家寫了一篇文章證明這個(gè)猜想。其實(shí)我的看法與文學(xué)上
的比興很相似。
我們看洛神賦：
“翩若驚鴻，婉若游龍。榮曜秋菊，華茂春松。仿彿兮若輕云之蔽月，飄飄
兮若流風(fēng)之回雪?！?
由比喻來刻劃女神的體態(tài)，又看詩經(jīng)：
“高山仰止，景行行止。四牡騑騑，六轡如琴，靚爾新婚，以慰我心。”
也是用比的方法來描寫新婚的心情。
我一方面想象三維球的極小子曲面應(yīng)當(dāng)是如何的勻稱，一方面想象第一譜函
數(shù)能夠同空間的線性函數(shù)比較該有多妙，通過原點(diǎn)的平面將曲面最多切成兩塊，
于是猜想這兩個(gè)函數(shù)應(yīng)當(dāng)相等，同時(shí)第一特征值等于二。
當(dāng)時(shí)我與卡拉比教授討論這個(gè)問題，他也相信這個(gè)猜測是對(duì)的。旁邊我的一
位研究生問為甚么會(huì)做這樣的猜測，不待我回答，卡教授便微笑說這就是洞察力
了。
數(shù)學(xué)上常見的對(duì)比方法乃是低維空間和高維空間現(xiàn)象的對(duì)比。我們雖然看不
到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現(xiàn)象，并由此來推測高維的變化。
我在做研究生時(shí)企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的
猜測，我認(rèn)為曲率的正或負(fù)可以作為復(fù)結(jié)構(gòu)的指向，這個(gè)看法影響至今，可以溯
源到十九世紀(jì)和二十世紀(jì)初期曲率和保角映像關(guān)系的研究。
另外一個(gè)對(duì)比的方法乃是數(shù)學(xué)不同分枝的比較，記得我從前用愛氏結(jié)構(gòu)證明
代數(shù)幾何中一個(gè)重要不等式時(shí)，日本數(shù)學(xué)家Miyaoka利用俄國數(shù)學(xué)家 Bogomolov
的代數(shù)穩(wěn)定性理論也給出這個(gè)不等式的不同證明，因此我深信愛氏結(jié)構(gòu)和流形的
代數(shù)穩(wěn)定有密切的關(guān)系，這三十年來的發(fā)展也確是朝這個(gè)方向蓬勃地進(jìn)行。
事實(shí)上，愛因斯坦的廣義相對(duì)論也是對(duì)比各種不同的學(xué)問而創(chuàng)造成功的，它
是科學(xué)史上最偉大的構(gòu)思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統(tǒng)一了古典的引
力理論和狹義相對(duì)論。愛氏花了十年功夫，基于等價(jià)原理，比較了各種描述引力
場的方法，巧妙地用幾何張量來表達(dá)了引力場，將時(shí)空觀念全盤翻新。
愛氏所用的工具是黎曼幾何，乃是黎曼比他早五十年前發(fā)展出來的，當(dāng)時(shí)的
幾何學(xué)家唯一的工具是對(duì)比，在古典微積分、雙曲幾何和流形理論的模擬后得出
來的漂亮理論。反過來說，廣義相對(duì)論給黎曼幾何注入了新的生命。
二十世紀(jì)數(shù)論的一個(gè)大突破乃是算術(shù)幾何的產(chǎn)生，利用群表示理論為橋梁，
將古典的代數(shù)幾何、拓樸學(xué)和代數(shù)數(shù)論比較，有如瑰麗的歌曲，它的發(fā)展，勢(shì)不
可擋，氣勢(shì)如虹，“天之所開，不可當(dāng)也”。
Weil研究代數(shù)曲線在有限域上解的問題后，得出高維代數(shù)流形有限域解的猜
