1、問(wèn)題與數(shù)據(jù)

最大攜氧能力(maximal aerobic capacity, VO2max)是評(píng)價(jià)人體健康的關(guān)鍵指標(biāo)，但因測(cè)量方法復(fù)雜，不易實(shí)現(xiàn)。某研究者擬通過(guò)一些方便、易得的指標(biāo)建立受試者最大攜氧能力的預(yù)測(cè)模型。

目前，該研究者已知受試者的年齡和性別與最大攜氧能力有關(guān)，但這種關(guān)聯(lián)強(qiáng)度并不足以進(jìn)行回歸模型的預(yù)測(cè)。因此，該研究者擬逐個(gè)增加體重(第3個(gè)變量)和心率(第4個(gè)變量)兩個(gè)變量，并判斷是否可以增強(qiáng)模型的預(yù)測(cè)能力。

本研究中，研究者共招募100位受試者，分別測(cè)量他們的最大攜氧能力(VO2max)，并收集年齡(age)、性別(gender)、體重(weight)和心率(heart_rate)變量信息，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

注：心率（heart_rate）測(cè)量的是受試者進(jìn)行20分鐘低強(qiáng)度步行后的心率。

2、對(duì)問(wèn)題的分析

研究者擬判斷逐個(gè)增加自變量(weight和heart_rate)后對(duì)因變量(VO2max)預(yù)測(cè)模型的改變。針對(duì)這種情況，我們可以使用分層回歸分析(hierarchical multiple regression)，但需要先滿足以下8項(xiàng)假設(shè)：

假設(shè)1：因變量是連續(xù)變量

假設(shè)2：自變量不少于2個(gè)（連續(xù)變量或分類變量都可以）

假設(shè)3：具有相互獨(dú)立的觀測(cè)值

假設(shè)4：自變量和因變量之間存在線性關(guān)系

假設(shè)5：等方差性

假設(shè)6：不存在多重共線性

假設(shè)7：不存在顯著的異常值

假設(shè)8：殘差近似正態(tài)分布

那么，進(jìn)行分層回歸分析時(shí)，如何考慮和處理這8項(xiàng)假設(shè)呢？

3、對(duì)假設(shè)的判斷

3.1 假設(shè)1-2

假設(shè)1和假設(shè)2分別要求因變量是連續(xù)變量、自變量不少于2個(gè)。這與研究設(shè)計(jì)有關(guān)，需根據(jù)實(shí)際情況判斷。

3.2 假設(shè)3-8

為了檢驗(yàn)假設(shè)3-8，我們需要在SPSS中運(yùn)行分層回歸，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行一一分析。

(1)點(diǎn)擊Analyze→Regression→Linear

出現(xiàn)下圖：

(2)將因變量（VO2max）放入Dependent欄，再將自變量（age和gender）放入Independent欄：

解釋：因研究者已知性別、年齡與最大攜氧能力的關(guān)系，我們先把這兩個(gè)變量放入模型。

(3)點(diǎn)擊Next，彈出下圖：

解釋：大家可能會(huì)注意到Independent(s)框中的標(biāo)簽由-Block 1 of 1- 變?yōu)?Block 2 of 2-。這說(shuō)明age和gender變量依舊存在于模型中，在- Block 2 of 2-中，大家可以點(diǎn)擊Previous查看。同時(shí)，Method欄應(yīng)設(shè)置為“Enter”，一般是SPSS自動(dòng)設(shè)置的；如果不是，也應(yīng)人工設(shè)置為“Enter”。

(4) 將自變量(weight)放入Independent欄

解釋：放入weight變量是為了檢驗(yàn)加入該變量后對(duì)age、gender-VO2max預(yù)測(cè)模型的影響。

(5)點(diǎn)擊Next，彈出下圖：

解釋：大家可能會(huì)注意到Independent(s)框中的標(biāo)簽由-Block 2 of 2- 變?yōu)?Block 3 of 3-。同樣地，age、gender和weight變量依舊存在于模型中，可以點(diǎn)擊Previous查看。Method欄也應(yīng)設(shè)置為“Enter”，如果不是，改為“Enter”。

