我是位初中數(shù)學(xué)老師，每年都會(huì)關(guān)注各省市中考數(shù)學(xué)壓軸題，發(fā)現(xiàn)這類壓軸題也是有解題規(guī)律的，我把我總結(jié)的解題方法分享給你，希望對(duì)你有幫助。
四步解決二次函數(shù)圖像為背景的動(dòng)點(diǎn)壓軸題
以函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)問題是近年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)問題，動(dòng)態(tài)包括點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)三大類，解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來(lái)解．點(diǎn)動(dòng)的壓軸題相對(duì)簡(jiǎn)單，解決此問題需分四步完成。
第一確步定動(dòng)點(diǎn)的位置。以二次函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)壓軸題?？嘉鍌€(gè)類型：(1)動(dòng)點(diǎn)形成等腰三角形，可以畫“一線兩圓”來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)，(2)動(dòng)點(diǎn)形成直角三角形，可以根據(jù)直角作垂直或畫圓來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)，(3)動(dòng)點(diǎn)形成的平行四邊形，可以通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)，(4)動(dòng)點(diǎn)形成的面積問題，可以直觀確定，(5)動(dòng)點(diǎn)形成的相似三角形，可以根據(jù)確定三角形的形狀去確定動(dòng)點(diǎn)。
第二步設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖像上，可以設(shè)動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t或者n，縱坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。動(dòng)點(diǎn)在x軸上，設(shè)橫坐標(biāo)為未知數(shù)；動(dòng)點(diǎn)在y軸上，設(shè)縱坐標(biāo)為未知數(shù)。在設(shè)未知數(shù)盡量不用x和a。
第三步表示相關(guān)線段長(zhǎng)。平行坐標(biāo)軸的線段考慮用坐標(biāo)相減；不平行坐標(biāo)軸的線段用勾股定理或相似表示，或者轉(zhuǎn)化為平行坐標(biāo)的線段。
第四建立方程模型或函數(shù)模型。當(dāng)一個(gè)問題是確定有關(guān)圖形的變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)確定圖形之間的特殊位置關(guān)系或者一些特殊的值時(shí)，通常建立方程模型去求解．
對(duì)于運(yùn)動(dòng)型試題，我們要運(yùn)動(dòng)和與變化的眼光觀察和研究，抓住等量關(guān)系和變量關(guān)系。
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學(xué)霸數(shù)學(xué)教育問答達(dá)人首先確保第一問是正確的
無(wú)論你動(dòng)點(diǎn)問題的理論、技巧、方法掌握多少，第一問都沒有做對(duì)，做第二問完全沒有意義；所以確保第一問正確！
動(dòng)點(diǎn)問題的出題方向，解題方向
方法：設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題目要設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)可以透露很多信息，通過(guò)點(diǎn)可以表示線段長(zhǎng)度，特別是橫平豎直的線段長(zhǎng)度，點(diǎn)、線、面本身就是這類題目的考察大方向；點(diǎn)到線：在直角坐標(biāo)系中，要善于利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的方法到動(dòng)點(diǎn)問題中來(lái)，例如直線平行與垂直，直線交點(diǎn)這些都要能迅速求解出來(lái)；
1.最值問題：一般以線段長(zhǎng)度的最值問題（線段長(zhǎng)、線段和差），面積問題等；此類題型一般要掌握最值問題的幾類模型（此處不展開），設(shè)點(diǎn)方法，線段長(zhǎng)的表示方法，面積的表示方法等，掌握這些得分不難；
2.存在性問題:存在性問題比較雜，例如等腰三角形的存在性、全等三角形、相似三角形、平行四邊形的存在性問題等，甚至還有角的存在性問題；這類問題一般掌握分類討論的方法就沒事，做題時(shí)保持清醒的頭腦，不要亂混了；
當(dāng)然以上只是方向性的問題，若要解決此類問題，還要掌握幾何基礎(chǔ)知識(shí)，至少應(yīng)用的時(shí)候不能出現(xiàn)卡住的現(xiàn)象，例如等腰三角形的性質(zhì)問題；
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創(chuàng)建于2018.4.20
二次函數(shù)作為初中學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，是中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),尤其是二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題,更是讓不少同學(xué)頭疼,大多數(shù)都是只會(huì)做第一問或是沒時(shí)間做后面的問題.