測，推廣了代數(shù)流形的基本意義，直接影響了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。籌學(xué)所問，無過
于此矣。
偉大的數(shù)學(xué)家遠(yuǎn)矚高瞻，看出整個(gè)學(xué)問的大流，有很多合作者和跟隨者將支
架建立起來，解決很多重要的問題。正如曹雪芹創(chuàng)造紅樓夢(mèng)時(shí)，也是一樣，全書
既有真實(shí)，亦有虛構(gòu)。既有前人小說如西廂記、金瓶梅、牡丹亭等的蹤跡，亦有
作者家族雕零、愛情悲劇的經(jīng)驗(yàn)，通過各種不同人物的話語和生命歷程，道出了
封建社會(huì)大家族的腐敗和破落。紅樓夢(mèng)的寫作影響了清代小說垂二百年。
西廂記和牡丹亭的每一段寫作和描述男女主角的手法都極為上乘，但是全書
的結(jié)構(gòu)則是一般的佳人才子寫法，由金瓶梅進(jìn)步到紅樓夢(mèng)則小處和大局俱佳。
這點(diǎn)與數(shù)學(xué)的發(fā)展極為相似，從局部的結(jié)構(gòu)發(fā)展到大范圍的結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)
發(fā)展的一個(gè)過程。往往通過比興的手法來處理。幾何學(xué)和數(shù)論都有這一段歷史，
代數(shù)幾何學(xué)家在研究奇異點(diǎn)時(shí)通過爆炸的手段，有如將整個(gè)世界濃縮在一點(diǎn)。微
分幾何和廣義相對(duì)論所見到的奇異點(diǎn)比代數(shù)流形復(fù)雜，但是也希望從局部開始，
逐漸了解整體結(jié)構(gòu)。數(shù)論專家研究局部結(jié)構(gòu)時(shí)則通過素?cái)?shù)的模方法，將算術(shù)流形
變成有限域上的幾何，然后和大范圍的算術(shù)幾何對(duì)比，得出豐富的結(jié)果。數(shù)論學(xué)
家在研究 Langlands理論時(shí)也多從局部理論開始。
好的作品需要賦比興并用。鐘爃詩品：
“直書其事，寓言寫物，賦也。宏斯三義，酌而用之，干之以風(fēng)力，潤之以
丹采，使味之者無極，聞之者動(dòng)心，是詩之至也。若專用比興，則患在意深，意
深則詞躓。若但用賦體，則患在意浮，意浮則文散?！?
在數(shù)學(xué)上，對(duì)非線性微分方程和流體方程的深入了解，很多時(shí)需要靠計(jì)算器
來驗(yàn)算。很多數(shù)學(xué)家有能力做大量的計(jì)算，卻不從大處著想，沒有將計(jì)算的內(nèi)容
與數(shù)學(xué)其它分枝比較，沒有辦法得到深入的看法，反過來說只講觀念比較，不作
大量計(jì)算，最終也無法深入創(chuàng)新。
有些工作卻包含賦比興三種不同的精義。近五十年來數(shù)論上一個(gè)偉大的突破
是由英國人Birch和Swinneton-Dyer提出的一個(gè)猜測，開始時(shí)用計(jì)算器大量計(jì)算，
找出L函數(shù)和橢圓曲線的整數(shù)解的連系，與數(shù)論上各個(gè)不同的分枝比較接合，妙
不可言，這是賦比興都有的傳世之作。
四、數(shù)學(xué)家對(duì)事物的看法的多面性
由于文學(xué)家對(duì)事物有不同的感受，同一事或同一物可以產(chǎn)生不同的吟詠。例
如對(duì)楊柳的描述：
溫庭筠：
“柳絲長，春雨細(xì)……”
吳文英：
“一絲柳，一寸柔情，料峭春寒中酒……”
李白：
“年年柳色，灞陵傷別?！?
“風(fēng)吹柳花滿座香，吳姬壓酒勸客嘗?！?