(6)將自變量(heart_rate)放入Independent欄

解釋：放入heart_rate變量是為了檢驗(yàn)加入該變量后對(duì)age、gender、weight-VO2max預(yù)測(cè)模型的影響。

(7)點(diǎn)擊Statistics，彈出下圖：

(8)在Regression Coefficient框內(nèi)點(diǎn)選Confidence intervals，在Residuals框內(nèi)點(diǎn)選Durbin-Watson和Casewise diagnosis，并在主對(duì)話框內(nèi)點(diǎn)選R squared change、Descriptives、Part and partial correlations和Collinearity diagnosis

(9) 點(diǎn)擊Continue，回到主界面。

(10)點(diǎn)擊Plots，彈出下圖：

(11)在Standardized Residual Plots對(duì)話框中點(diǎn)選Histogram和Normal probability,并點(diǎn)選Produce all partial plots

(12)點(diǎn)擊Continue回到主對(duì)話框

(13) 點(diǎn)擊Save

(14)在Predicted Values框內(nèi)點(diǎn)選Unstandardized，在Distances框內(nèi)點(diǎn)選Cook’s和Leverage values，在Residuals框內(nèi)點(diǎn)選Studentized和Studentized deleted

(15)點(diǎn)擊Continue→OK

經(jīng)過(guò)這些操作，Variable View 和Data View對(duì)話框中會(huì)增加5個(gè)變量：

這5個(gè)變量分別是未標(biāo)化預(yù)測(cè)值(unstandardized predicted values，PRE_1)，學(xué)生化殘差(studentized residuals，SRE_1)，學(xué)生化刪除殘差(studentized deleted residuals，SDR_1)，Cook距離(Cook's Distance values，COO_1)以及杠桿值(leverage values，LEV_1)。

根據(jù)這5個(gè)新增變量和其他結(jié)果，我們將逐一對(duì)假設(shè)3-8進(jìn)行檢驗(yàn)。

注意：分層回歸對(duì)假設(shè)3-8的檢驗(yàn)過(guò)程與多重線性回歸基本一致，為避免重復(fù)講解，我們?cè)诒菊鹿?jié)只介紹基本原理，詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參見(jiàn)多重線性回歸分析。

3.2.1  假設(shè)3：具有相互獨(dú)立的觀測(cè)值

觀測(cè)值之間相互獨(dú)立是分層回歸的基本假設(shè)之一，主要檢驗(yàn)的是1st-orderautocorrelation，即鄰近的觀測(cè)值（主要是殘差）之間沒(méi)有相關(guān)性。我們根據(jù)SPSS中的Durbin-Watson檢驗(yàn)判斷該假設(shè)，如果不滿足，則需要運(yùn)用其他模型，如時(shí)間序列模型等。

3.2.2 假設(shè)4：自變量和因變量之間存在線性關(guān)系

分層回歸不僅要求因變量與所有自變量存在線性關(guān)系，還要求因變量與每一個(gè)自變量之間存在線性關(guān)系。其中，我們主要通過(guò)繪制未標(biāo)化預(yù)測(cè)值(PRE_1)和學(xué)生化殘差(SRE_1)的散點(diǎn)圖檢驗(yàn)因變量與所有自變量之間的線性關(guān)系。

而為檢驗(yàn)因變量與每一個(gè)自變量之間是否存在線性關(guān)系，我們則需要分別繪制每個(gè)自變量與因變量的散點(diǎn)圖。如果假設(shè)4不滿足，我們可以嘗試進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或者其他統(tǒng)計(jì)方法。

