二次函數(shù)綜合題通常是中考的壓軸題型，常考類型有：①線段問(wèn)題（包括線段的數(shù)量關(guān)系、線段長(zhǎng)的關(guān)系式及最值和周長(zhǎng)的關(guān)系式及最值）；②探究面積數(shù)量關(guān)系或最值問(wèn)題；③探究特殊三角形的存在性問(wèn)題；④探究特殊四邊形的存在性問(wèn)題；⑤探究相似三角形的存在性問(wèn)題.常常用到分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.七嘴八舌說(shuō)考情陜西：

題位在第24題，常會(huì)涉及二次函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱，且設(shè)問(wèn)會(huì)涉及拋物線變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的圖形的判定問(wèn)題、面積問(wèn)題、三角形相似問(wèn)題.河南：

題位在第23題，分值為11分，考查設(shè)問(wèn)：①第一問(wèn)多為用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；②沒(méi)有考查過(guò)探究三角形相似的存在性問(wèn)題，其他類型都有考查.山西：

必考?jí)狠S題，第1問(wèn)求函數(shù)解析式或頂點(diǎn)坐標(biāo)；第2、3問(wèn)為特殊三角形、特殊四邊形的存在性問(wèn)題、面積問(wèn)題或周長(zhǎng)問(wèn)題，涉及相似三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的性質(zhì)及判定.安徽：

僅2016年在第22題考查，第1問(wèn)為利用待定系數(shù)法求系數(shù)，第2問(wèn)為求面積的關(guān)系式.云南：

必考?jí)狠S題，設(shè)問(wèn)以3問(wèn)居多；分值為9-12分；第1、2問(wèn)多為求拋物線解析式，點(diǎn)坐標(biāo)，直線解析式，第3問(wèn)沒(méi)有考過(guò)探究線段的數(shù)量關(guān)系或周長(zhǎng)最小問(wèn)題，其他均有考查.湖南：

常與動(dòng)點(diǎn)幾何圖形結(jié)合，考查內(nèi)容包括：求拋物線解析式、求三角形周長(zhǎng)最小值、圖形面積最值、探究相似三角形的存在性、判定特殊四邊形、判定等腰三角形與直角三角形、切線的判定等.江西：

必考題型，題位在解答題最后兩道中任意一道，主要設(shè)問(wèn)有：（1）求線段長(zhǎng)及與線段有關(guān)的證明；（2）探究特殊三角形及四邊形的存在性；（3）求二次函數(shù)系數(shù)的值；（4）由多條拋物線結(jié)合總結(jié)出拋物線相同及不同的結(jié)論；（5）判斷動(dòng)點(diǎn)以及相等線段的存在性.說(shuō)來(lái)說(shuō)去還得練

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解決二次函數(shù)綜合題時(shí)，應(yīng)掌握以下內(nèi)容：

1

求拋物線解析式

一般用待定系數(shù)法

（1）當(dāng)a、b、c 中只有一個(gè)系數(shù)未知時(shí)，代入一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解；

（2）當(dāng)a、b、c 中有兩個(gè)系數(shù)未知時(shí)，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)求解；

（3）當(dāng)a、b、c 三個(gè)系數(shù)均未知時(shí)，分三種情況求解：

2

探究線段相關(guān)問(wèn)題

1.線段數(shù)量關(guān)系

此類問(wèn)題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，針對(duì)這種情況應(yīng)先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；最后表示出線段長(zhǎng)度，列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；

2.線段最值問(wèn)題

此類問(wèn)題通常有兩類：

（1）設(shè)出關(guān)鍵的未知數(shù)（通常是一個(gè)和所求線段關(guān)系緊密的點(diǎn)的橫坐標(biāo)），通過(guò)題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出有關(guān)線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段的長(zhǎng)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

（2）在求線段最小值時(shí)可以利用軸對(duì)稱模型，此類問(wèn)題一般是要尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使其到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小，通常是作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)的線段即為所求的最小值.

3.周長(zhǎng)最值問(wèn)題

此類問(wèn)題一般所求圖形中有一動(dòng)點(diǎn)，利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚確定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化到求不定線段和的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線段最值問(wèn)題，方法同（2）.

3

探究面積相關(guān)問(wèn)題

（1）對(duì)于含參數(shù)的圖形面積，在自變量的取值范圍內(nèi)，利用函數(shù)的增減性可以求得其最值；

（2）如果是面積的倍分關(guān)系，一般用等積變形來(lái)解決，即過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)做它對(duì)邊的平行線或是從圖形中尋找出這樣的直線，利用等底等高來(lái)進(jìn)行等積變形，從而實(shí)現(xiàn)三角形頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)化；

（3）如果過(guò)某個(gè)頂點(diǎn)的線段平分三角形的面積，則該線段一定過(guò)該頂點(diǎn)對(duì)邊的中點(diǎn).

4

探究特殊三角形的存在性問(wèn)題

（1）探究直角三角形的存在性問(wèn)題

步驟：

①先假設(shè)結(jié)論成立；

②找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分類討論，

具體方法：

當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線，與所求點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；

當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所求點(diǎn)滿足條件的坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)為符合條件的點(diǎn).

③計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）探究等腰三角形的存在性問(wèn)題

當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑作弧，若所畫弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，否則無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，先做出定長(zhǎng)的垂直平分線，若垂直平分線與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，否則不存在；

③計(jì)算：把所求等腰三角形的邊長(zhǎng)用含字母的式子表示出來(lái)，根據(jù)兩邊相等列關(guān)系式，即可求出字母的值.

5

探究特殊四邊形的存在性問(wèn)題

（1）平行四邊形的存在性問(wèn)題

常見(jiàn)題型為已知兩點(diǎn)A、B，求另外兩點(diǎn)C、D，此類題目需要從AB 是平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況進(jìn)行分析：

①當(dāng)AB 是平行四邊形的邊時(shí)，找與AB 平行且相等的線段CD，分別建立兩線段相等的數(shù)量關(guān)系，利用平行四邊形的性質(zhì)計(jì)算；

②當(dāng)AB 是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AB 的中點(diǎn)即是平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）菱形的存在性問(wèn)題

通常有兩大類：

①已知三個(gè)定點(diǎn)探究菱形時(shí)，分別以三個(gè)定點(diǎn)中的任意兩個(gè)定點(diǎn)確定線段為要探究的菱形的對(duì)角線去畫出所有菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形；

②已知兩個(gè)定點(diǎn)去探究菱形時(shí)，以兩個(gè)定點(diǎn)連線所成的線段作為要探究菱形的對(duì)角線或邊長(zhǎng)畫出符合題意的菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形；

（3）計(jì)算：建立類似平行四邊形的存在性問(wèn)題來(lái)解.

6

探究相似三角形的存在性問(wèn)題

假設(shè)結(jié)論成立，分情況討論.探究三角形相似時(shí)，往往沒(méi)有明確指出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個(gè)三角形相似的題目），或者涉及到動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，因動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中點(diǎn)的位置不確定，此時(shí)應(yīng)考慮不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分情況討論；

（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)：在分類時(shí)，先要找出分類的標(biāo)準(zhǔn)，看兩個(gè)三角形是否有對(duì)應(yīng)相等的角，若有，找出對(duì)應(yīng)相等的角后，再根據(jù)其他角進(jìn)行分類討論來(lái)確定相似三角形成立的條件；若沒(méi)有，則分別按三種角對(duì)應(yīng)相等來(lái)分類討論；

（2）建立關(guān)系式，并計(jì)算.由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比例式，將比例式中的線段用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)（其長(zhǎng)度多借助勾股定理運(yùn)算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過(guò)計(jì)算得出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).