周邦彥：
“柳陰直，煙里絲絲弄碧，隋堤上，曾見幾番，拂水飄綿送行色……長亭路，
年去歲來，應(yīng)折柔條過千尺。”
晏幾道：
“舞低楊柳樓心月，歌盡桃花扇底風(fēng)。”
柳枝既然是柔條，又有春天時(shí)的嫩綠，因此可以代表柔情，女性體態(tài)的柔軟
?。?、柳眉都是用柳條來描寫女性），又可以描寫離別感情和青春的感覺。
對(duì)事物有不同的感受后，往往通過比興的方法另有所指，例如“美人”有多
重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主：屈原九章“結(jié)微情以陳詞兮，矯
以遺夫美人?！币部梢灾钙返旅篮玫娜耍涸娊?jīng)邶風(fēng)：“云誰之思，西方美人。”
蘇軾赤壁賦“望美人兮天一方”。
數(shù)學(xué)家對(duì)某些重要的定理，也會(huì)提出很多不同的證明。例如勾股定理的不同
證明有十個(gè)以上，等周不等式亦有五、六個(gè)證明，高斯則給出數(shù)論對(duì)偶定律六個(gè)
不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個(gè)事實(shí)，往往引導(dǎo)出數(shù)
學(xué)上不同的發(fā)展。
記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大
體積后，幾何學(xué)家Gromov開始時(shí)不相信這個(gè)證明，以后他找出我證明方法的幾何
直觀意義后，發(fā)展出他的幾何理論，這兩個(gè)不同觀念都有它們的重要性。
小平邦彥有一個(gè)極為重要的貢獻(xiàn)叫做消滅定理，是用曲率的方法來得到的，
它在代數(shù)幾何學(xué)上有奠基性的貢獻(xiàn)，代數(shù)幾何學(xué)家卻不斷的企圖找尋一個(gè)純代數(shù)
的證明，希望對(duì)算術(shù)幾何有比較深入的了解。
對(duì)空間中的曲面，微分幾何學(xué)家會(huì)問它的曲率如何，有些分析學(xué)家希望沿著
曲率方向來推動(dòng)它一下看看有甚么變化，代數(shù)幾何學(xué)家可以考慮它可否用多項(xiàng)式
來表示，數(shù)論學(xué)家會(huì)問上面有沒有整數(shù)格點(diǎn)。這種種主觀的感受由我們的修養(yǎng)來
主導(dǎo)。
反過來說，文學(xué)家對(duì)同一事物亦有不同的歌詠，但在創(chuàng)作的工具上，卻有比
較統(tǒng)一的對(duì)仗韻律的講究，可以應(yīng)用到各種不同的文體。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說，對(duì)
仗韻律是一種對(duì)稱，而對(duì)稱的觀念在數(shù)學(xué)發(fā)展至為緊要，是所有數(shù)學(xué)分枝的共同
工具。另外，數(shù)學(xué)家又喜歡用代數(shù)的方法來表達(dá)空間的結(jié)構(gòu)，同調(diào)群乃是重要的
例子，由拓樸學(xué)出發(fā)而應(yīng)用到群論、代數(shù)、數(shù)論和微分方程學(xué)上去。
五、數(shù)學(xué)的意境
王國維在人間詞話說：
“詞以境界為最上。有境界則自成高格……有造境，有寫境，此理想與寫實(shí)
二派之所由分。然二者頗難分別，因大詩人所造之境必合乎自然，所寫之境亦必
鄰于理想故也。有有我之境，有無我之境。‘淚眼問花花不語，亂紅飛過秋千
去?！形抑骋?。‘采菊東蘺下，悠然見南山?！瓱o我之境也。有我
之境，以我觀物，故物皆著我之色彩。無我之境，以物觀物，故不知何者為我，
何者為物……無我之境，人唯乎靜中得之。有我之境，于由動(dòng)入靜時(shí)得之，故一
優(yōu)美，一宏壯也。自然之物互相關(guān)系，互相限制。然其寫之于文學(xué)及美術(shù)中也，
必有其關(guān)系限制之處。故雖寫實(shí)家亦理想家也。又雖如何虛構(gòu)之境，其材料必求
之于自然，而其構(gòu)造亦必從自然之法律。故雖理想家亦寫實(shí)家也。”
數(shù)學(xué)研究當(dāng)然也有境界的概念，在某種程度上也可談?dòng)形抑场o我之境，
當(dāng)年尤拉開創(chuàng)變分法和推導(dǎo)流體方程，由自然現(xiàn)象引導(dǎo)，可謂無我之境，他又憑
自己的想象力研究發(fā)散級(jí)數(shù)，而得到zeta函數(shù)的種種重要結(jié)果，開三百年數(shù)論之
先河，可謂有我之境矣。另外一個(gè)例子是法國數(shù)學(xué)家 Grothendick，他著述極豐，
以個(gè)人的哲學(xué)觀點(diǎn)和美感出發(fā)，竟然不用實(shí)例，建立了近代代數(shù)幾何的基礎(chǔ)，真
可謂有我之境矣。
在幾何的研究中，我們發(fā)現(xiàn)狄拉克在物理上發(fā)現(xiàn)的旋子在幾何結(jié)構(gòu)中有魔術(shù)
性的能力，我們不知道它的內(nèi)在的幾何意義，它卻替我們找到幾何結(jié)構(gòu)中的精髓，
在應(yīng)用旋子理論時(shí)，我們常用的手段是通過所謂消滅定理而完成的，這是一個(gè)很
微妙的事情，我們制造了曲率而讓曲率自動(dòng)發(fā)酵去證明一些幾何量的不存在，可
謂無我之境矣。以前我提出用Einstein結(jié)構(gòu)來證明代數(shù)幾何的問題和用調(diào)和映像
來看研究幾何結(jié)構(gòu)的剛性問題也可作如是觀。
不少偉大的數(shù)學(xué)家，以文學(xué)、音樂來培養(yǎng)自己的氣質(zhì)，與古人神交，直追數(shù)
學(xué)的本源，來達(dá)到高超的意境。
文心雕龍．神思：
“文之思也，其神遠(yuǎn)矣。故寂然凝慮，思接千載；悄然動(dòng)容，視通萬里。吟
詠之間，吐納珠玉之聲，眉睫之前，卷舒風(fēng)云之色，其思理之致乎?！?