3.2.3 假設(shè)5：等方差性

等方差性也可以通過(guò)學(xué)生化殘差(SRE_1)與未標(biāo)化預(yù)測(cè)值(PRE_1)之間的散點(diǎn)圖進(jìn)行檢驗(yàn)。如果研究結(jié)果提示不滿足等方差性假設(shè)，我們也可以通過(guò)一些統(tǒng)計(jì)手段進(jìn)行矯正，如對(duì)自變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換或采用加權(quán)最小二乘法回歸方程等。

3.2.4 假設(shè)6：不存在多重共線性

當(dāng)回歸中存在2個(gè)或多個(gè)自變量高度相關(guān)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)多重共線。它不僅可影響自變量對(duì)因變量變異的解釋能力，還影響整個(gè)分層回歸模型的擬合。

為了檢驗(yàn)假設(shè)6，我們主要關(guān)注相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficients)和容忍度/方差膨脹因子(Tolerance/VIF)兩類指標(biāo)。一般來(lái)說(shuō)，如果自變量之間的相關(guān)系數(shù)大于0.7，或者容忍度小于0.1，方差膨脹因子大于10，我們就會(huì)懷疑模型存在多重共線性。

3.2.5 假設(shè)7：不存在顯著的異常值

根據(jù)作用方式的不同，分層回歸的異常值主要分為離群值(outliers)、強(qiáng)杠桿點(diǎn)(leverage points)和強(qiáng)影響點(diǎn)(influential points)3類。異常的觀測(cè)值可以符合其中一類或幾類。但無(wú)論是哪一類都對(duì)分層回歸的預(yù)測(cè)能力有著嚴(yán)重的負(fù)面影響。好在我們可以通過(guò)SPSS檢測(cè)這些異常值。

其中，(1) 離群值是指實(shí)際值與預(yù)測(cè)值相差較大的數(shù)據(jù)，可以用Casewise Diagnostics檢驗(yàn)和學(xué)生化刪除殘差(SDR_1)兩種方法進(jìn)行檢驗(yàn)。(2) 我們通過(guò)數(shù)據(jù)的杠桿值(LEV_1)檢測(cè)強(qiáng)杠桿點(diǎn)。(3) 而強(qiáng)影響點(diǎn)主要通過(guò)Cook距離(COO_1)進(jìn)行檢測(cè)。如果存在這些異常值，我們可以根據(jù)實(shí)際情況判斷是否需要剔除或調(diào)整。

3.2.6 假設(shè)8：殘差近似正態(tài)分布

在分層回歸中，我們可以使用兩種方法判斷回歸殘差是否近似正態(tài)分布：(1) 帶正態(tài)曲線的柱狀圖或P-P圖；(2) 根據(jù)學(xué)生化殘差繪制的正態(tài)Q-Q圖。詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)多重線性回歸分析。

4、結(jié)果解釋

分層回歸可以得到3個(gè)主要結(jié)果：

新增自變量解釋因變量變異的比例

根據(jù)自變量預(yù)測(cè)因變量

自變量改變一個(gè)單位，因變量的變化情況

為了更好地解釋和報(bào)告分層回歸的結(jié)果，我們需要統(tǒng)計(jì)以下3個(gè)方面：

各模型的比較

模型的擬合程度

回歸系數(shù)

4.1 各模型的比較

比較不同模型是進(jìn)行分層回歸的主要目的。SPSS輸出變量納入結(jié)果，如下：

從Model欄可以看出，本研究共有3個(gè)模型：Model 1、Model 2和Model 3。Variables Entered欄顯示該研究中每個(gè)模型較前一個(gè)模型增加的變量。

Model 1是第一個(gè)模型，沒(méi)有前序變量，因此該模型的自變量只有g(shù)ender和age。Model 2比前一個(gè)模型(Model 1)增加了weight變量；Model 3比Model 2增加了heart_rate變量。這3個(gè)模型的納入變量與之前的SPSS操作一致，如下：

必須注意的是，Model 2和Model 3中納入的變量都是在上一個(gè)模型基礎(chǔ)上的。比如，Model 3是在Model 2的基礎(chǔ)上納入heart_rate變量，即共納入age、gender、weight和heart_rate四個(gè)變量，而不是heart_rate一個(gè)變量，具體解釋如下：

