費(fèi)馬大定理傳奇-05 來(lái)自琦記雜談 00:00 14:22

1955年9月在日本東京召開(kāi)了一個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)研討會(huì)，這意味著日本各方面在戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束10年后開(kāi)始復(fù)蘇，相關(guān)科學(xué)研究也漸漸與世界接軌。當(dāng)時(shí)有日本數(shù)學(xué)家聯(lián)手寫(xiě)了一份報(bào)告，報(bào)告里收集了最近十多年日本科學(xué)家關(guān)注的36個(gè)問(wèn)題，他們就想在大會(huì)上討論一下。在這36個(gè)問(wèn)題里有4個(gè)問(wèn)題是谷山豐提的，這4個(gè)問(wèn)題全是關(guān)于模型式和橢圓方程的。當(dāng)時(shí)谷山豐和志村五郎就想是不是每一個(gè)模型式都對(duì)應(yīng)著一個(gè)橢圓方程呢？如果這個(gè)問(wèn)題可以得到證實(shí)那么橢圓方程無(wú)法解決的問(wèn)題就可以拿到模型式中進(jìn)行解決了。谷山豐和志村五郎是當(dāng)時(shí)日本少有研究這方面的數(shù)學(xué)家，他們?cè)谝黄鹧芯苛藘赡?，隨后志村五郎就受邀去了普林斯頓高等研究所，職位是客座教授，他打算在那搞兩年就回日本繼續(xù)跟谷山豐一起研究。

然而就在志村五郎到普林斯頓后一年，谷山豐就突然自殺了。BBC以前出品過(guò)一個(gè)講費(fèi)馬大定理的紀(jì)錄片，里面就采訪了當(dāng)時(shí)80歲的志村五郎，他說(shuō)至今也不知道為什么谷山豐會(huì)突然自殺，當(dāng)年9月還收到他的來(lái)信結(jié)果11月他就自殺了。他的遺書(shū)是這樣的寫(xiě)的：直到昨天我還沒(méi)有決心要自殺，但有很多人想必注意到我最近在體力上還是心智上都十分疲憊，至于我自殺的原因我自己都不是很清楚，但它絕不是某件小事引起的，也不是出于特別的原因，我只能說(shuō)我陷入了對(duì)未來(lái)失去信心的心境之中。當(dāng)時(shí)他有一個(gè)未婚妻鈴木美佐子，正好就計(jì)劃在年內(nèi)結(jié)婚，所以遺書(shū)后一半是些給他未婚妻的。他說(shuō)想把唱片和玩具都留給鈴木美佐子，假如說(shuō)她不會(huì)因?yàn)樽约喊淹婢吡艚o她而生氣的話。谷山豐自殺的那年31歲，然而在幾周后他的未婚妻鈴木美佐子也自殺了，她在遺書(shū)中說(shuō)：我們?cè)?jīng)彼此承諾不管我們到哪都永遠(yuǎn)不分開(kāi)。既然他現(xiàn)在已經(jīng)走了，那我也要追隨他而去。

谷山豐

谷山豐死后，志村五郎就一個(gè)人繼續(xù)在橢圓方程和模型式上進(jìn)行研究，志村五郎說(shuō)自己持有一種至善至美的哲學(xué)觀，數(shù)學(xué)應(yīng)該是容納美和善的，所以在橢圓方程中人們可以把一個(gè)通過(guò)模型式參數(shù)化的橢圓方程成為美和善的橢圓方程，自己希望所有的橢圓方程都是美和善的。這是一種相當(dāng)不成熟的哲學(xué)觀，但是自己可以把它當(dāng)作一個(gè)起點(diǎn)，必須找出使這個(gè)猜想成立的各種各樣的技術(shù)上的理由，自己可以說(shuō)這個(gè)猜想起源于自己追求美和善的哲學(xué)觀。大多數(shù)數(shù)學(xué)家都是按照某一種審美觀來(lái)做研究的，至善至美的哲學(xué)來(lái)自于自己的審美觀。作為旁人不能理解志村五郎說(shuō)的至善至美具體是什么，但至少能感覺(jué)到這個(gè)數(shù)學(xué)家自己鮮明的哲學(xué)觀點(diǎn)，這個(gè)哲學(xué)觀點(diǎn)來(lái)自于他自己的審美觀，這個(gè)情況在數(shù)學(xué)家身上是普遍存在的。

