節(jié)選自《數(shù)學(xué)極客：探索數(shù)字、邏輯、計(jì)算之美》, 已獲機(jī)械出版社授權(quán)許可, [遇見(jiàn)數(shù)學(xué)] 特此表示感謝!

第三章 實(shí)數(shù) Real Number

現(xiàn)在我們知道了自然數(shù)和整數(shù)，這是一個(gè)非常好的開(kāi)始。但是還有很多其他類(lèi)型的數(shù)等待我們?nèi)フJ(rèn)識(shí)：小數(shù)和無(wú)理數(shù)等。我們將在后面介紹。為了理解數(shù)字，我們下一步將要學(xué)習(xí)一些有非整數(shù)部分的數(shù)，它們處于整數(shù)之間，比如1/2，-2/3和π。

現(xiàn)在，我們將看到的另一類(lèi)數(shù)字是這樣的：它們帶有非整數(shù)部分，或者被稱(chēng)為實(shí)數(shù)。

在介紹實(shí)數(shù)的細(xì)節(jié)之前，需要提前說(shuō)的是，我憎恨“實(shí)數(shù)”這個(gè)術(shù)語(yǔ)。因?yàn)樗孟裨诎凳酒渌臄?shù)都不是真的，這點(diǎn)很愚蠢、令人討厭和讓人絕望，并且這個(gè)暗示并不是真的。事實(shí)上，這個(gè)術(shù)語(yǔ)本意是指虛數(shù)的另一面，虛數(shù)我們將在第8章介紹。虛數(shù)被命名為“虛構(gòu)的”，好像是一個(gè)嘲弄（實(shí)數(shù)）的概念。因?yàn)閷?shí)數(shù)這個(gè)術(shù)語(yǔ)已經(jīng)根深蒂固，被大家廣為接受，我們就只能忍一忍了。

有幾種方法可以描述實(shí)數(shù)，我將使用其中的三種：首先是一個(gè)非正式的直觀(guān)描述，然后是一個(gè)公理化定義，最后是一個(gè)構(gòu)造性定義。

3.1　實(shí)數(shù)的非正式定義

一個(gè)非正式的、直觀(guān)的描述實(shí)數(shù)的方法是使用我們?cè)谛W(xué)時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)軸。想象一條直線(xiàn)，它向左右延伸到無(wú)窮。可以在這條直線(xiàn)上任意選擇一個(gè)點(diǎn)，并且標(biāo)記為0。在0的右邊，你能圈出第二個(gè)點(diǎn)，并標(biāo)記為1。0和1之間的距離就是任意兩個(gè)相鄰整數(shù)之間的距離。同樣，向右繼續(xù)走相同的距離，圈出另外一個(gè)記號(hào)并標(biāo)記為2。繼續(xù)這樣圈出更多你想要標(biāo)記的點(diǎn)。然后開(kāi)始從0往左邊標(biāo)記，第一個(gè)點(diǎn)是-1，第二個(gè)點(diǎn)是-2，如此往復(fù)。這就是一條基本的數(shù)軸。我已經(jīng)畫(huà)了一個(gè)例子，如圖3-1所示。在這個(gè)數(shù)軸上，任意選擇一個(gè)點(diǎn)，都是一個(gè)真實(shí)的實(shí)數(shù)。0到1的一半距離是1/2，0到1/2的一半距離是1/4。不斷地這樣劃分下去，在任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的中間，都能找到另外一個(gè)實(shí)數(shù)。

使用這個(gè)數(shù)軸，實(shí)數(shù)的很多重要屬性都可以很完美并且很直觀(guān)地表示出來(lái)。加法、減法、有序性以及連續(xù)性的思想都非常顯而易見(jiàn)。乘法可能顯得棘手點(diǎn)，但是也可以通過(guò)數(shù)軸來(lái)解釋?zhuān)憧梢栽L(fǎng)問(wèn)我的博客，其中有一篇文章介紹如何使用滑動(dòng)窗口的方法來(lái)理解乘法的原理　scientopia.org/blogs/goodmath/2006/09/manual-calculation-using-aslide-rule-part-1）。