4.2 判斷分層回歸模型的擬合程度

判斷分層回歸模型擬合程度的指標(biāo)有很多，我們主要向大家介紹變異的解釋程度、R2值在各模型間的變化和模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義3個(gè)指標(biāo)。

4.2.1變異的解釋程度

分層回歸中的每個(gè)模型都相當(dāng)于一個(gè)強(qiáng)制納入變量（Enter method）的多重線性回歸模型，具體評(píng)價(jià)指標(biāo)也相似：

Measures of model ‘fit’ for the three models: 分別評(píng)價(jià)本研究中3個(gè)模型的擬合程度

R2是多層回歸的重要指標(biāo)，反映自變量解釋因變量變異的程度。從上表可以看出，隨著自變量數(shù)量的增加，模型1-3的R2逐漸增加，分別是0.188、0.427和0.710，提示各模型對(duì)因變量的預(yù)測(cè)能力逐漸加強(qiáng)。

但是分層模型主要是檢驗(yàn)增加自變量是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，如模型2增加了weight變量后R2的變化是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義呢？我們將在4.2.2節(jié)為詳細(xì)大家介紹。

4.2.2R2值在各模型間的變化

為了判斷新增變量對(duì)回歸的影響，我們需要關(guān)注下表的右半部分：

Assessing model change：對(duì)比模型變化

R Square Change欄顯示的是該模型與上一個(gè)模型R2的差值，Sig. F Change欄顯示的是該差值的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的P值。以Model 1為例，如下：

Initial Model（Model 1）：模型1

模型1是初始模型，在空模型的基礎(chǔ)上增加了age和gender兩個(gè)變量。該模型的R2差值（R Square Change欄）和R2值（R Square欄）相同，均為0.188。R2差值具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P<0.001（Sig. F Change欄）。

模型2在模型1的基礎(chǔ)上增加了weight變量，R2值的變化情況如下：

Change between Model 1 and Model 2: 對(duì)比模型1和模型2

模型2的R2差值為0.239，即模型2的R2值(0.427)與模型1的R2值(0.188)的差。Sig. F Change欄提示，P<0.001，即模型2的R2差值具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

在本研究中，模型2與模型1的差別僅在于weight變量，提示在回歸中納入weight變量后自變量對(duì)因變量變異的解釋能力增加23.9%（P<0.001），即納入體重變量對(duì)受試者最大攜氧能力的預(yù)測(cè)改善有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

解釋：如果我們?cè)谀Ｐ?中增加了不止一個(gè)變量，那么R2值的改變就是所有新增變量共同作用的結(jié)果，而不是某一個(gè)變量的。

模型3在模型2的基礎(chǔ)上增加了heart_rate變量，R2值的變化情況如下：

Change between Model 2 and Model 3：對(duì)比模型2和模型3

模型3的R2差值為0.283，即模型3的R2值（0.710）與模型2的R2值（0.427）的差。Sig. F Change欄提示，P<0.001，即模型3的R2差值具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。提示在回歸中納入heart_rate變量后自變量對(duì)因變量變異的解釋能力增加28.3%（P<0.001），即納入心率變量對(duì)受試者最大攜氧能力的預(yù)測(cè)改善有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

4.2.3 模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義

分層回歸的每一個(gè)模型都相當(dāng)于一個(gè)多重線性回歸模型。SPSS輸出ANOVA表格中包括對(duì)每一個(gè)模型的評(píng)價(jià)，如下：

一般來(lái)說(shuō)，我們習(xí)慣性只匯報(bào)最終模型的結(jié)果（本研究的模型3），如下：

模型3是全模型，納入gender、age、weight和heart_rate四個(gè)變量。結(jié)果示，該模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，F(xiàn)(4,95)=58.078，P<0.001，提示因變量和自變量之間存在線性相關(guān)，說(shuō)明相較于空模型，納入這四個(gè)自變量有助于預(yù)測(cè)因變量。