谷山-志村猜想的提出引起了很多數(shù)學(xué)家的興趣，他們就覺(jué)得兩個(gè)跨度這么大的領(lǐng)域之間居然能有這種緊密的聯(lián)系，這樣對(duì)解決問(wèn)題很有幫助，在很多橢圓方程里的難題放到模型式里就能很好的得到解決。不過(guò)盡管數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)個(gè)模型式可以對(duì)應(yīng)到橢圓方程上來(lái)，但畢竟都只是個(gè)例，終究只是個(gè)猜想，這一切還缺一個(gè)嚴(yán)格的證明。當(dāng)然了，谷山-志村猜想雖然轟動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，但是在1984年之前還沒(méi)人會(huì)把它跟費(fèi)馬大定理結(jié)合起來(lái)。

隨著1984年一次數(shù)學(xué)會(huì)議的召開(kāi)，格哈德·福萊經(jīng)過(guò)一段時(shí)間研究后就發(fā)表了自己的演講，他覺(jué)得如果谷山志村可以得到證明那么費(fèi)馬大定理也能一起被證明了。他的邏輯就是把費(fèi)馬大定理用反證法，設(shè)定A^N+B^N=C^N有整數(shù)解，把這個(gè)方程代入到橢圓方程里，最終橢圓方程是有兩個(gè)系數(shù)，這個(gè)系數(shù)中是帶A的N次方和B的N次方，最后如果這個(gè)橢圓方程存在正整數(shù)解的話那就說(shuō)明費(fèi)馬大定理在N大于2時(shí)有正整數(shù)解?？催@個(gè)橢圓方程有沒(méi)有正整數(shù)解的存在就看有沒(méi)有這樣的模型式，如果找到了就說(shuō)明費(fèi)馬大定理是存在正整數(shù)解的，也就說(shuō)明費(fèi)馬大定理是錯(cuò)的，如果找不到對(duì)應(yīng)的模型式，那就必須先解決另一個(gè)問(wèn)題才能證明費(fèi)馬大定理是對(duì)的，這另一個(gè)問(wèn)題就是要證明每一個(gè)橢圓方程都必定可以找到模型式，因此如果證明了谷山志村猜想那就等于證明了費(fèi)馬大定理。其實(shí)福萊的這個(gè)演講中是有一個(gè)小的邏輯錯(cuò)誤，也就是說(shuō)解決谷山志村猜想和解決費(fèi)馬大定理這兩件事在他演講的時(shí)候并不是完全相等的，不過(guò)在一年后李貝特把這個(gè)邏輯錯(cuò)誤給補(bǔ)上了，證明了這兩個(gè)東西是一回事。

說(shuō)到這里，安德魯·懷爾斯就要登場(chǎng)了。懷爾斯在上小學(xué)的時(shí)候去經(jīng)常鎮(zhèn)上的圖書(shū)館找書(shū)看，喜歡去找一些數(shù)學(xué)題目做著玩，當(dāng)他第一次看到費(fèi)馬大定理就被深深吸引了。費(fèi)馬大定理算是懷爾斯小時(shí)候少有能看懂的問(wèn)題了，但是這個(gè)問(wèn)題居然300多年沒(méi)人能證出來(lái)，于是這也讓他記在心里，發(fā)誓要把它證明出來(lái)。長(zhǎng)大后的懷爾斯在劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)，老師是約翰·科茨，拿到數(shù)學(xué)博士學(xué)位后他又去了普林斯頓，那時(shí)候他對(duì)橢圓方程的了解在全世界算是數(shù)一數(shù)二了。當(dāng)他看到他最熟悉的橢圓方程居然跟他小時(shí)候一直記在心里的費(fèi)馬大定理之間有緊密的聯(lián)系之后，他就開(kāi)始向證明費(fèi)馬大定理發(fā)起了挑戰(zhàn)。

對(duì)于懷爾斯來(lái)說(shuō)這是必定要走的一步，但對(duì)其他數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)卻不是這樣。懷爾斯的老師約翰·科茨就是，他就認(rèn)為自己對(duì)費(fèi)馬大定理和谷山志村猜想之間的聯(lián)系是否能產(chǎn)生其他有用的結(jié)論表示懷疑，他認(rèn)為這個(gè)猜想證明難度實(shí)在太大了，覺(jué)得在自己有生之年都無(wú)法看到它被證明出來(lái)。這里又體現(xiàn)出數(shù)學(xué)家的哲學(xué)觀了，科茨覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題難度太大又沒(méi)有價(jià)值，從而產(chǎn)生了悲觀的態(tài)度，自身也不會(huì)在這個(gè)問(wèn)題上浪費(fèi)時(shí)間，而懷爾斯覺(jué)得費(fèi)馬大定理跟他最擅長(zhǎng)的專(zhuān)業(yè)碰到了，那自己肯定要往問(wèn)題上發(fā)起沖鋒了。

