【編者按】

2016年12月1～2日，北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院攜手中小學(xué)管理雜志社召開“首屆小學(xué)實(shí)踐課程研討會”，圍繞“基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)踐課程與教學(xué)變革”這一主題，來自全國各地的近500名中小學(xué)校長和教師齊聚北京，開啟了一場探索“有趣數(shù)學(xué)”的奇妙之旅。其中東北師范大學(xué)原校長、義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中教授深入淺出的專題報(bào)告，為與會者帶來了對“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”及“數(shù)學(xué)教學(xué)”更深刻的理解。本刊特?cái)X錄于此，希望能為您帶來更多思考與啟示。

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，在本質(zhì)上與以人為本或以學(xué)生發(fā)展為本的理念是一致的。為了便于理解，我們可以將核心素養(yǎng)抽象為這樣幾句話：核心素養(yǎng)是后天習(xí)得的、與特定情境有關(guān)的，而不是隨時(shí)隨地都可以表達(dá)出來的東西；是通過人的行為表現(xiàn)出來的，因此是可監(jiān)測的知識、能力和態(tài)度；涉及人與社會、人與自己、人與工具三個(gè)方面，最終要落實(shí)在人即受教育者身上。

如何進(jìn)行學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)？我想，最終還是要落在學(xué)科核心素養(yǎng)的培育上。我們以數(shù)學(xué)學(xué)科為例來探討這個(gè)問題。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括哪些內(nèi)容？如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)？

1. 什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為：具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。那么，設(shè)定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的標(biāo)準(zhǔn)又是什么呢？我們可以這樣認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是，一個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后，即便這個(gè)人未來從事的工作和數(shù)學(xué)無關(guān)，也應(yīng)當(dāng)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。所謂數(shù)學(xué)的眼光，本質(zhì)就是抽象，抽象使得數(shù)學(xué)具有一般性；所謂數(shù)學(xué)的思維，本質(zhì)就是推理，推理使得數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性；所謂數(shù)學(xué)的語言，主要是數(shù)學(xué)模型，模型使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有廣泛性。

基于此，我們將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)確定為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六方面。雖然義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)現(xiàn)在還沒有開始正式討論，但也離不開義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的八個(gè)核心詞：數(shù)感、符號意識、推理能力、模型思想、幾何直觀、空間想象、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析觀念。我們可以這樣理解，數(shù)學(xué)抽象在義務(wù)教育階段主要表現(xiàn)為符號意識和數(shù)感，推理能力即邏輯推理，模型思想即數(shù)學(xué)模型，直觀想象在義務(wù)教育階段體現(xiàn)的就是幾何直觀和空間想象。還有三個(gè)超出數(shù)學(xué)范疇的一般素養(yǎng)，義務(wù)教育階段強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，高中階段則增加了學(xué)會學(xué)習(xí)。

在終極目標(biāo)下，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)秉承這樣的基本理念：把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合理的問題；啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，鼓勵學(xué)生與他人交流；讓學(xué)生在掌握知識技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2. 培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)對教師教學(xué)提出挑戰(zhàn)

教師要在學(xué)科教學(xué)中幫助學(xué)生掌握知識、提高能力、發(fā)展素養(yǎng)。形成學(xué)科核心素養(yǎng)是終極目標(biāo)，在本質(zhì)上，這樣的目標(biāo)不是教師短時(shí)間“教”出來的，而是學(xué)生領(lǐng)悟出來的，是長期經(jīng)驗(yàn)的積累，是在一個(gè)過程中慢慢形成的。這就需要把常態(tài)教學(xué)與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)結(jié)合在一起，老師們在備課時(shí)可以將核心素養(yǎng)的要求呈現(xiàn)出來。比如：在教學(xué)目標(biāo)中，教師在設(shè)想過程性目標(biāo)時(shí)，不僅要說“經(jīng)歷什么”“探究什么”，還應(yīng)該明確“得到什么”，比如說，形成“幾何直觀”素養(yǎng)。與此同時(shí)，教師備課不能僅局限于某一堂課，而應(yīng)當(dāng)把相對成邏輯體系的知識整合在一起，思考通過這些課程讓學(xué)生掌握什么樣的知識和能力，培養(yǎng)什么素養(yǎng)，然后再考慮每堂課怎樣體現(xiàn)。

如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中？我認(rèn)為，可從以下三方面著手。

1. 數(shù)學(xué)抽象：讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼睛看”

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的核心詞，如符號意識、數(shù)感，甚至幾何直觀和空間想象，都可以歸到數(shù)學(xué)抽象這個(gè)素養(yǎng)中。所謂數(shù)學(xué)抽象，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或者術(shù)語予以表征。簡而言之，抽象就是從現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼睛看。