六、數(shù)學(xué)的品評(píng)
好的工作應(yīng)當(dāng)是文已盡而意有余，大部份數(shù)學(xué)文章質(zhì)木無文，流俗所好，不
過兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時(shí)所好，往往十?dāng)?shù)年后始見其功。
我曾經(jīng)用一個(gè)嶄新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，以后和幾個(gè)朋友一同改進(jìn)了這個(gè)
方法，成為熱方程的一個(gè)重要工具。開始時(shí)沒有得到別人的贊賞，直到最近五年
大家才領(lǐng)會(huì)到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。
我的老師陳省身先生在他的文集中引杜甫詩“文章千古事，得失寸心知?！?
而杜甫就曾批評(píng)初唐四杰的作品“王楊盧駱當(dāng)時(shí)體，輕薄為文哂未休，爾曹身與
命俱滅，不廢江河萬古流?！?
時(shí)俗所好的作品，不必為作者本人所認(rèn)同。舉個(gè)例子，白居易留傳至今的詩
甚多，最出名之一是《長恨歌》，但他給元微之的信中卻說：
“及再來長安，又聞?dòng)熊娛褂赋?，伎大夸曰：‘我誦得白學(xué)士《長恨
歌》，豈同他伎哉?！瓊恳娖蛠?，指而相顧曰：‘此是《秦中吟》、《長
恨歌》主耳?！蚤L安抵江西，三四千里……每每有詠仆詩者，此誠雕蟲之技，
不足為多，然今時(shí)俗所重，正在此耳。”
白居易說謝朓的詩麗而無諷。其實(shí)建安以后，綺麗為文的作者甚眾。亦自有
其佳處，畢竟鐘爃評(píng)謝朓詩為中品，以后六朝駢文、五代花間集以至近代的鴛鴦
蝴蝶派都是綺麗為文。雖未殝上乘，卻有賞心悅目之句。
數(shù)學(xué)華麗的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學(xué)問中找到，雖然有其美麗和
重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數(shù)空間抽象出來的一個(gè)重
要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學(xué)有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學(xué)家為
了研究這種空間而不斷的推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂
亮，但在數(shù)學(xué)大流上卻未有激起任何波瀾。
在七十年代，高維拓樸的研究已成強(qiáng)弩之末，作品雖然不少，但真正有價(jià)值
的不多，有如“野云孤飛，去留無跡。”文氣已盡，再無新的比興了。當(dāng)時(shí)有拓
樸學(xué)者做群作用于流形的研究，確也得到某些人的重視。但是到了八零年代，值
得懷念的工作只有Bott的局部化定理。
能經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)的工作寥寥無幾，政府評(píng)審人材應(yīng)當(dāng)以此為首選。歷年來
以文章篇數(shù)和被引用多寡來做指針，使得國內(nèi)的數(shù)學(xué)工作者水平大不如人，不單
與自然隔絕，連華麗的文章都難以看到。
七、數(shù)學(xué)的演化
王國維說：
“四言敝而有楚辭，楚辭敝而有五言，五言敝而有七言，古詩敝而有律絕，
律絕敝而有詞。蓋文體通行既久，染指遂多，自成習(xí)套。豪杰之士亦難于其中自
出新意，故遁而作他體以自解脫。一切文體所以始盛中衰者，皆由于此，故謂文
體后不如前，余未敢言。但就一體論，則此說固無以易也。”
數(shù)學(xué)的演化和文學(xué)有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何
等等，一方面是工具得到改進(jìn)，另一方面是對(duì)自然界有進(jìn)一步的了解，將原來所
認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的美發(fā)揮盡至后，需要進(jìn)入新的境界。江山代有人才，能夠帶領(lǐng)
我們進(jìn)入新的境界的都是好的數(shù)學(xué)。上面談到的高維拓樸文氣已盡，假使它能與
微分幾何、數(shù)學(xué)物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高翔。
