33620180407周六作品

《雜談 · “定值”題》

（秦中 朱校華 原創(chuàng)）

一、復習引子.

數(shù)學“定值”題在數(shù)學教科書上有論述，考試也常出現(xiàn)，一般介于“探究題”與“動態(tài)題”間，是現(xiàn)行中考數(shù)學命題者喜歡出的一種創(chuàng)新題，是體現(xiàn)數(shù)學思維差別的題型之一.

比如：求證“等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高長”這個理論就可以創(chuàng)新性地改編成一道定值題：等腰△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=30°.點D在底邊BC上，過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F.試問DE+DF是否是定值？若是，請求出這個定值；若否，試說明理由（本題8分，其中正確畫出題圖記1分）.

    很明顯：這樣的考題擺在學生面前，

首先是要畫出符合題意的圖形；

其次要清楚原題點D的動態(tài)屬性；

最后必須充分利用儲存于大腦中的數(shù)學理論知識找到解題“切入口”. 

二、詳析要點.

面對“定值”題，最常規(guī)的第一條指導思想是：

朝著題給條件中的“定值”方向走.

就如上題來看：題給條件是“已知腰長與頂角的等腰三角形”，說明這個三角形的形狀與大小均已經(jīng)確定，周長與面積能夠確定，三條高、中線、角平分線也是能夠確定的.

其次，DE+DF的值顯示的是點到直線的距離，既然是距離必離不開垂直，而垂直自然離不開直角，有了直角的存在，想想“高”這條重要的線段定然伴隨，這些是聯(lián)想所得.

面對“定值”題，最常規(guī)的第二條指導思想是：

關注題給條件中的“特殊”位置點.

數(shù)學活動經(jīng)驗告訴我們：一般情況下，“定值”題中的定值就是特殊位置處的取值.

特殊位置點，常常指的是起點、中點、等分點、終點等. 返回來看上面這道題：點D可以與點B或者點C重合，最特殊的點則是底邊BC的中點.而點D與點B重合時，發(fā)現(xiàn)：DE=0，DF就是腰AC上的高，這個高長就等于5，于是先猜想到DE+DF的值確實等于定長5.

面對“定值”題，最常規(guī)的第三條指導思想是：

并入題給結論中的“動靜”理論網(wǎng).

解題三只眼“記已知·觀圖形·想結論”告訴我們：“定值”題中的動點肯定有相對靜止的點位置，其實當我們在題圖中標出一個點時，這個位置就相對確定了，接下來的關鍵是如何鏈接已知與未知，其中數(shù)學中常說的“四基”絕對是少不了的，得嫻熟于心方為上！

正如上面這道題所需的那樣：三角形全等、矩形構造、解直角三角形等是不可缺少的.

三、創(chuàng)編續(xù)例.

原題：在一條足夠寬的步行街上，老張在街面正對著（垂直于街道，假設街道是筆直的）的兩根路燈下以勻速來回重復著散步.老張發(fā)現(xiàn)路燈下前后影子在成一條直線的情況下，影子合起來的長度始終是不變的.假設兩路燈一樣高為6米，兩路燈街面間距21米，老張身高1.5米，試求出老張所講的不變的兩路燈下的前后影子長度總和數(shù)值（6分）.

剖析：

按照上面提到的指導思想（做題一定要有正確的指導思想，對于老師來講是非常容易理解的，實際教學中怎么樣要學生“會”主動找到解題的“切入口”才是真正的看家本領.畢竟題有千千萬，永遠做不完.“做一題能夠會一類題”才是硬道理，所以引導就顯得特重要.），換句話說：要做的是“導”與“悟”！導的開端是理解題意，明白已知與所求分別是什么.

按（上面三步）部就班逐步行，腳踏實地為正經(jīng).具體參看如下簡解：

當點E是線段AD的中點時，影子GE=EH.這就是中點這個特殊位置之特征值.

其中移動點E的位置時，GE變長，EH就變短；GE變短，EH就變長.兩者相加不變.

現(xiàn)在來“悟”一悟：

縱觀上面簡解發(fā)現(xiàn)，首先，三步指導思想還是一樣得走一走的.其次，將動態(tài)題處理的那一套還是要搬上來用一用的.再者數(shù)學四基中的A型相似三角形相關知識與比例相關性質（分比性質）正好也是能夠派上用場，說明陳舊知識技能等還是需要捋一捋的.

四、題型代表.

定值題一般情況下是與動態(tài)題黏在一起的.

現(xiàn)行人教版數(shù)學教科書上有三種題型：

一是三角形中的距離問題.最典型的代表有（1）等腰三角形底邊上的任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高長；（2）斜邊長一定的直角三角形中，斜邊上的中點到直角頂點的距離等于定長；（3）斜邊長一定的等腰直角三角形周長是定值，面積也是定值.

二是正方形的共面積問題.最典型的代表是：兩個邊長一定的正方形，其中一個正方形的頂點正好落在另一個正方形的對稱中心上時，兩正方形重合部分的面積是定值.

三是圓切線長定理之應用.最典型的代表為：從圓外一已知點向圓引兩條切線，過在兩切點之間劣弧上任取一點作圓的切線，與原兩條切線圍成的三角形周長等于定值.

除此之外，還有其它知識點之綜合類應用定值題.所謂“萬變不離其宗”，解決方法仍然是三個：

朝著題給條件中的“定值”方向走（明確方向）.

關注題給條件中的“特殊”位置點（特殊助力）.

并入題給結論中的“動靜”理論網(wǎng)（動靜結合）.