馬爾可夫（1856—1922 年，圖1）是俄羅斯數(shù)學(xué)家，圣彼得堡科學(xué)院院士，圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的中堅。他深受圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派領(lǐng)袖切比雪夫（1821—1894 年）的學(xué)術(shù)影響，是切比雪夫概率思想的繼承者和發(fā)展者。最初馬爾可夫主要是沿著恩師開創(chuàng)的概率方向，致力于相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列研究，改進(jìn)和完善概率極限理論。后來其研究興趣拓展到相依隨機(jī)變量序列，創(chuàng)立和發(fā)展了著名的馬爾可夫鏈理論，為隨機(jī)過程發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

圖1 馬爾可夫

愛吾師，但更愛真理

1874年，馬爾可夫以優(yōu)異成績考入了神往已久的圣彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，開始自由“漫步”在絢麗多姿的數(shù)學(xué)王國。他很快就表現(xiàn)出獨(dú)特的數(shù)學(xué)天賦，并被吸收到老師組織的討論班參加學(xué)習(xí)。1878年，馬爾可夫以優(yōu)異成績畢業(yè)并留校任教，其畢業(yè)論文榮獲當(dāng)年系里的金質(zhì)獎。如魚得水的馬爾可夫一發(fā)不可收拾，越來越喜愛數(shù)學(xué)科學(xué)問題，一直攻讀到博士研究生，分別于1880年、1884年獲得碩士學(xué)位和博士學(xué)位。

1887 年，切比雪夫在論文“論概率論的兩個極限定理”中，率先給出了中心極限定理及其證明。在概率論倍受西方科學(xué)界排擠的年代里，切比雪夫的研究工作讓不少人幡然醒悟，但因其處理方法尚不夠完善，故所得結(jié)果較為粗糙。由于切比雪夫在當(dāng)時俄羅斯甚至國際上具有很高的學(xué)術(shù)聲望，在較長一段時間內(nèi)，無人質(zhì)疑切比雪夫的相關(guān)論述。第1位指明了切比雪夫的定理敘述不嚴(yán)密且證明也不嚴(yán)格的是馬爾可夫。

馬爾可夫是切比雪夫的追隨者和捍衛(wèi)者。他秉承切比雪夫的學(xué)術(shù)研究傳統(tǒng)方法，自1898年起就應(yīng)用切比雪夫所采用的矩方法來研究概率極限理論，旨在應(yīng)用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法，獲得前輩和同時代數(shù)學(xué)家所取得的研究成果。這種追求平淡的理念需要嫻熟的數(shù)學(xué)技巧需要付出艱辛的努力。

在反復(fù)推證定理過程中，馬爾可夫很快就發(fā)現(xiàn)了切比雪夫的理論不嚴(yán)密之處。在給喀山大學(xué)教授瓦西里耶夫（1853—1929 年）的系列信函中，馬爾可夫與之探討了中心極限定理的相關(guān)理論。如在1898年10 月23 日的信中，馬爾可夫明確指出切比雪夫的相關(guān)研究具有重要理論價值，但其不嚴(yán)密性卻使論文價值有些失色。其中，他特別稱切比雪夫所獲結(jié)果為“正在證明的定理”，一方面表示對恩師的尊重和敬仰，另一方面則表明了其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。可見，馬爾可夫同亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）一樣，表現(xiàn)出“吾愛吾師，但吾更愛真理”的大師風(fēng)范。

此后，馬爾可夫以“大數(shù)定理和最小二乘法”為題撰文，并發(fā)表于1898 年《喀山大學(xué)數(shù)理學(xué)報》。同年，在圣彼得堡科學(xué)院的院報上又撰文“論方程的根”，精確論述并證明了中心極限定理，其改進(jìn)方法被稱為“切比雪夫-馬爾可夫矩方法”。

在概率論發(fā)展史上，馬爾可夫應(yīng)用矩方法第1次嚴(yán)格證明了中心極限定理，這充分表明了概率論同其他數(shù)學(xué)分支一樣，擁有完美的邏輯基礎(chǔ)和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證。而當(dāng)時，西方學(xué)界正極力把概率論排除在“科學(xué)殿堂”之外，正是圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派拯救了危難之中的概率論，使其恢復(fù)了數(shù)學(xué)科學(xué)地位。

同門競技，共譜概率新篇章

在1900—1901年，馬爾可夫的師弟李雅普諾夫（1857—1918 年）另辟新徑，應(yīng)用特征函數(shù)方法證明了中心極限定理，即“李雅普諾夫”定理。其證明方法不僅具有開創(chuàng)性，而且舍棄了隨機(jī)變量序列所有階矩皆存在的嚴(yán)格條件。當(dāng)階數(shù)趨于無窮時，這是矩方法難以企及的，故似乎利用矩方法理論難以達(dá)到特征函數(shù)法所得結(jié)論。