我在香港念數(shù)學(xué)時(shí)，讀到蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Gelfand的看法，用函數(shù)來描述空間的
幾何性質(zhì)，使我感觸良深，以后在研究院時(shí)才知道。代數(shù)幾何學(xué)家也用有理函數(shù)
來定義代數(shù)空間，于是我猜想一般的黎曼流形應(yīng)當(dāng)也可以用函數(shù)來描述空間的結(jié)
構(gòu)。但是為了深入了解流形的幾何性質(zhì)，我們需要的函數(shù)必需由幾何引出的微分
方程來定義?？墒且话銕缀螌W(xué)家厭惡微分方程，我對(duì)它卻情有獨(dú)鐘，與幾個(gè)朋友
合作將非線性方程帶入幾何學(xué)，開創(chuàng)了幾何分析這門學(xué)問，解決了拓樸學(xué)和廣義
相對(duì)論一些重要問題。在一九八一年時(shí)我建議我的朋友Hamilton用他創(chuàng)造的方程
去解決三維拓樸的基本結(jié)構(gòu)問題，二十多年來他引進(jìn)了不少重要的工具，運(yùn)用上
述我和李偉光在熱方程的工作，深入地了解奇異點(diǎn)的產(chǎn)生。兩年前俄國數(shù)學(xué)家
Perelman更進(jìn)一步地推廣了這個(gè)理論，很可能完成了我的愿望，將幾何和三維拓
樸帶進(jìn)了新紀(jì)元。
八年前我訪問北京，提出全國向Hamilton先生學(xué)習(xí)的口號(hào)，本來討論班已經(jīng)
進(jìn)行，卻給一些急功近利的北京學(xué)者阻止，在國外也遇到同樣的阻力，中國幾何
分析不能進(jìn)步都是由于年青學(xué)者不能夠自由發(fā)展思想的緣故。廣州的朱熹平卻鍥
而不舍，他的工作已經(jīng)遠(yuǎn)超國內(nèi)外成名的中國學(xué)者。
當(dāng)一個(gè)大問題懸而未決的時(shí)候，我們往往以為數(shù)學(xué)之難莫過于此。待問題解
決后，前途豁然開朗，看到比原來更為燦爛的火花，就會(huì)有不同的感受。
這點(diǎn)可以跟莊子秋水篇比較：
“秋水時(shí)至，百川灌河，涇流之大，兩涘渚崖之間，不辯牛馬。于是焉河伯
欣然自喜，以天下之美為盡在已，順流而東行，至于北海，東面而視，不見水端，
于是焉河伯始旋其面目，望洋向若而嘆曰：‘野語有之曰：‘聞道百，以為莫已
若者，我之謂也。且夫我嘗聞少仲尼之聞，而輕伯夷之義者，始吾弗信，今我睹
子之難窮也。吾非至于子之門，則殆矣。吾長見笑于大方之家?！?
科學(xué)家對(duì)自然界的了解，都是循序漸進(jìn)，在不同的時(shí)空自然會(huì)有不同的感受。
有學(xué)生略識(shí)之無后，不知?jiǎng)?chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為
見識(shí)更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進(jìn)步。
莊子：
“今爾出于崖涘，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語大理矣?！?
我曾經(jīng)參觀德國的葛庭根大學(xué)，看到十九世紀(jì)和廿世紀(jì)偉大科學(xué)家的手稿，
他們傳世的作品只是他們工作的一部份，很多杰作都還未發(fā)表，使我深為慚愧而
欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍為改動(dòng)，據(jù)為己有，盡
快發(fā)表?；蛏暾?qǐng)?jiān)菏浚蜃造艦閷W(xué)術(shù)宗匠，于古人何如哉。
八、數(shù)學(xué)的感情
為了達(dá)到深遠(yuǎn)的效果，數(shù)學(xué)家需要找尋問題的精華所在，需要不斷的培養(yǎng)我
們對(duì)問題的感情和技巧，這一點(diǎn)與孟子所說的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數(shù)
學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。
白居易說：
“圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎聲，莫
深乎義……未有聲入而不應(yīng)，情交而不感者?！?