當(dāng)年希爾伯特提出23個(gè)問(wèn)題的時(shí)候就有人問(wèn)希爾伯特為什么自己不去證明費(fèi)馬大定理，而希爾伯特就說(shuō)在動(dòng)手之前必須要先花三年時(shí)間去做深入細(xì)致的研究，而自己并沒(méi)有那么多時(shí)間去浪費(fèi)在注定會(huì)失敗的事情上。懷爾斯就是這樣，他下決心花十幾年的時(shí)間去攻克費(fèi)馬大定理，不過(guò)在此之前他花了18個(gè)月的時(shí)間來(lái)了解學(xué)習(xí)有關(guān)費(fèi)馬大定理的所有背景資料，在這段時(shí)間里他逐步放下了與證明工作無(wú)關(guān)的事，比如學(xué)校里各種會(huì)議，各種地方的學(xué)術(shù)會(huì)議之類(lèi)的，不過(guò)他得給學(xué)生上課這個(gè)是推不掉的，他只能把除了講課之外所有的事比如布置作業(yè)、考試之類(lèi)的事都交給他的研究生去做。平時(shí)他都在自己家閣樓上做研究，閣樓就是他的書(shū)房。一般來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)家頂多只會(huì)用電腦驗(yàn)證某個(gè)具體結(jié)果，但如果要證明一個(gè)邏輯，電腦是毫無(wú)用處的，因此他的書(shū)房里也沒(méi)有計(jì)算機(jī)，桌子上堆滿(mǎn)了書(shū)和草稿紙。在隨后的一年里，他也逐漸不用教書(shū)了，這樣他就可以百分之百投入到費(fèi)馬大定理的證明工作上了。

懷爾斯的研究工作是非常保密的，之所以要保密是因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)關(guān)于費(fèi)馬大定理的任何一點(diǎn)事情在那段時(shí)間都很容易引起太多人的興趣了，但凡有一點(diǎn)進(jìn)展就會(huì)有很多人都參與進(jìn)來(lái)，因此隨時(shí)都有可能被別人的思考打斷，這樣就會(huì)中斷自己本來(lái)可能出成果的想法，這種干擾太多了，根本沒(méi)有機(jī)會(huì)連續(xù)幾年都集中精力，所以懷爾斯就跟外界干擾完全隔絕，自己做著秘密的研究。當(dāng)然了，懷爾斯肯定也有想獨(dú)攬數(shù)學(xué)桂冠的這種想法。他為了不讓其他數(shù)學(xué)家懷疑，還專(zhuān)門(mén)搞了個(gè)障眼法，他在關(guān)注谷山志村猜想之前，在1980年到1984年之間他潛心研究橢圓方程，積累了不少成果，只不過(guò)還沒(méi)發(fā)表而已，之后關(guān)注谷山志村猜想，之前那些沒(méi)發(fā)表的成果也都?jí)合氯チ?，不過(guò)現(xiàn)在正好用的上，他就把之前的那些成果分散然后每隔半年發(fā)表一篇，其中一些成果從外界看來(lái)，懷爾斯跟其他平庸的數(shù)學(xué)家沒(méi)區(qū)別，也都是每隔一段時(shí)間發(fā)表一篇含金量不是很高的研究成果。這個(gè)策略很成功，把他老師約翰·科茨都騙到了，后來(lái)科茨聽(tīng)說(shuō)懷爾斯證明了費(fèi)馬大定理他再回想之前那八年時(shí)間他都一點(diǎn)沒(méi)察覺(jué)到懷爾斯在研究費(fèi)馬大定理。知道懷爾斯在做什么的只有他的妻子，還是他倆剛結(jié)婚在度蜜月的時(shí)候懷爾斯跟她說(shuō)的。懷爾斯的妻子叫內(nèi)達(dá)，她以前也聽(tīng)說(shuō)過(guò)費(fèi)馬大定理，不過(guò)她對(duì)這個(gè)東西沒(méi)什么特別大的感覺(jué)，之后就跟懷爾斯結(jié)婚了，等于他們倆結(jié)婚前八年時(shí)間她是嫁給了費(fèi)馬大定理的。

