經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)，一些著名的數(shù)學(xué)家，如 歐拉、旺德蒙德、 拉格朗日、魯菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的進(jìn)展。19世紀(jì)上半葉， 阿貝爾受 高斯處理 二項(xiàng)方程 (p為素?cái)?shù))的方法的啟示，研究五次以上 代數(shù)方程的求解問題，終于證明了五次以上的方程不能用根式求解。他還發(fā)現(xiàn)一類能用根式求解的特殊方程。這類方程現(xiàn)在稱為阿貝爾方程。阿貝爾還試圖研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成這項(xiàng)工作。 伽羅瓦從1828年開始研究 代數(shù)方程理論(當(dāng)時(shí)他并不了解阿貝爾的工作)，他試圖找出為了使一個(gè)方程存在 根式解，其系數(shù)所應(yīng)滿足的充分和必要條件。到1832年他完全解決了這個(gè)問題。在他臨死的前夜，他將結(jié)果寫在一封信中，留給他的一位朋友。1846年他的手稿才公開發(fā)表。伽羅瓦完全解決了 高次方程的求解問題，他建立于用根式構(gòu)造 代數(shù)方程的根的一般原理，這個(gè)原理是用方程的根的某種 置換群的結(jié)構(gòu)來描述的，后人稱之為“伽羅瓦理論”。伽羅瓦理論的建立，不僅完成了由拉格朗日、魯菲尼、 阿貝爾等人開始的研究，而且為開辟抽象代數(shù)學(xué)的道路建立了不朽的業(yè)績(jī)。 [1] 1、域的正規(guī)可分?jǐn)U張定義為伽羅瓦擴(kuò)張。
2、若K/F為伽羅瓦擴(kuò)張，K上的F-自同構(gòu)的集合構(gòu)成一個(gè)群，定義為伽羅瓦群，記為Gal(K/F)。
3、對(duì)于H是Gal(K/F)的子群，稱K中在H中任意元素作用下不動(dòng)元的集合為H的不動(dòng)域，這是一個(gè)中間域。
4、對(duì)于伽羅瓦擴(kuò)張，擴(kuò)張的中間域和伽羅瓦群的子群有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。
5、F?E?K形式的伽羅瓦擴(kuò)張，E/F是正規(guī)擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)Gal(K/E)是Gal(K/F)的正規(guī)子群。
6、在特征為0的域上，多項(xiàng)式的根可用根式解當(dāng)且僅當(dāng)其分裂域擴(kuò)張的伽羅瓦群是可解群。
廣義上的伽羅瓦理論還包括尺規(guī)作圖，諾特方程，循環(huán)擴(kuò)張，庫(kù)默爾理論等內(nèi)容。
|
伽羅瓦圖冊(cè)
