高中函數(shù)探究式教學(xué)的研究

甘肅白銀市第九中學(xué)(730913)

宋建黨

[摘 要]探究式教學(xué)是一種全新的教學(xué)模式.在高中函數(shù)教學(xué)中，從由難到易及反方向解題兩個角度實施探究式教學(xué)，可收到事半功倍的教學(xué)效果.

[關(guān)鍵詞]探究式教學(xué)；高中函數(shù)；研究

在探究式教學(xué)模式的作用下，能夠全面培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣.為此，本章將高中函數(shù)作為研究對象，闡述探究式教學(xué)模式的具體應(yīng)用，以供參考.

一、由難到易的探究式教學(xué)

在函數(shù)教學(xué)過程中，最大的難點就是非初等函數(shù)，具體包括初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)，或者是由若干初等函數(shù)運算組合形成的復(fù)合函數(shù).對非初等函數(shù)性質(zhì)討論就是函數(shù)教學(xué)的重點.在此過程中就可以運用探究式教學(xué)模式，確保目標(biāo)能夠轉(zhuǎn)向更簡單的解題方向.以復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間與周期等問題為例，探究的主要方向為由復(fù)合函數(shù)向初等三角函數(shù)方向轉(zhuǎn)化.

【例題1】 假設(shè)函數(shù)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)，其最小正周期是，(1)試求出ω的最小正周期；(2)如果函數(shù)y=g(x)圖像是通過y=f(x)向右平移了個單位長度所得到的，那么請求出y=g(x)單調(diào)增區(qū)間.

分析：通過對函數(shù)解析式特點的研究與分析，讓學(xué)生思考是否可以直接求解，如果不能夠直接解答，應(yīng)該怎樣做.

解：(1)由題目給出條件，即f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx，可以將其進行化簡，得出以下式子：f(x)=sin(2ωx+)+2.根據(jù)題意可以得出=，

因而可以求出ω的最小正周期為.

(2)根據(jù)題目給出條件，可以得出g(x)=sin(3x-)+2.與此同時，2kπ≤3x-≤2kπ+(k∈Z)，最終可以獲得以下計算結(jié)果，即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).由此可見，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間就是[kπ+,kπ+](k∈Z).

例題1中的三角函數(shù)屬于復(fù)合型三角函數(shù)，是兩種三角函數(shù)組合而成.同時，復(fù)合函數(shù)的最高次冪為二次，因而在對其值域以及周期等相關(guān)問題進行討論的過程中，需要合理地選擇方法，實現(xiàn)降冪的目的，并轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)這種一般函數(shù)形式，而后可以對函數(shù)的最值、周期以及對稱性等進行深入研究，最終獲得相應(yīng)的結(jié)論.

二、反方向解題的探究式教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，大多數(shù)題目如果直接解題，難度極大，對此可采用間接方式從反方向思考并解題，也就是數(shù)學(xué)解題過程中的“正難則反”思想.因而，教師向?qū)W生傳授相應(yīng)的解題方法十分重要.

【例題2】 已知函數(shù)為f(x)=+，(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并對其奇偶性進行準(zhǔn)確判斷；(2)假設(shè)函數(shù)F(x)=m+f(x)，如果將f(x)記為t，求出函數(shù)F(x)的最大值表達式，即g(m)；(3)根據(jù)問題(2)的條件，試求出能夠滿足g(-m)>()m中的m取值.

解析：(1)最重要的是要確保函數(shù)f(x)具有一定的現(xiàn)實意義，所以，必須要滿足以下條件，即求解得出-1≤x≤1.因而，函數(shù)f(x)的定義域可以表達成{x|-1≤x≤1}.由于函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱，同時，f(x)=f(-x)，因此，函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

(2)假設(shè)f(x)由t表示，那么可以轉(zhuǎn)換為=t2-1.而[f(x)]2=2+2且0≤≤1，由此可得，2≤[f(x)]2≤4.另外，由于f(x)≥0，可以得出≤f(x)≤2，最終得出函數(shù)f(x)值域為[,2]，結(jié)論為t∈[,2].經(jīng)過上述探究，可以總結(jié)出函數(shù)F(x)的表達式，即為F(x)=m(t2-1)+t=mt2+t-m,t∈[,2].在這種情況下，假設(shè)h(t)=mt2+t-m，由于拋物線y=h(t)，其對稱軸可以是t=-.以下分多種情況進行探究：

第一種情況，即m>0，得出g(m)表達式為g(m)=m+2；第二種情況，即m=0，得出g(m)表達式為g(m)=2；第三種情況，即m<>g(m)表達式為g(m)=.如果<>≤2，得出g(m)表達式為g(m)=-m-.如果->2，那么g(m)=m+2.

最終，總結(jié)g(m)表達式為：

(3)通過(2)可得，

第一，在m的情況下，函數(shù)g(-m)=-m+2是單調(diào)遞減的，而函數(shù)y=()m是單調(diào)遞增，因此，g(-m)>()m是恒成立的.

第二，在≤m的情況下，g(-m)=m+.根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可以了解到，函數(shù)g(-m)在m∈[,]范圍內(nèi)是單調(diào)遞減的.而函數(shù)y=()m是單調(diào)遞增的，由此可見，g(-m)>()m是恒不成立的.

第三，在m≥的情況下，g(-m)≤()m，因此，g(-m)>()m是恒不成立的.

綜上所述，要想保證g(-m)>()m恒成立，那么實數(shù)m的取值范圍應(yīng)當(dāng)是(-∞,).

以上是對高中函數(shù)教學(xué)中探究式教學(xué)模式應(yīng)用方式的研究與闡述，從兩個角度探討了其在函數(shù)解題教學(xué)過程中的應(yīng)用，即由難到易、從反方向?qū)忸}思路的探究，希望能夠為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的順利開展提供有價值的理論依據(jù).基于此，通過探究式教學(xué)模式的應(yīng)用，使學(xué)生在新教學(xué)模式下，運用合理的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量與效率，有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

(特約編輯 安 平)

[中圖分類號] G633.6

[文獻標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058(2017)26-0010-02