《上集》中主要介紹了一道“模型”題，分別介紹了六種解法，本文將看看這些模型在中考實(shí)戰(zhàn)中的重要作用！

另外值得一提的是，《上集》中雖然每個模型不管怎么構(gòu)造“雙等邊三角形”都行，但本人還是傾向于在原有的等邊三角形的形外作另一個等邊三角形，原有主要是考慮到盡可能不要圖形中交叉線條過多，容易看的眼花繚亂！大家可以去《上集》中再溫習(xí)溫習(xí)！

題2：（來源：高郵市贊化學(xué)校《中考指要》第18課自我評估）

已知等邊三角形ABC.

（1）如圖3-1，P為等邊三角形ABC外的一點(diǎn)，且∠BPC=120°，試猜想線段PB、PC、PA之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）如圖3-2，P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠APD=120°，求證：PA+PD+PC>BD.

簡析：對于第（1）小問，本人作品《旋轉(zhuǎn)那些事》中正是以這個模型開題的，有興趣的同學(xué)可以自行參閱；

正如題1中所提的“今日說法”那樣，在等邊△ABC的任意一個頂點(diǎn)處并依托于此頂點(diǎn)出發(fā)的第三條線段任意做一個等邊三角形，本質(zhì)就是繞著原有等邊△ABC的任意一個頂點(diǎn)將此頂點(diǎn)出發(fā)的第三條線段順轉(zhuǎn)或逆轉(zhuǎn)60度，從而構(gòu)成“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”，借助“旋轉(zhuǎn)相似（全等）一拖二”，可順利解出此模型；

共計(jì)6種方案，下面提供其一：如圖3-1-1及3-1-2所示，可得結(jié)論P(yáng)B+PC=PA；

對于第（2）小問，這里給出解決此問的兩種方案：

方案一：

第一步：如圖3-2-1，在點(diǎn)A處，依托于AD向外構(gòu)造“雙等邊三角形模型”；

第二步：如圖3-2-2，由“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”知△ABD≌△ACE，從而將目標(biāo)線段BD轉(zhuǎn)化為CE；

第三步：如圖3-2-3，由條件∠APD=120°識別到第（1）小問中的“等邊三角形ADE對120度模型”，從而直接有PA+PD=PE，將目標(biāo)中的兩條線段轉(zhuǎn)化為一條線段；

第四步：如圖3-2-4，在△CPE中，由三角形的三邊關(guān)系立知：PE+PC>CE，即有結(jié)論：PA+PD+PC>BD.

解題后反思：本題圖3-2中，已有一個等邊三角形ABC，另外A點(diǎn)出發(fā)還有兩條線段AP與AD，B點(diǎn)出發(fā)還有一條線段BD，C點(diǎn)出發(fā)也有另外的兩條線段CP與CD，這共計(jì)五條線段可以說都是我們構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”的“嫌疑犯”！但綜合考慮到另一個條件∠APD=120°，本題最終選擇了“嫌疑犯”AD，向其右上方構(gòu)造另一個等邊三角形ADE，好處有：一方面構(gòu)造了“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，將目標(biāo)線段BD順利轉(zhuǎn)化為CE；另一方面還同時構(gòu)造了圖3-1中的“等邊三角形對120度模型”，即四邊形AEDP，直接化歸為前面的結(jié)論，從而順利將目標(biāo)線段PA與PD的和直接轉(zhuǎn)化為PE！這樣就將所有的目標(biāo)線段集中在了△CPE中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的“集中轉(zhuǎn)化原則”，順利搞定此題！

本題按出題者的本意，估計(jì)應(yīng)該就是上面這個解法，因?yàn)樗芎芎玫伢w現(xiàn)出題目設(shè)問方式的“步步為營、環(huán)環(huán)相扣”，即遞進(jìn)式地設(shè)問方式，解題時經(jīng)常要采取“回頭看”策略！但遺憾的是，此題稍有漏洞，下面有一個更簡單的方式直接得解！

方案二：如圖3-3-1，連接BP，因?yàn)辄c(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，在△CPA中易知PA+PC>AC；且易知AC=BA>BP，這是源于幾何的直觀；從而如圖3-3-2所示，在△BPD中易知BP+PD>BD；因而有PA+PD+PC=（PA+PC）+PD>AC+PD>BP+PD>BD成立，得解.

