在前期內(nèi)容中，我們介紹了如何對數(shù)據(jù)進行標準化處理，將原始的連續(xù)型變量轉(zhuǎn)化為一個無量綱的標準化數(shù)值，消除不同變量之間因性質(zhì)、量綱、數(shù)量級等屬性的差異而帶來的影響，從而使不同變量的效應大小具有可比性，因此數(shù)據(jù)的標準化處理在實際的統(tǒng)計分析中也得到了較為廣泛的應用。

那么，提到不同變量的效應大小，大家一定會聯(lián)想到在多因素回歸模型中所得到的回歸系數(shù)。例如，我們假設(shè)自變量分別為身高和體重，根據(jù)回歸系數(shù)很容易就知道每增加1cm的身高或每增加1kg的體重，引起的對因變量Y的影響大小，但是兩者相比之下，到底誰的作用大誰的作用小呢？

原始的回歸系數(shù)已經(jīng)無法回答這樣的問題，我們需要借助標準化回歸系數(shù)來進行判斷，今天我們就來向大家介紹一下，在回歸模型中這個標準化回歸系數(shù)到底是個什么鬼？

1、未標準化回歸系數(shù)

通常我們在構(gòu)建多因素回歸模型時，方程中呈現(xiàn)的是未標準化回歸系數(shù)，它是方程中不同自變量對應的原始的回歸系數(shù)。它反映了在其他因素不變的情況下，該自變量每變化一個單位對因變量的作用大小。通過未標準化回歸系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)建的方程，便可以對因變量進行預測，并得出結(jié)論。

2、標準化回歸系數(shù)

而對于標準化回歸系數(shù)，它是在對自變量和因變量同時進行標準化處理后所得到的回歸系數(shù)，數(shù)據(jù)經(jīng)過標準化處理后消除了量綱、數(shù)量級等差異的影響，使得不同變量之間具有可比性，因此可以用標準化回歸系數(shù)來比較不同自變量對因變量的作用大小。

通常我們主要關(guān)注的是標準化回歸系數(shù)的絕對值大小，絕對值越大，可認為它對因變量的影響就越大。

3、兩者的區(qū)別

未標準化回歸系數(shù)體現(xiàn)的是自變量變化對因變量的絕對作用大小，而標準化回歸系數(shù)反映的是不同自變量對因變量的相對作用大小，可以顯示出不同自變量對因變量影響的重要性。

如果用標準化回歸系數(shù)構(gòu)建方程，得到的結(jié)論是有偏差的，因為此時自變量和因變量的數(shù)據(jù)都發(fā)生了轉(zhuǎn)化，成為了標準化數(shù)據(jù)，因此標準化回歸系數(shù)不能用于構(gòu)建回歸方程。

我們在前期文章《回歸模型中引入連續(xù)變量，還有哪些玩法？》中，介紹到對于連續(xù)型變量，在納入多因素回歸模型中時，可以將其轉(zhuǎn)變?yōu)槊孔兓?個標準差的形式，具體的操作方法是對原始的自變量進行標準化處理，然后再帶入到回歸模型中，所得到的回歸系數(shù)即為該自變量每變化1個標準差對應的回歸系數(shù)。

那么，我們假設(shè)此時有兩個自變量，一個自變量的標準差為1，另一個自變量的標準差為100，兩者對因變量都具有一定的影響。如果用上述每增加1個標準差對應的回歸系數(shù)，來判斷哪個自變量對因變量的影響更大的話，當同樣變化1個標準差時，第一個自變量只需要改變1個單位，而第二個自變量則需要改變100個單位，因此標準差大的自變量改變起來就顯得比較困難。此時，我們就需要用標準化回歸系數(shù)來救場。

每增加1個標準差對應的回歸系數(shù)，反映的是自變量每變化1個標準差時對因變量原始值變化產(chǎn)生的影響。而標準化回歸系數(shù)，它反映的是自變量每變化1個標準差時，對因變量變化1個標準差產(chǎn)生的影響。

在計算每增加1個標準差對應的回歸系數(shù)時，我們只需要對原始自變量進行標準化處理；而如果要計算標準化回歸系數(shù)，則需要對原始的自變量和因變量同時進行標準化處理，標準化為標準正態(tài)分布對應的值后再構(gòu)建回歸模型。

一、研究實例

某研究人員收集了100名研究對象的最大攝氧量（VO2 max），并記錄了他們的年齡、體重、心率等信息，擬探討年齡、體重、心率對VO2 max的作用大小，同時評價上述哪一個因素對VO2 max的影響作用更大。

二、操作步驟

1、多重線性回歸

(操作步驟參考文章《SPSS實例教程：多重線性回歸，你用對了么？》)

根據(jù)多重線性回歸分析的結(jié)果，回歸方程可寫為：

VO2 max = 72.581 – 0.188 * age – 0.184 * weight – 0.059 * heart_rate

其實不難發(fā)現(xiàn)，在SPSS的回歸結(jié)果中，不僅展示了未標準化回歸系數(shù)（Unstandardized Coefficients），同時也得出了標準化回歸系數(shù)（Standardized Coefficients）。

注意，未標準化回歸系數(shù)更大的自變量，其標準化回歸系數(shù)不一定更大。例如本例中，age的未標準化回歸系數(shù)絕對值為0.188，大于weight的絕對值0.184，但是weight的標準化回歸系數(shù)絕對值為0.325，卻大于age的標準化回歸系數(shù)絕對值0.200，說明weight對于VO2 max的影響較age更大。

2、數(shù)據(jù)標準化處理

(操作步驟參考前期推送文章《你聽說過數(shù)據(jù)標準化處理嗎？》)

雖然SPSS在回歸結(jié)果中可以直接輸出標準化回歸系數(shù)，但為了加深對它的理解，我們可以親自對數(shù)據(jù)進行一遍標準化處理，對上述結(jié)果進行一下驗證。

Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives → Save standardized values as variables

通過上述步驟分別生成4個標準化處理后的新變量。

3、標準化回歸系數(shù)

在進行多重線性回歸時，以VO2 max的標準化形式作為因變量，以age、 weight、 heart_rate的標準化形式作為自變量構(gòu)建模型。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，所得的結(jié)果與上述結(jié)果一致。

今天我們介紹了未標準化回歸系數(shù)、每變化1個標準差的回歸系數(shù)、以及標準化回歸系數(shù)，最后再跟大家補充一下三者之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

每變化1個標準差的回歸系數(shù) = 未標準化回歸系數(shù) * 該自變量的標準差

標準化回歸系數(shù) = 未標準化回歸系數(shù) * 該自變量的標準差 / 因變量的標準差

大家可以根據(jù)上述轉(zhuǎn)換關(guān)系自行進行驗證哈。

哦，對了，細心的同學會發(fā)現(xiàn)，在SPSS中多重線性回歸可以直接輸出標準化回歸系數(shù)，但是在logistic回歸中，SPSS只能輸出原始的未標準化的回歸系數(shù)，如果我們想要計算logistic回歸的標準化回歸系數(shù)，比較不同自變量對因變量的相對作用大小，應該怎么辦呢？

根據(jù)上述標準化回歸系數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在logistic回歸中隨機變量分布函數(shù)的標準差為π / √3 = 1.8138^[1]，故標準化回歸系數(shù) = 未標準化回歸系數(shù) * 該自變量的標準差 / 1.8138，即可計算logistic回歸的標準化回歸系數(shù)。

參考文獻

[1] 宋娜. 多元Logistic分布及其參數(shù)估計[D]. 北京工業(yè)大學, 2007.