未給出具體解析式的函數(shù)為抽象函數(shù)。解決這類函數(shù)可以通過(guò)化抽象為具體的方法，即賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值或代數(shù)式，經(jīng)過(guò)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算和推理加以解決。

一、判斷函數(shù)的奇偶性

例1、若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y均成立，且f(x)不恒為0，請(qǐng)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。

解：令則有，故有

令，則有，故有，又因?yàn)?/span>不恒為0，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)。

例2、已知函數(shù)為非零函數(shù)，若有，試判斷函數(shù)的奇偶性。

解：令，則有，故有

令，則有，故有

令，則有，且為非零函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)。

二、判斷函數(shù)的單調(diào)性

例3、函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任何實(shí)數(shù)x，y恒有，試判斷函數(shù)的單調(diào)性。

解：令，則有，故有

又有

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故有，而，故有。

又當(dāng)x＝0時(shí)，，故對(duì)于任何，有。

令，

故

所以函數(shù)是減函數(shù)。

三、判斷函數(shù)的周期性

例4、函數(shù)，對(duì)任何實(shí)數(shù)a、b恒有，且存在常數(shù)，使，求證：為周期函數(shù)。

證明：令，

則

即

又

所以函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為2c。

四、求函數(shù)的解析式

例5、設(shè)x≠0，函數(shù)滿足，求函數(shù)的解析式。

解：由題意知

用x換代入上式得：

則①×2－②得：

所以

五、求函數(shù)的值域

例6、函數(shù)為增函數(shù)，且滿足，求函數(shù)的值域。

解：令，則有。

①當(dāng)時(shí)，不妨令，

則有

故當(dāng)。

②當(dāng)時(shí)，有

有

故當(dāng)時(shí)，有

所以當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?/span>R。