小學(xué)階段通過抽象得到的是基本概念，還包括關(guān)系和法則。抽象的方法有兩種：對應(yīng)和內(nèi)涵。對應(yīng)的方法就是給研究對象起個(gè)名字，內(nèi)涵的方法就是給研究對象明確定義。我建議老師們在一、二年級的教學(xué)中采用對應(yīng)的方法，重在讓學(xué)生感悟；以后可以逐漸采用內(nèi)涵的方法，重在讓學(xué)生理解。

比如：啟發(fā)學(xué)生理解“數(shù)是什么？數(shù)的本質(zhì)是什么？表示數(shù)的關(guān)鍵是什么？”時(shí)，在讓學(xué)生理解基本概念、關(guān)系和規(guī)律的同時(shí)，教師一定要知道這些內(nèi)容涉及“符號意識”和“數(shù)感”這兩個(gè)核心素養(yǎng)。在教學(xué)過程中，教師一定要讓學(xué)生感知“數(shù)”是一種符號表達(dá)，是對數(shù)量的抽象，我們可以用對應(yīng)的方法，從“兩匹馬”“兩頭?！睂?yīng)到兩個(gè)小方塊，然后再讓兩個(gè)小方塊對應(yīng)符號“2”。僅僅抽象出概念并不是最重要的，更重要的是要抽象出概念之間的關(guān)系。數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)是多和少，因此對應(yīng)數(shù)的關(guān)系的本質(zhì)就是大和小。抽象的核心是舍去現(xiàn)實(shí)背景。

“數(shù)感”是對數(shù)的感悟，其核心是回歸現(xiàn)實(shí)背景，讓學(xué)生知道數(shù)在不同場合的使用。比如：對于“100”這個(gè)數(shù)字，我們可以帶100元錢去超市，但不可以帶100元錢去買房子。

數(shù)學(xué)是通過抽象得到一般結(jié)論。但是，抽象的東西不是具體的存在，而是抽象的存在。比如：現(xiàn)實(shí)中沒有抽象的“2”，只有具體的“兩匹馬”“兩頭?！?。什么是抽象的存在？我們看到了蘋果，看到了足球，感覺到一個(gè)圓，離開了蘋果和足球，腦子里還有一個(gè)圓，基于這樣的存在我們能在黑板上畫出一個(gè)圓，這樣的存在就是抽象的存在。如同鄭板橋所說：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。老師在課堂上教的不是他在黑板上畫出來的、具體的圓，而是一般的、抽象的圓。

2. 邏輯推理：讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的思維想”

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心詞還提到運(yùn)算能力和推理能力，這都屬于邏輯推理。數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展依賴的就是邏輯推理。邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程。它主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。

演繹推理是從大范圍內(nèi)成立的命題推斷小范圍內(nèi)命題也成立，只能用來驗(yàn)證知識，不能用來發(fā)現(xiàn)新的知識。而歸納推理是通過條件預(yù)測結(jié)果、通過結(jié)果探究成因的推理，其結(jié)果是或然成立的，用于發(fā)現(xiàn)知識。我們之前的教育，更多的是培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，缺少歸納推理能力的培養(yǎng)，這對培養(yǎng)創(chuàng)新型人才是不利的。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過歸納推理探究成因，比如：探究計(jì)算方法規(guī)定的緣由。在混合運(yùn)算中，為什么要先乘除后加減？對于“3+2×6=3+12=18”這樣的算式，可以舉例說明：“操場上有3名同學(xué)，又來了一隊(duì)同學(xué)，2人一排共6排。問現(xiàn)在操場上有多少名同學(xué)？”其計(jì)算的緣由可以理解為：現(xiàn)在同學(xué)數(shù)=原來同學(xué)數(shù)+后來同學(xué)數(shù)=3+2×6，因此可以得到先乘除后加減的結(jié)論。教師可以讓學(xué)生感悟，混合運(yùn)算是講兩個(gè)或者兩個(gè)以上的故事，先乘除后加減的規(guī)定就是一個(gè)故事、一個(gè)故事地計(jì)算。教師要在引導(dǎo)學(xué)生邏輯推理的過程中，逐漸幫助他們建立數(shù)學(xué)的思維模式，這就是會用數(shù)學(xué)的思維想。

在教學(xué)中，如果學(xué)生討論不清楚或者教師講不明白，那就舉例說明。一個(gè)好老師的頭腦中應(yīng)該有很多例子，甚至能隨時(shí)根據(jù)需要想出一些例子來。但所有的應(yīng)用題必須是在生活中能夠發(fā)生的，不能硬編。

3. 數(shù)學(xué)模型：讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的語言說”