數(shù)軸給我們帶來(lái)的不是真正的實(shí)數(shù)。它們是有理數(shù)。有理數(shù)是可以表示為簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的數(shù)的集合：它們是一個(gè)整數(shù)與另一個(gè)整數(shù)的比。如1/2、1/4、3/5、124342/58964958。當(dāng)我們看數(shù)軸時(shí)，通常想到有理數(shù)?？紤]一下前面描述的數(shù)軸：“你可以一直劃分：在兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，總能找到另一個(gè)實(shí)數(shù)?！边@個(gè)劃分過(guò)程總是給我們提供一個(gè)有理數(shù)。把任何分?jǐn)?shù)分成相等的數(shù)，結(jié)果仍然是一個(gè)分?jǐn)?shù)。無(wú)論多少次使用有理數(shù)和整數(shù)進(jìn)行劃分，永遠(yuǎn)不會(huì)得到不是有理數(shù)的任何東西。

但是，即使使用有理數(shù)，數(shù)軸的縫隙也一直不會(huì)被填滿(mǎn)。(我們知道一些數(shù)適合填充到這些縫隙——它們是無(wú)理數(shù)，像大家熟悉的π、e。我們將在第4章介紹無(wú)理數(shù)，在第6章介紹e。)看看有理數(shù)，很難看出縫隙是如何形成的。不管你做什么，不管兩個(gè)有理數(shù)之間的距離有多小，都可以在它們之間設(shè)置無(wú)限數(shù)量的有理數(shù)。怎么會(huì)有縫隙呢？答案是，我們可以很容易地定義一個(gè)有限制的值序列，但是這些限制不可能是一個(gè)有理數(shù)。

對(duì)任何有理數(shù)的有限集合，把集合中的數(shù)加起來(lái)，其和是有理數(shù)。但是可以定義無(wú)限數(shù)量的有理數(shù)集合，當(dāng)你把它們加起來(lái)時(shí)，結(jié)果不是一個(gè)有理數(shù)！下面是一個(gè)例子：

這個(gè)序列的每個(gè)項(xiàng)顯然都是一個(gè)有理數(shù)。如果你依次算出前兩項(xiàng)、前三項(xiàng)、前四項(xiàng)的結(jié)果，很快你會(huì)得到4.0，2.666…，3.4666…，2.8952…，3.3396…，在100000項(xiàng)之后，大約是3.14158。如果你繼續(xù)進(jìn)行下去，它顯然會(huì)匯聚在某個(gè)特定的值上。但是，沒(méi)有有理數(shù)的有限序列會(huì)完全與這個(gè)限制序列相同。這是一個(gè)限制數(shù)列，它顯然是一個(gè)數(shù)；不管我們做什么，它絕不會(huì)完全等于一個(gè)有理數(shù)。它總是位于我們可以選擇的兩個(gè)有理數(shù)之間。

實(shí)數(shù)是整數(shù)、有理數(shù)以及那些與有理數(shù)之間的間隙相匹配的奇怪?jǐn)?shù)字。

數(shù)學(xué)是美麗的，它既有趣又令人興奮，同時(shí)也很實(shí)用。本書(shū)探討了兩千多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中一些偉大的突破和有趣的話(huà)題：從埃及分?jǐn)?shù)到圖靈機(jī)，從數(shù)字 的真正意義到證明樹(shù)、群對(duì)稱(chēng)和機(jī)械化計(jì)算。如果你想知道高中幾何課中難以完成的證明背后到底隱藏著什么，或者什么限制了計(jì)算機(jī)的能力，本書(shū)將會(huì)帶你找到答案。