上述兩種方案，都是處理此道題目的“良策”，尤其是方案一種設(shè)計(jì)的題目中每個問題之間的聯(lián)系等值的學(xué)生認(rèn)真琢磨、研究！兩個問題都可以通過構(gòu)造“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”解決！

 題3：（來源：高郵市贊化學(xué)?！度纷鳂I(yè) 聽課手冊》，2016年河南中考倒二題）

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖4-1，點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=a，AB=b．

    填空：當(dāng)點(diǎn)A位于　     　時，線段AC的長取得最大值，且最大值為　   　（用含a，b的式子表示）；

    （2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖4-2所示，分別以AB、AC為邊作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD、BE．

 ①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；    

②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖4-3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

簡析：（1）此題利用“三角形的三邊關(guān)系”或者“軌跡思想”可以得解；

筆者更偏愛“軌跡意識”，如圖4-1-1，將BC想象成定線段，點(diǎn)A想象成動點(diǎn)，則動點(diǎn)A被“綁在”了以B為圓心，b為半徑的⊙B上，從而CA的最值問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的定點(diǎn)到圓上的最值問題：當(dāng)點(diǎn)A跑到了CB的延長線上時，CA取最大值a+b.順帶可解決最小值問題，當(dāng)點(diǎn)A跑到了線段BC上時，CA取最小值a-b（假設(shè)a>b）.

另外需要說明的是，其實(shí)“軌跡思想”，即點(diǎn)到圓上的最值問題其本質(zhì)解釋還是“三角形的三邊關(guān)系”或者說是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，這一點(diǎn)邏輯性需要學(xué)生稍加體會（也不必過于糾結(jié)）！

（2）如圖4-2-1，這是一個典型的“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△ABE≌△ADC，如圖4-2-2所示，從而目標(biāo)線段BE等于DC；

要求BE的最大值，只需求DC的最大值，最后鎖定到△BCD，如圖4-2-3所示，利用（1）中的結(jié)論可直接得到：當(dāng)點(diǎn)D跑到了CB的延長線上時，DC取最大值4，即所求BE的最大值為4，得解；

下面重點(diǎn)解決第（3）小問，這里提供兩種方案：

方案一（本質(zhì)解釋：繞直角頂點(diǎn)P順轉(zhuǎn)90度）：

第一步（構(gòu)造“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”）：如圖4-3-1，題中已有一個等腰Rt△MPB，直角頂點(diǎn)P處還有一條線段PA，依托直角頂點(diǎn)P及線段PA，向右下方構(gòu)造另一個等腰Rt△APQ，組成所謂“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”；

第二步（利用“旋轉(zhuǎn)相似或全等一拖二”）：如圖4-3-2，由“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△MPA≌△BPQ，從而將目標(biāo)線段AM轉(zhuǎn)化為QB；

第三步（利用前面的結(jié)論直接解決問題）：如圖4-3-3，要求QB的最大值，將目標(biāo)聚焦在已知兩邊長的△ABQ中，利用第（1）問的結(jié)論直接知BQ的最大值為3+2，如圖4-3-4所示，再次用“軌跡圓”加以解釋，反復(fù)提及，目的就是讓同學(xué)們加深印象；

至于此時點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要依托于圖4-3-4中確定的的AQ1為斜邊向上方作等腰直角三角形AQ1P，則P點(diǎn)即為所求，不再贅述！

方案二（本質(zhì)解釋：繞直角頂點(diǎn)P逆轉(zhuǎn)90度）：

第一步（構(gòu)造“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”）：如圖4-3-5，題中已有一個等腰Rt△MPB，直角頂點(diǎn)P處還有一條線段PA，依托直角頂點(diǎn)P及線段PA，向左上方構(gòu)造另一個等腰Rt△APQ，組成所謂“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”；