懷爾斯在費(fèi)馬大定理上用歸納法進(jìn)行了第一步突破，咱們高中都學(xué)過(guò)歸納法，精髓就是先證明某個(gè)命題對(duì)第一個(gè)情形是對(duì)的，再假設(shè)這個(gè)命題對(duì)任意一個(gè)命題都是對(duì)的，再證明命題對(duì)下一個(gè)情形是對(duì)的，這樣就可以證明命題對(duì)所有情形是對(duì)的了。比如說(shuō)求自然數(shù)依次相加的和，這時(shí)候有個(gè)人就提出一個(gè)命題是：求和公式是[N*（N+1）]/2。聽(tīng)到這個(gè)命題之后咱們就去試，1+2+3+4+5或者說(shuō)從1一直加到50的結(jié)果都是符合這個(gè)公式的，于是咱們就覺(jué)得這個(gè)式子有可能是對(duì)的，那就要來(lái)證明，這里用歸納法來(lái)進(jìn)行證明。首先把N=1的情況代入進(jìn)去算發(fā)現(xiàn)公式算出來(lái)確實(shí)等于1，這時(shí)候再假設(shè)N個(gè)數(shù)之和符合這個(gè)公式，之后再驗(yàn)證N+1個(gè)數(shù)的和還是否滿(mǎn)足公式就可以了。算完之后發(fā)現(xiàn)在N+1的情況下仍然成立，那么就可以說(shuō)N可以是任意大的一個(gè)數(shù)，而在比任意大的一個(gè)數(shù)還大一的情況下公式仍然成立那就等于證明了N為無(wú)限大的時(shí)候公式仍然成立。懷爾斯就用這樣的思路去找在費(fèi)馬大定理證明過(guò)程中如何去設(shè)計(jì)像多米諾骨牌一樣的歸納證明，他就去查資料，他發(fā)現(xiàn)第一片骨牌就藏在150多年前法國(guó)一個(gè)悲劇人物身上，他就是伽羅瓦。伽羅瓦和阿貝爾是當(dāng)時(shí)兩個(gè)非常重要又悲劇的人。

尼爾斯·亨利克·阿貝爾

阿貝爾在1826年給法國(guó)科學(xué)院寫(xiě)了篇論文，而在等待回復(fù)的時(shí)候他患上了肺結(jié)核。離他住的地方10公里外還有一個(gè)數(shù)學(xué)家，這個(gè)數(shù)學(xué)家當(dāng)年只有15歲，但他已經(jīng)在著手解決五次方程是否有求解公式這個(gè)問(wèn)題了，這個(gè)年輕的數(shù)學(xué)家就是傳奇的伽羅瓦，那時(shí)候他才上第三年中學(xué)是一個(gè)典型的偏科生。伽羅瓦的中學(xué)歷史比較悠久，有200多年的歷史，那是一個(gè)皇室貴族學(xué)校，但是管理方式就和監(jiān)獄一樣，學(xué)生都是寄宿的，幾點(diǎn)鐘起床，幾點(diǎn)吃飯，幾點(diǎn)睡覺(jué)等等都是嚴(yán)格規(guī)定的，吃飯的時(shí)候不準(zhǔn)說(shuō)話，跟老師說(shuō)話要用敬語(yǔ)，這些條條框框的規(guī)矩特別多，如果有學(xué)生違反規(guī)定就會(huì)被關(guān)禁閉。上這個(gè)中學(xué)的學(xué)生大多是官二代和富二代，他們家里條件都很好，所以學(xué)生從小眼界就很開(kāi)闊，他們就覺(jué)得自己學(xué)校管理的太死板了，正好學(xué)校要換校長(zhǎng)，他們就站起來(lái)抗議，抵制新校長(zhǎng)。他們?cè)谧龆Y拜的時(shí)候就拒絕唱贊歌，拒絕在迎接國(guó)王的儀式上給高官敬酒，然后學(xué)校直接就開(kāi)除了117個(gè)鬧事的學(xué)生。當(dāng)時(shí)伽羅瓦剛?cè)雽W(xué)，看到師哥師姐在那鬧，然后被開(kāi)除，伽羅瓦一臉懵，都不知道咋回事，他就干脆在學(xué)校里好好學(xué)習(xí)就得了。伽羅瓦在學(xué)校里前兩年，每門(mén)功課都是名列前茅，尤其是拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)和數(shù)學(xué)。他上初三的時(shí)候其實(shí)他很多科目都有資格去學(xué)習(xí)更深入的東西了，他可以去高級(jí)班學(xué)習(xí)，但這個(gè)新校長(zhǎng)覺(jué)得這么小的小孩就到高級(jí)班是不合常理的，這個(gè)校長(zhǎng)就不僅不讓伽羅瓦升學(xué)，反而還再讓他讀一次初三。所以這里就能看出來(lái)為啥那些學(xué)生要抵制這個(gè)新校長(zhǎng)了，這校長(zhǎng)水平太水了。不過(guò)伽羅瓦因禍得福，他遇到了他的伯樂(lè)，也就是他的數(shù)學(xué)老師維納，在維納的教導(dǎo)下伽羅瓦開(kāi)始看更專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)書(shū)了，比如拉格朗日的論述之方程解法和解析函數(shù)論等等，看完之后伽羅瓦就忍不住自己動(dòng)手去找五次方程的解，從這里開(kāi)始他就變成了一個(gè)偏科生。