作者從數(shù)字的基礎(chǔ)開(kāi)始帶你開(kāi)啟美麗的數(shù)學(xué)之旅，首先通過(guò)探討一些有趣的和奇怪的數(shù)字，如整數(shù)、自然數(shù)、有理數(shù)、超過(guò)數(shù)、零、黃金比例、虛數(shù)、羅馬數(shù)字、埃及分?jǐn)?shù)和連分?jǐn)?shù)，帶你領(lǐng)略數(shù)字的趣味性、數(shù)字之美和數(shù)字之用，然后深入研究現(xiàn)代邏輯，包括線(xiàn)性邏輯、Prolog 語(yǔ)言等，以及現(xiàn)代集合論和現(xiàn)代機(jī)械化計(jì)算的進(jìn)展與悖論，帶你感受數(shù)學(xué)的邏輯性和計(jì)算性。

3.2　實(shí)數(shù)的公理化定義

公理化的定義有多種方法，與數(shù)軸的定義類(lèi)似，但是，公理化定義更加正式。公理化的定義不會(huì)告訴你怎么去獲取實(shí)數(shù)，它只用一些建立在簡(jiǎn)單集合論和邏輯論基礎(chǔ)上的規(guī)則來(lái)描述實(shí)數(shù)。

當(dāng)我們利用一組相關(guān)組件來(lái)定義實(shí)數(shù)這樣的事物時(shí)，數(shù)學(xué)家喜歡說(shuō)他們定義的是一個(gè)對(duì)象。所以，我們將實(shí)數(shù)定義為一個(gè)多元組。構(gòu)建一個(gè)多元組沒(méi)有很深的含義，它只是一個(gè)收集組件到一個(gè)對(duì)象的方法。

實(shí)數(shù)由一個(gè)五元組（R，+，0，×，1，≤）定義，其中，R是一個(gè)無(wú)限的集合；“+”和“×”是對(duì)R中元素的二元運(yùn)算，“0”和“1”是R中特別重要的元素，“≤”是R中元素的二元關(guān)系。

多元組的元素必須滿(mǎn)足一組公理，稱(chēng)作域公理。實(shí)數(shù)是域這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一個(gè)典型例子。域作為一種基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)王國(guó)被廣泛使用；你需要了解代數(shù)，才能了解域這種結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。我們通常使用一個(gè)域公理集合來(lái)定義域。域公理集合比較聳人聽(tīng)聞，因此，我們不是一次把這些公理都列出來(lái)，而是在后面的小節(jié)逐個(gè)解釋它們。

▌?dòng)蚬淼谝徊糠郑杭臃ê统朔?/strong>

我們先從最基礎(chǔ)的公理開(kāi)始。實(shí)數(shù)（所有值域）有兩種主要的運(yùn)算：加法和乘法。這兩種運(yùn)算需要在某種方式下合作。

（R，+，×）是一個(gè)域，這句話(huà)包括下面幾點(diǎn)含義：

■ 在R上+、×是封閉的、完全的、自映射的。封閉的意思是：對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)r和s，如果你將它們相加、相乘，那么r+s和r×s還是實(shí)數(shù)。完全的意思是：對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)r和s，你都能做加法r+s或者乘法r×s。（可能這聽(tīng)起來(lái)很愚蠢，但是請(qǐng)記?。何覀儗⒑芸旖榻B除法，而且對(duì)于除法來(lái)說(shuō)，這條就不是真的，因?yàn)槟悴荒艹粤恪＃┳杂成涞囊馑际牵喝绻阌幸粋€(gè)實(shí)數(shù)x，總能找到一對(duì)實(shí)數(shù)r和s或者t和u，使得等式r+s=x和t×u=x成立。