馬爾可夫和李雅普諾夫都是切比雪夫的得意弟子，可謂之“左膀右臂”。他們曾并肩對抗數(shù)學(xué)家、神學(xué)家涅克拉索夫（1853—1924年）對圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派的學(xué)術(shù)攻擊。馬爾可夫很是佩服師弟的才華，師弟的成功使其再次直面中心極限定理，他試圖仍然應(yīng)用矩方法來獲得李雅普諾夫的結(jié)論。這樣馬爾可夫不得不舍棄原定理基本條件，而尋覓新的研究途徑。“千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙始到金?！瘪R爾可夫經(jīng)過多年的苦苦探索和艱苦努力最終獲得了成功，最大限度地擴(kuò)展了矩方法的應(yīng)用范圍，再次展現(xiàn)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的魅力，對此他感到很高興，李雅普諾夫也給予了祝賀。

馬爾可夫用矩方法來嚴(yán)格證明中心極限定理的系列研究主要體現(xiàn)在1908年發(fā)表的論文“切比雪夫不等式和基本定理”和“論李雅普諾夫院士所建立的概率極限定理”之中。前者討論了若干定積分的連分?jǐn)?shù)展開及其收斂性，論證了切比雪夫不等式；后者應(yīng)用矩方法證明了李雅普諾夫定理，其中構(gòu)建了一種新方法“截尾術(shù)”，即在適當(dāng)領(lǐng)域截斷隨機(jī)變量使其有界，這樣既不改變隨機(jī)變量序列之和的極限分布，又能保證其任意階矩存在，在結(jié)論部分，馬爾可夫給出不適于所證定理的一個實(shí)例，但其適用于李雅普諾夫定理。這篇文章再次體現(xiàn)了馬爾可夫的治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。

馬爾可夫的“截尾術(shù)”不僅克服了李雅普諾夫“特征函數(shù)法”過分依賴隨機(jī)變量獨(dú)立性之弱點(diǎn)，開辟了通向非獨(dú)立隨機(jī)變量序列的研究道路，而且突破了特征函數(shù)僅適用于古典極限理論范疇的局限性，為強(qiáng)極限理論發(fā)展提供了有力概率手段。目前，“截尾術(shù)”與“對稱化”以及“中心化”已成為現(xiàn)代概率極限理論的三大有力研究工具。

詩中覓芳，創(chuàng)立馬爾可夫鏈

數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新能力從何而來？為何其能發(fā)現(xiàn)新理論？為何能構(gòu)建新學(xué)科來引導(dǎo)研究方向？根據(jù)中心極限定理可知，這是受諸多偶然和必然因素的影響，其中最重要的因素應(yīng)當(dāng)是厚積薄發(fā)的“靈光閃現(xiàn)”。多學(xué)科的相互融合能夠開創(chuàng)新的研究領(lǐng)域，馬爾可夫鏈（圖2）就誕生于詩歌研究。

圖2 馬爾可夫鏈

1913年，馬爾可夫應(yīng)用概率思想分析了普希金（1799—1837 年）的長詩《葉甫蓋尼·奧涅金》。詩人氣勢豪放，“其所以神化而超出于眾表者，殆猶天馬行空而步驟不凡”。馬爾可夫把長詩看作是俄語字母的隨機(jī)排列，并隨機(jī)選取了其中連續(xù)排列的20000 個字母，用C代表輔音、Г代表元音（為了使問題簡化起見，不妨把硬音、軟音兩個字母算作輔音），則詩人那火一般的詩篇猶如變成了一只池塘中的青蛙，從這片荷葉跳向那片荷葉，口中不時還叫上兩聲。馬爾可夫分別統(tǒng)計了在C后面出現(xiàn)C和Г的頻率以及在Г 后出現(xiàn)C 和Г 的頻率。從中發(fā)現(xiàn)了元音字母和輔音字母的統(tǒng)計規(guī)律，據(jù)此估計出若干概率，如元音出現(xiàn)概率為

元音出現(xiàn)在元音后概率為

而元音出現(xiàn)在輔音后概率為

將所得結(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了俄語中字母隨機(jī)序列符合馬爾可夫所建立的概率模型。如遍歷性是馬爾可夫鏈最簡性質(zhì)，即馬爾可夫鏈的極限分布與初始狀態(tài)無關(guān)。而在馬爾可夫所統(tǒng)計的詩文情形中，則有

其中αt，βt是第t步的轉(zhuǎn)移概率。將此公式應(yīng)用于俄語中字母隨機(jī)序列所形成的馬爾可夫鏈，則有

此結(jié)果恰與詩文中元音出現(xiàn)的概率相等。

后來，馬爾可夫還研究了俄羅斯19世紀(jì)現(xiàn)實(shí)主義作家阿克薩柯夫（1791—1859年）的《家庭紀(jì)事》，從中隨機(jī)選取了100000個字母，其研究結(jié)果與此類似。因此，馬爾可夫的論文“葉甫蓋尼·奧涅金詩文的統(tǒng)計研究”，不僅應(yīng)用語言學(xué)統(tǒng)計資料來闡明了馬爾可夫鏈性質(zhì)，更重要的是開創(chuàng)了數(shù)理統(tǒng)計語言學(xué)的研究先河。時至今日，文學(xué)著作的語言統(tǒng)計分析在國內(nèi)外皆具卓有成效的研究成果。如《羅密歐和朱麗葉》的作者鑒定、《靜靜的頓河》作者是誰、《紅樓夢》前80回和后40 回是否皆為曹雪芹所著等。更有甚者，應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)研究《毛澤東選集》也發(fā)現(xiàn)了不少規(guī)律。