之前魯菲尼和阿貝爾兩個(gè)人在不同程度上證明過(guò)不能從找五次方程的解法來(lái)入手研究，而更應(yīng)該關(guān)注五次方程沒(méi)有公式解的這條路，然而他們沒(méi)有把這些結(jié)論流傳出去，因此伽羅瓦也走了這些人的老路。不過(guò)在幾個(gè)月后伽羅瓦就調(diào)整了自己的研究方向，他覺(jué)得應(yīng)該考慮如何證明五次方程沒(méi)有公式解這個(gè)方面入手，再繼續(xù)進(jìn)行研究。不過(guò)他又跟魯菲尼和阿貝爾不同，畢竟他只是個(gè)高中生，還需要考大學(xué)，作為偏科生他除了數(shù)學(xué)其他科目都不好，他27歲那年家里給他申請(qǐng)去巴黎綜合技術(shù)學(xué)院讀書(shū)，結(jié)果他沒(méi)考上，就只能復(fù)讀。復(fù)讀時(shí)候伽羅瓦的數(shù)學(xué)老師叫路易斯·理查德，理查德就發(fā)現(xiàn)伽羅瓦是個(gè)天才，他還特意保留了伽羅瓦的12本課堂筆記，這12本筆記就成了后人研究伽羅瓦群論的重要材料，現(xiàn)在還保存在法國(guó)科學(xué)圖書(shū)館里。復(fù)讀的伽羅瓦發(fā)表了他的第一篇學(xué)術(shù)論文，在論文發(fā)表后的第五天阿貝爾就去世了，這兩個(gè)人年齡差了9歲，同在巴黎居住，研究同一個(gè)問(wèn)題，然而卻從來(lái)沒(méi)見(jiàn)過(guò)彼此。

伽羅瓦

伽羅瓦的這篇論文說(shuō)的是什么呢？這要倒回去說(shuō)阿貝爾的證明，阿貝爾的證明嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是證明了給出五次或更高次方程，它的解如果只用四則運(yùn)算和開(kāi)根號(hào)這樣的方法是無(wú)法求得的，但原則上這種結(jié)論下還是允許每個(gè)具體的方程都有自己的求根公式，畢竟還是有很多可以簡(jiǎn)化的高斯方程是可以解出來(lái)的，比如X的五次方等于243，那X=3就是這個(gè)方程的解。而伽羅瓦解決的問(wèn)題跟他們這個(gè)是不同的，伽羅瓦研究的是擁有什么樣特征的五次方程是可以用四則運(yùn)算和開(kāi)根號(hào)的方法解出來(lái)的，而擁有什么樣特征的五次方程是不能用四則運(yùn)算和開(kāi)根號(hào)的方法解出來(lái)。所以很多數(shù)學(xué)書(shū)籍就會(huì)說(shuō)從這篇論文起，伽羅瓦就創(chuàng)立的群的概念，等伽羅瓦后面幾篇論文寫(xiě)完后，群論這個(gè)分支就徹底被開(kāi)創(chuàng)了。

欲知后事如何，請(qǐng)看下回分解。