注釋：如果SPSS輸出的結(jié)果中“Sig”值為“.000”，代表的是P<0.001，而不是P=0.000。同時(shí)，如果P>0.05，我們最好在報(bào)告中寫清楚具體數(shù)值，如P=0.092，從而為讀者提供更多的信息。

4.3回歸系數(shù)

正如前文所述，分層回歸模型主要關(guān)注的是最終模型，即本研究中的模型3，在對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行解釋時(shí)也是如此。

Full model （Model 3）：模型3

我們可以按照多重線性回歸的分析方法對(duì)分層回歸系數(shù)進(jìn)行解釋。連續(xù)變量(如age變量)的回歸系數(shù)表示自變量每改變一個(gè)單位，因變量的變化情況。分類變量(如gender變量)的回歸系數(shù)表示不同類別之間的差異，詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)多重線性回歸。

值得注意的是，我們運(yùn)行分層回歸的主要目的是分析是否有必要增加新的自變量，而不是進(jìn)行預(yù)測(cè)，回歸系數(shù)不是我們主要關(guān)注的結(jié)果。但是如果在匯報(bào)時(shí)需要提供回歸系數(shù)，我們也可以把這部分增加在報(bào)告中。

5、撰寫結(jié)論

5.1 簡(jiǎn)潔匯報(bào)

本研究采用分層回歸，分析逐步增加體重和心率變量是否可以提高性別、年齡對(duì)最大攜氧能力的預(yù)測(cè)水平。最終模型(模型3)納入性別、年齡、體重和心率4個(gè)變量，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義R2=0.710，F(xiàn)(4, 95) = 58.078 (P<0.001)，調(diào)整R2=0.698。

僅增加體重變量(模型2)后，R2值增加0.239，F(xiàn)(1, 96) = 40.059(P<0.001)，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。增加心率變量(模型3)后，R2值增加0.283，F(xiàn)(1, 96) = 92.466(P<0.001)，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，具體結(jié)果見(jiàn)表1。

表1. 分層回歸結(jié)果

5.2具體匯報(bào)

本研究采用分層回歸，分析逐步增加體重和心率變量是否可以提高性別、年齡對(duì)最大攜氧能力的預(yù)測(cè)水平。通過(guò)繪制部分回歸散點(diǎn)圖和學(xué)生化殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖，判斷自變量和因變量之間存在線性關(guān)系。

已驗(yàn)證研究觀測(cè)值之間相互獨(dú)立（Durbin-Watson檢驗(yàn)值為1.910）；并通過(guò)繪制學(xué)生化殘差與未標(biāo)化的預(yù)測(cè)值之間的散點(diǎn)圖，證實(shí)數(shù)據(jù)具有等方差性。

回歸容忍度均大于0.1，不存在多重共線性。異常值檢驗(yàn)中，不存在學(xué)生化刪除殘差大于3倍標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值，數(shù)據(jù)杠桿值均小于0.2，也沒(méi)有Cook距離大于1的數(shù)值。Q-Q圖提示，研究數(shù)據(jù)滿足正態(tài)假設(shè)。

最終模型（模型3）納入性別、年齡、體重和心率4個(gè)變量，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義R2=0.710，F(xiàn)(4, 95) = 58.078 (P<0.001)，調(diào)整R2 = 0.698。僅增加體重變量(模型2)后，R2值增加0.239，F(xiàn)(1, 96) = 40.059 (P<0.001)，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。增加心率變量(模型3)后，R2值增加0.283，F(xiàn)(1, 96) = 92.466 (P<0.001)，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，具體結(jié)果見(jiàn)表1。

表1.分層回歸結(jié)果

解釋：我們?yōu)榱吮M可能地向大家展示分層回歸結(jié)果，在表1里納入了所有可能需要匯報(bào)的指標(biāo)。但在實(shí)際工作中，大家可能并不需要匯報(bào)這么多，應(yīng)視情況而定。