剛正不阿，敢于挑戰(zhàn)權(quán)威

除數(shù)學(xué)外，馬爾可夫始終關(guān)心社會問題、熱愛人文科學(xué)，總是做自己喜歡的事情，整個一生都是個反叛者。早在中學(xué)時期，他就經(jīng)常讀一些進(jìn)步讀物，為此與校方多次發(fā)生沖突。最嚴(yán)重的一次是在例行祈禱儀式上，馬爾可夫不是把《圣經(jīng)》捧在手中虔誠讀誦，而是早早塞進(jìn)了口袋盼著趕快離開。一直對馬爾可夫有成見，并密切監(jiān)視他的學(xué)監(jiān)大聲指責(zé)其破壞了宗教儀式的肅穆氣氛，豈不知自己的咆哮聲才是罪魁禍?zhǔn)住?/p>

馬爾可夫的《概率演算》可謂是一部唯物主義者的戰(zhàn)斗檄文。該宏著帶有強(qiáng)烈論戰(zhàn)性質(zhì)，其主要對手竟是圣彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派元老布尼亞科夫斯基（1804—1889 年）和反動教會組織。雖在中學(xué)時代，馬爾可夫就寫信請教布尼亞科夫斯基，也是在其引導(dǎo)下報考了圣彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，然而在肯定布尼亞科夫斯基科學(xué)貢獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對于其宗教衛(wèi)道士式言論，馬爾可夫進(jìn)行了毫不留情地批判，同時尖刻嘲諷地指出了其把概率論應(yīng)用于供詞、傳說、候選人與意見間的各種選擇及多數(shù)裁定司法判決等“倫理科學(xué)”實(shí)例?！陡怕恃菟恪吠耆穸松系鄣拇嬖冢瑢τ凇妒ソ?jīng)》也持懷疑態(tài)度，這在當(dāng)時是“大逆不道”的著作。

1902年2月25日，圣彼得堡科學(xué)院文學(xué)部聯(lián)席會議通過了一項決議，接納被政府流放的高爾基（1868—1936 年）為名譽(yù)院士。然而，末代沙皇尼古拉二世卻命令國民教育大臣，立即取消高爾基的院士資格。該科學(xué)院于3 月12 日不得不發(fā)布文告取消高爾基當(dāng)選院士資格?？茖W(xué)院進(jìn)步人士皆表示了強(qiáng)烈憤慨，馬爾可夫也于4 月6日向院務(wù)委員會遞交聲明：“我認(rèn)為科學(xué)院關(guān)于取消高爾基當(dāng)選資格的文告是無效的和被強(qiáng)加的”，并論證了其依據(jù)所在。馬爾可夫不僅強(qiáng)烈反對沙皇專制統(tǒng)治，并且覓到政治和數(shù)學(xué)的結(jié)合辦法。

為轉(zhuǎn)移國內(nèi)日益高漲的革命情緒并準(zhǔn)備帝國主義戰(zhàn)爭，沙皇政府于1913年以1613年羅曼諾夫當(dāng)選沙皇為標(biāo)志，慶祝羅曼諾夫王朝建立300周年。針對沙皇政府的浮華慶典，馬爾可夫決定利用自己在科學(xué)界的威望，以1713年雅各布·伯努利《猜度術(shù)》出版為標(biāo)志，發(fā)起了慶祝大數(shù)定理發(fā)現(xiàn)200周年的科學(xué)活動。

馬爾可夫自己對大數(shù)定理理論很有研究?？聽柲曷宸颍?903—1987年）指出，馬爾可夫大數(shù)定理的條件（1907 年提出）已很接近其于辛欽（1894—1959 年）在1929 年所得大數(shù)定理的必要條件。馬爾可夫還把大數(shù)定理推廣到相依隨機(jī)變量序列，開創(chuàng)了相依隨機(jī)變量的研究先河。

山水草木皆有韻，數(shù)學(xué)大美幻無窮。馬爾可夫?qū)?shù)學(xué)充滿了興趣和感情，數(shù)學(xué)就是他生命中的主要組成部分，其以極為豐富的數(shù)學(xué)研究成果彰顯著人類思維的魅力。值得一提的是，他把兒子也培養(yǎng)成了著名數(shù)學(xué)家。曾有人請教其數(shù)學(xué)的定義，他不假思索地答道：“所謂數(shù)學(xué)，就是高斯、切比雪夫、李雅普諾夫、斯捷克洛夫和我所從事的研究”。其中斯捷克洛夫是李雅普諾夫的得意門生，俄羅斯數(shù)學(xué)物理學(xué)派創(chuàng)始人。有趣的是，一般數(shù)學(xué)研究結(jié)果之冠名是由其他數(shù)學(xué)家認(rèn)定，而馬爾可夫則自己命名了“馬爾可夫鏈”。這就是數(shù)學(xué)家的錚錚傲骨?。ㄘ?zé)任編輯 王麗娜）