一、數(shù)學(xué)模型
二次函數(shù):本質(zhì)上就是函數(shù),既然是函數(shù)它必有三要素,定義域、值域、解析式，萬(wàn)變不離其宗，不管他的動(dòng)點(diǎn)如何變化，最終我們要找出自變量、因變量、并建立二者之間的函數(shù)關(guān)系模型，然后進(jìn)行討論。
二、典型真題剖析
1、面積類
（2016山東東營(yíng)，25，12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（0，4）、（－1，0），將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，得到平行四邊形A′B′OC′.
（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)C、A、A′，求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)M的坐標(biāo)；
（3）若P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，N為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).
【逐步提示】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A′的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．(2)用待定系數(shù)法求出直線AA′的解析式，設(shè)M的橫坐標(biāo)為x，列出△AMA′的面積關(guān)于x的函數(shù)，配方求出函數(shù)的最大值，即面積的最大值．(3)由于平行四邊形的頂點(diǎn)順序不確定，故分類討論，可分BQ為邊和BQ為對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．結(jié)合B(1，4)，Q(1，0)的坐標(biāo)可得當(dāng)平行四邊形為矩形時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解后反思】1．坐標(biāo)系或網(wǎng)格中求一般三角形面積的常用方法：
(1)分割法：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作平行于y軸或x軸的直線將三角形分成兩個(gè)三角形，用分成的兩個(gè)三角形面積的和或差表示三角形的面積；
(2)補(bǔ)形法：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作平行于x軸、y軸的直線，得到矩形，將三角形的面積表示為矩形的面積減去多個(gè)直角三角形的面積；
(3)等積轉(zhuǎn)化法：利用平行線間距離處處相等，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)與它面積相等且易求的三角形的面積．
2．幾何問題中與面積最值有關(guān)的問題的解題思路：
(1)分析問題，找到與面積相關(guān)的一個(gè)變量；
(2)建立面積與另一個(gè)變量的二次函數(shù)模型；
(3)配方法或利用頂點(diǎn)公式求出自變量的取值及面積的最值．
2、平行四邊形類
【逐步提示】本題考查了用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式、圖形面積、函數(shù)的最大值、平行四邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，9），將拋物線寫成頂點(diǎn)式 ，再把A（0，5）代入求出a，從而求得拋物線的解析式． （2）由于AC平行于x軸，所以C點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于5，代入（1）中拋物線可求得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)．因?yàn)樗倪呅蜛PCD的面積是由△APC和△ADC的面積和組成，通過(guò)設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，由于點(diǎn)D在直線AB上，所以可以用m的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，然后利用水平底，鉛垂高可將四邊形APCD的面積用含m的式子表示出來(lái)，再進(jìn)行配方，就可求出面積的最大值．（3）過(guò)M作MH垂直于對(duì)稱軸，因?yàn)樗倪呅问且訟E為邊的平行四邊形，所以△MNH≌△AEO，得OE＝NH，MH＝OA．可以求得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入拋物線即可得縱坐標(biāo)．利用M點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以得到N點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
【解后反思】二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)一般較多，有拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，幾何圖形的面積，三角形全等、相似、圓等，還有與一次函數(shù)聯(lián)立解題等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．一般在解決有關(guān)平行四邊形頂點(diǎn)問題時(shí)，通常應(yīng)用平行四邊形對(duì)邊平行且相等，用平移法可找到相鄰頂點(diǎn)之間的聯(lián)系．這樣的題型一般用到數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想．
3、探究類
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8，4)，連接AC，BC．
(1)求過(guò)O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？
(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【逐步提示】(1)分別把x=0和y=0代入解析式可得A，B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．利用勾股定理求出AB、BC、AC的長(zhǎng)，再由勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形．(2)利用勾股定理構(gòu)建方程，解方程求出t的值．(3)先求出拋物線的對(duì)稱軸是x=2.5，設(shè)M的坐標(biāo)為(2.5，m)，然后分AM=BM，AB=BM，AB=AM三種情況討論．
【解后反思】1．存在型問題的探究方法：
(1)直接求解法：就是直接從已知條件入手，逐步試探，求出滿足條件的對(duì)象；
(2)假設(shè)求解法：就是先假設(shè)結(jié)論存在，再?gòu)囊阎獥l件、定義、定理出發(fā)進(jìn)行推理，或根據(jù)已知條件構(gòu)建方程，若得到符合條件的結(jié)論，則假設(shè)成立，否則，假設(shè)不成立，結(jié)論不存在．
2．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式需要熟練掌握三種類型：
①一般式：已知任意三點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2＋bx＋c；
②頂點(diǎn)式：已知頂點(diǎn)(h，k)和另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x－h(huán))2＋k；
③交點(diǎn)式：已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)和另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x－x1)(x－x2)．