■“+”和“×”滿(mǎn)足交換律：a+b=b+a，a×b=b×a。

■“×”對(duì)于每個(gè)“+”滿(mǎn)足分配律。意思是（3+4）×5=3×5+4×5。

■對(duì)于“+”運(yùn)算，0是唯一的恒等值。對(duì)所有的a，a+0=a。

■對(duì)于R里面的每一個(gè)數(shù)x，有且只有一個(gè)數(shù)-x，稱(chēng)作x的加法逆元，滿(mǎn)足x+（-x）=0，并且對(duì)于所有x≠0，x≠-x。

■對(duì)于“×”運(yùn)算，1是唯一的恒等值。對(duì)所有的a，a×1=a。

■除了0以外的任意實(shí)數(shù)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)x-1，稱(chēng)作x的乘法逆元，滿(mǎn)足x×x-1=1，并且除非x=1，否則x和x-1不會(huì)相等。

如果將這些都翻譯成通俗語(yǔ)言，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們并沒(méi)有很難理解的地方。這些只是說(shuō)了加法和乘法應(yīng)該遵循的規(guī)則，而這些規(guī)則我們?cè)趯W(xué)校早已經(jīng)學(xué)過(guò)了。區(qū)別在于，在學(xué)校時(shí)，我們學(xué)的是實(shí)數(shù)如何運(yùn)算，現(xiàn)在我們將這些作為公理化的需求。實(shí)數(shù)之所以稱(chēng)為實(shí)數(shù)，是因?yàn)樗鼈儼凑丈厦娴囊蠊ぷ鳌?/p>

▌?dòng)蚬淼诙糠郑喉樞?/strong>

這個(gè)公理是說(shuō)明這樣一個(gè)事實(shí)：實(shí)數(shù)是有序的。從根本上來(lái)說(shuō)，這是一種正式說(shuō)法：有兩個(gè)實(shí)數(shù)，其中一個(gè)小于另外一個(gè)，除非它們相等。

■（R，≤）是全序：

1.對(duì)于所有的實(shí)數(shù)a和b，要么a≤b，要么b≤a（或者兩者都成立，記a=b）。

2.“≤”具有傳遞性，即如果有a≤b和b≤c成立，那么有a≤c成立。

3.“≤”不具有對(duì)稱(chēng)性，即如果a≤b并且a≠b，那么b≤a不成立。

■“≤”與“+”和“×”是相兼容的：

1.如果有x≤y成立，那么x+1≤y+1成立。

2.如果有x≤y成立，那么對(duì)于所有0≤z，（x×z）≤（y×z）成立。

3.如果有x≤y成立，那么對(duì)于所有z≤0，（y×z）≤（x×z）成立。

▌?dòng)蚬淼谌糠郑哼B續(xù)性

現(xiàn)在，我們開(kāi)始介紹最難理解的一個(gè)公理。實(shí)數(shù)有一個(gè)比較難理解的地方就是它是連續(xù)的，意思是說(shuō)，給定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，在它們中間都有無(wú)限個(gè)數(shù)。并且在這個(gè)無(wú)限的實(shí)數(shù)集合里，全序仍然成立。為了描述這一點(diǎn)，我們不得不介紹一個(gè)概念——上界：

■對(duì)于R的任意非空子集S，如果S有一個(gè)上界，那么它就有一個(gè)最小上界 l。因此，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，如果它是集合S的上界，那么有l(wèi)≤x成立。

這里真正想要說(shuō)的是：如果你選了一堆實(shí)數(shù)組成一個(gè)集合，不管它們之間相隔多么接近，或者多么遙遠(yuǎn)，總存在一個(gè)最小的數(shù)，大于所有集合里面的數(shù)。

其實(shí)，這是實(shí)數(shù)公理化定義的簡(jiǎn)要版本。它描述了實(shí)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)，而且通過(guò)一種形式的、邏輯的陳述來(lái)表述。符合這個(gè)描述的值的集合，統(tǒng)稱(chēng)為這個(gè)定義的模型，可以找到很多符合這個(gè)定義的模型，所有符合該定義的模型都是等價(jià)的。