嚴(yán)羽滄浪詩話：
“盛唐諸公唯在興趣，羚羊掛角，無跡可求。故其妙處透澈玲瓏，不可湊拍，
如空中之音，相中之色，水中之影，鏡中之象，言有盡而意無窮?！?
我的朋友Hamilton先生，他一見到問題可以用曲率來推動(dòng)，他就眉飛色舞。
另外一個(gè)澳洲來的學(xué)生，見到與愛因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就趕快找尋它的物
理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學(xué)者，
文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對(duì)自然界、對(duì)數(shù)學(xué)問題沒有感情的現(xiàn)象，
反而對(duì)名位權(quán)力特別重視。為了院士或政協(xié)委員的名銜而甘愿千里仆仆風(fēng)塵地奔
波，在這種情形下，難以想象他們對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)自然界有深厚的感情。
數(shù)學(xué)的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學(xué)多聞，感慨始深，
堂廡始大。歐陽永叔：
“人間自是有情癡，此恨不關(guān)風(fēng)與月。”
“直須看盡洛城花，始與東風(fēng)容易別。”
能夠有這樣的感情，才能夠達(dá)到晏殊所說：
“昨夜西風(fēng)雕碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路?！?
濃厚的感情使我們對(duì)研究的對(duì)象產(chǎn)生直覺，這種直覺看對(duì)象而定，例如在幾
何上叫做幾何直覺。好的數(shù)學(xué)家會(huì)將這種直覺寫出來，有時(shí)可以用來證明定理，
有時(shí)可以用來猜測新的命題或提出新的學(xué)說。
但數(shù)學(xué)畢竟是說理的學(xué)問，不可能極度主觀。詩經(jīng)蓼莪、黍離，屈原離騷、
九江，漢都尉河梁送別，陳思王歸藩傷逝，李后主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是
以血書成、直抒胸臆，非論證之學(xué)所能及也。
九、數(shù)學(xué)的應(yīng)用
王國維說：
“詩人對(duì)宇宙人生須入乎其內(nèi)，又須出乎其外。入乎其內(nèi)，故能寫之，出乎
其外，故能觀之，入乎其內(nèi)，故有生氣，出乎其外，故有高致。美成能入而不能
出，白石以降，二事皆未夢(mèng)見?！?
“詞之雅鄭，在神不在貌。永叔少游雖作艷語，終有品格，方之美成，便有
淑女與倡伎之別?！?
數(shù)學(xué)除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數(shù)學(xué)問題都是純工程上
的問題。有些數(shù)學(xué)家畢生接觸的都是現(xiàn)象界的問題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學(xué)家如
尤拉、如富里哀、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，既能
將抽象的數(shù)學(xué)在工程學(xué)上應(yīng)用，又能在實(shí)用的科學(xué)中找出共同的理念而發(fā)展出有
意義的數(shù)學(xué)。反過來說，有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家只用計(jì)算器作出一些計(jì)算，不求甚解，
可謂二者皆未見矣。
富里哀在研究波的分解時(shí)，得出富里哀級(jí)數(shù)的展開方法，不但成為應(yīng)用科學(xué)
最重要的工具，在基本數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)也是不可磨滅的。近代孤立子的發(fā)展和幾何
光學(xué)的研究，都在基本數(shù)學(xué)上占了一個(gè)重要的位置。
應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)基本數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)可與元?jiǎng)”容^。王國維評(píng)元?jiǎng)。?
“其作劇也，非有藏之名山，傳之其人之意也，彼以意興之所至為之，以自
娛娛人，關(guān)目之拙劣，所不問也；思想之卑陋，所不諱也；人物之矛盾，所不顧
也。彼但摹寫其胸中之感想與時(shí)代之情狀，而真摯之理與秀杰之氣時(shí)流露于其
間?！?
例如金融數(shù)學(xué)旨在謀利，應(yīng)用隨機(jī)過程理論，間有可觀的數(shù)學(xué)內(nèi)容。正如王
國維評(píng)古詩“何不策高足，先據(jù)要路津，無為久貧賤，轗軻長苦辛。”認(rèn)為“無
視其鄙者，以其真也?！眰ゴ蟮臄?shù)學(xué)家高斯就是金融數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人，他本人投資
股票而獲利，Klein則研究保險(xiǎn)業(yè)所需要的概率論。
然而近代有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家以爭取政府經(jīng)費(fèi)為唯一目標(biāo)，本身無一技之長，卻
巧立名目，反誣告基本數(shù)學(xué)家對(duì)社會(huì)沒有貢獻(xiàn)，盡失其真矣。有如近代小說以情
欲、仇殺、奸詐為主題，取寵于時(shí)俗，不如太史公刺客列傳中所說：
“自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂
后世，豈妄也哉?！?
