離散時(shí)間傅里葉變換

DTFT：Discrete Time Fourier Transform

一、定義

序列x[n]的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）X(e^jω)定義為：

由定義易知DTFT是以2π為周期的周期函數(shù)。

而X(e^jω)的傅里葉反變換（IDTFT）x[n]定義為：

二、CTFT與DTFT的關(guān)系

時(shí)域連續(xù)信號ga(t)的傅里葉變換Ga(jΩ)（CTFT）為：

時(shí)域離散信號g[n]的傅里葉變換G(e^jω)（DTFT）為：

（ω改為nω）

設(shè)周期性取樣序列為p(t)，ga(t)取樣后的信號為gp(t)。其中p(t)的幅度為1，周期為T。那么有：

根據(jù)時(shí)移特性，gp(t)的傅里葉變換Gp(jΩ)可表示為：

那么我們現(xiàn)在得到：

（ω改為nω）

利用：，有：

結(jié)論：

當(dāng)滿足關(guān)系：Ω=ω/T時(shí)，Gp(jΩ)（CTFT）就轉(zhuǎn)變?yōu)?/span>G(e^jω)（DTFT）。

Gp(jΩ)是周期為ΩT=2π/T的周期函數(shù)，而因?yàn)棣?ω/T，G(e^jω)為周期2π的周期函數(shù)。

三、（Obsolete）DTFT的由來

取樣離散化：

首先給出時(shí)域連續(xù)函數(shù)x(t)，其傅里葉變換為：

顯然不論是在時(shí)域還是在頻域上，信號都是連續(xù)的。但計(jì)算機(jī)為代表的現(xiàn)代信號處理系統(tǒng)只能存儲和處理有限長度的離散信號，且無法直接進(jìn)行連續(xù)積分運(yùn)算，因此必須要對信號進(jìn)行離散化。

首先從時(shí)域離散化來考慮，由取樣定理知，以合理的取樣速率對信號進(jìn)行取樣，所得到的序列可以重構(gòu)出原連續(xù)信號。以下討論總是假設(shè)序列是在滿足取樣定理的條件下對連續(xù)信號進(jìn)行取樣得到的。

則對x(t)進(jìn)行取樣，假設(shè)取樣間隔為△t，沖激函數(shù)序列為s(t)，則所得的取樣信號xs(t)為：

其傅里葉變換為：

得：

將時(shí)域間隔歸一化，則x(n△t)變?yōu)殡x散的序列x[n]，即得到：

上式是將連續(xù)傅里葉變換中的時(shí)域信號進(jìn)行離散化（沖激取樣）后得到的結(jié)果，即序列x[n]的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT：Discrete Time Fourier Transform）

離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）實(shí)際上是對連續(xù)信號進(jìn)行沖激取樣，即對一連續(xù)信號x(t)用沖激函數(shù)序列δT(t)進(jìn)行取樣（其周期為△t），所得到的信號做傅里葉變換。根據(jù)取樣定理，取樣信號的頻域應(yīng)為周期函數(shù)，為原信號頻譜的延拓，因?yàn)镃TFT頻域連續(xù)，所以DTFT頻域是周期、連續(xù)的。