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心詞還有模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念等，這都是數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型、解決問題的過程。也就是說，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。因此數(shù)學(xué)模型是一個(gè)核心素養(yǎng)。在現(xiàn)代社會，數(shù)學(xué)的真正應(yīng)用是模型，模型已經(jīng)成為一種語言應(yīng)用于物理、化學(xué)這些學(xué)科，甚至應(yīng)用于社會科學(xué)和人文學(xué)科，數(shù)學(xué)模型引發(fā)的數(shù)學(xué)特征就是數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中主要提到兩個(gè)模型，一個(gè)是加法模型，一個(gè)是乘法模型，或者轉(zhuǎn)化成現(xiàn)實(shí)問題，一個(gè)是總量模型，一個(gè)是路程模型。

數(shù)學(xué)建模突出學(xué)生系統(tǒng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的過程，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型核心素養(yǎng)，能夠幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，使其加深對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，逐步積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。

在基于核心素養(yǎng)的學(xué)科教學(xué)中，評價(jià)與考核很重要，除了考查學(xué)生知識技能的獲得，還要關(guān)注學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的形成。在近些年實(shí)施的基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，我們在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的監(jiān)測標(biāo)準(zhǔn)中提出的三個(gè)原則，基本體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育的關(guān)注。

1. 不強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度：重思考深度、輕技巧訓(xùn)練

我認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)過分強(qiáng)調(diào)計(jì)算速度是沒有道理的，速度的訓(xùn)練是導(dǎo)致學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)加重的主要原因。我們在后來的基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，嘗試減少題量或者是延長測試時(shí)間。素養(yǎng)培養(yǎng)是慢功夫。學(xué)校不能動輒考核教師，否則只會導(dǎo)致教師也要求學(xué)生拼命練習(xí)，通過反復(fù)做題訓(xùn)練速度，培養(yǎng)應(yīng)試技巧。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要思考的，教師的一項(xiàng)重要責(zé)任，就是要引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生學(xué)會思考、敢于思考、善于思考。

2. 監(jiān)測內(nèi)容要指向?qū)W科核心素養(yǎng)：關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)

以前的測試主要考查學(xué)生對知識點(diǎn)了解、理解、掌握的程度，在基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測中，我們要求監(jiān)測內(nèi)容中要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)素養(yǎng)，比如：考查學(xué)生對概念的理解，以及學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象力等，尤其是要關(guān)注學(xué)生的思維品質(zhì)，考查學(xué)生的思維能力。

有這樣一道題目。五年一班和五年二班舉行跳繩比賽，每班派10人參加比賽。已經(jīng)賽完9人，將派最后1名同學(xué)上場。五年一班可以在甲、乙兩名同學(xué)中選出。這兩名同學(xué)最近成績是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），這兩名同學(xué)的平均分差不多，你建議讓哪位同學(xué)上場比賽？理由是什么？

學(xué)生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因?yàn)橐业某煽儽容^穩(wěn)定；但是郊區(qū)有一些孩子生活經(jīng)驗(yàn)豐富，認(rèn)為得看賽完九次之后的成績，如果五年一班輸了，那就可以讓甲參加比賽，因?yàn)榧椎某煽兲S比較大，沖一沖沒準(zhǔn)這次就贏了。這時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維能力是與生活閱歷有關(guān)的。

3. 采用滿意原則：考查學(xué)生的思維過程

我們可以通過開放題來考查學(xué)生的思維過程，開放題應(yīng)當(dāng)采用加分原則。我曾經(jīng)給小學(xué)四年級出過這樣一道題：有兩個(gè)居民區(qū)，中間有一條道路連接，現(xiàn)在要在路邊建一個(gè)超市，你建議建在哪里？為什么？大部分學(xué)生答應(yīng)該建在中間位置，因?yàn)榇蠹易叩靡粯舆h(yuǎn)，這樣的回答有道理，可得滿分；有的學(xué)生答要看居民區(qū)人的多少，應(yīng)該離人多的居民區(qū)近一點(diǎn)，這樣的回答更好了，可以多加兩分；還有的學(xué)生答需調(diào)查哪個(gè)居民區(qū)去超市的人多，按比例來建，這樣的回答可以再多加兩分。只要學(xué)生答得更好，就可以給他加分。

在這樣的測試中，我們不能僅僅通過結(jié)果判斷學(xué)生答案的對和錯(cuò)，重要的是判斷學(xué)生的思維過程是否有道理，是否合乎邏輯；只要學(xué)生的思維過程與得到的結(jié)論是一致的就應(yīng)該滿意，這就是“滿意原則”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于開放題的答案是不確定的，這就對我們的老師提出了更高的要求，教師不僅要能出題，還要有判斷思維是否有邏輯的能力。因此，教師在日常教學(xué)中要教會學(xué)生們思考問題，讓學(xué)生在掌握所學(xué)知識技能的同時(shí)，積累思維的和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。