應(yīng)用數(shù)學(xué)家不能立意皎然，而妄談對(duì)社會(huì)有貢獻(xiàn)，恐怕是緣木求魚了。
十、數(shù)學(xué)的訓(xùn)練
好的數(shù)學(xué)家需要領(lǐng)會(huì)自然界所賦予的情趣，因此也須向同道學(xué)習(xí)他們的經(jīng)驗(yàn)。
然而學(xué)習(xí)太過，則有依傍之病。顧亭林云：
“君詩之病在于有杜，君文之病在于有韓，歐。有此蹊徑于胸中，便終身不
脫依傍二字，斷不能登峰造極?！?
今人習(xí)數(shù)學(xué)，往往依傍名士，凡海外畢業(yè)的留學(xué)生，都為佳士，孰不知這些
名士泰半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬矣。李義山：
“劉郎已恨蓬山遠(yuǎn)，更隔蓬山一萬重。”
很多研究生在跟隨名師時(shí)，做出第一流的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依
傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導(dǎo)師提攜指導(dǎo)，竟自炫“無心插柳柳成
蔭”，難有創(chuàng)意之作矣。
有些學(xué)者則倚洋自重，國外大師的工作已經(jīng)完成，除非另有新意，不大可能
再進(jìn)一步發(fā)展。國內(nèi)學(xué)者繼之，不假思索，頂多能夠發(fā)表一些二三流的文章。極
值理論就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg發(fā)展出來的過山理論，
文意已盡，不宜再繼續(xù)了。
推其下流，則莫如抄襲，有成名學(xué)者為了速成，帶領(lǐng)國內(nèi)學(xué)者抄襲名作，竟
然得到重視，居廟堂之上，腰纏萬貫而沾沾自喜，良可嘆也。
數(shù)學(xué)家如何不依傍才能做出有創(chuàng)意的文章？
屈原說：
“紛吾既有此內(nèi)美兮，又重之以修能?！?
如何能夠解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺毫無拘束地表露出來，乃是
數(shù)學(xué)家養(yǎng)氣最重要的一步。
賈誼：
“獨(dú)不見夫鸞鳳之高翔兮，乃集大皇之野。循四極而回周兮，見盛德而后下。
彼圣人之神德兮，遠(yuǎn)濁世而自藏。使麒麟可得羈而系兮，又何以異乎犬羊?！?
媒體或一般傳記作者喜歡說某人是天才，下筆成章，仿佛做學(xué)問可以一蹴而
就。其實(shí)無論文學(xué)和數(shù)學(xué)，都需要經(jīng)過深入的思考才能產(chǎn)生傳世的作品。柳永：
“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。”
一般來說，作者經(jīng)過長期浸淫，才能夠出口成章，經(jīng)過不斷推敲，才有深入
可喜的文采。王勃騰王閣序，麗則麗矣，終不如陶淵明歸去來辭、庾信哀江南賦、
曹植洛神賦諸作來得結(jié)實(shí)。文學(xué)家的推敲在于用字和遣辭。張衡兩京、左思三都，
構(gòu)思十年，始成巨構(gòu)，聲聞后世，良有以也。數(shù)學(xué)家的推敲極為類似，由工具和
作風(fēng)可以看出他們特有的風(fēng)格。傳世的數(shù)學(xué)創(chuàng)作更需要有宏觀的看法，也由鍛煉
和推敲才能成功。
曹丕：
“古人賤尺璧而重寸陰，懼乎時(shí)之過已，而人多不強(qiáng)力；貧賤則懾于饑寒，
富貴則流于逸樂，遂營目前之務(wù)，而遺千載之功。日月逝于上體貌衰于下。忽然
于萬于遷化，斯志士之大痛也?！?
三十年來我研究幾何空間上的微分方程，找尋空間的性質(zhì)，究天地之所生，
參萬物之行止。樂也融融，怡然自得，溯源所自，先父之教乎。
二零零五年六月二十四日