第二步（利用“旋轉(zhuǎn)相似或全等一拖二”）：如圖4-3-6，由“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△MPQ≌△BPA，則QM=AB=3，從而將已知線段AB轉(zhuǎn)化為QM；

第三步（利用前面的結(jié)論直接解決問題）：如圖4-3-7，要求AM的最大值，將目標(biāo)聚焦在已知兩邊長的△AQM中，利用第（1）問的結(jié)論直接知AM的最大值為3+2，至于此時點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理畫圖解決，不再贅述！

解題后反思：本題構(gòu)造的“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，與前文中的“共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型”相得益彰，本質(zhì)原理一模一樣，都是“旋轉(zhuǎn)那些事”，這兩個特殊的“旋轉(zhuǎn)模型”都是我們經(jīng)常遇到的，希望同學(xué)們能夠熟練運(yùn)用，尤其是在已知一個等邊三角形或者一個等腰直角三角形的前提下去構(gòu)造另一個三角形，再去嘗試分析解決！但需要特別提醒的是，凡事都無絕對，我們這里說的也僅僅是嘗試去解決，或者至少是一種常見的分析問題的手法！

另外，在“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”中特別強(qiáng)調(diào)下“共直角頂點(diǎn)”，這種情形一般較為簡單，容易理解！下面一道例題中會有一個“共45度銳角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，其中有一個解決方案就是想辦法轉(zhuǎn)化為“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，極其有趣！

題4：（題目來源：高郵市贊化學(xué)校九年級中考指要，2013年湖南常德壓軸題）

已知兩個共頂點(diǎn)的等腰三角形Rt△ABC和Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB，ME.

⑴如圖5-1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證MB∥CF；

⑵在圖5-1中，若AB=a，CE=2a，求BM，ME的長；

⑶如圖5-2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：BM=ME.

還記得這道題嗎？本人作品《廣猛說題系列之解題技巧篇（中點(diǎn)那些事）》中對其有詳細(xì)解答與反思，忘記了就再溫故下額！下面主要針對最一般的情形再作一次解讀：

題4改編：已知兩個共頂點(diǎn)的等腰三角形Rt△ABC和Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB，ME.當(dāng)∠BCE為任意銳角時，如圖5-3所示，求證：BM=ME且BM⊥ME.

簡析：本題中含有一個“共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形”結(jié)構(gòu)，稍遺憾的是，這里是“共45度銳角頂點(diǎn)”啦！跟我們前面熟知的結(jié)構(gòu)稍有些差異；

那能不能轉(zhuǎn)化為“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”呢？然后利用所謂“手拉手”式地“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”嘗試解決呢？試試看唄；

 第一步：如圖5-3-1，將“共45度銳角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”補(bǔ)成“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”；

第二步：如圖5-3-2，利用“旋轉(zhuǎn)相似（或全等）一拖二”，“手拉手”知△ACG≌△DCF，從而易得FD=AG且FD⊥AG這一常見的結(jié)論（其中垂直證明，只需延長后結(jié)合“8字型”結(jié)構(gòu)即得，不再贅述）；

第三步：如圖5-3-3及圖5-3-4所示，再結(jié)合已知中M為AF的中點(diǎn)，識別到兩組“中位線結(jié)構(gòu)”，利用兩次中位線定理，可以將兩條目標(biāo)線段MB及ME順利轉(zhuǎn)化到了FD與AG上來，從而得到BM=ME且BM⊥ME這一深刻的結(jié)論，數(shù)學(xué)多么神奇啊！

解題后反思：上面解法中將“共45度銳角頂點(diǎn)”結(jié)構(gòu)，通過“倍長”的方式，轉(zhuǎn)化為“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，過程有趣，流程清晰，同學(xué)們用心體會吧！

下面再提供另一種證法，最后其實(shí)還相當(dāng)于構(gòu)造出了“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”：

第一步：采取中點(diǎn)的常見處理策略“倍長中線”，如圖5-3-5所示，構(gòu)造出△ABM≌△FNM，從而易得AB=BC=FN，BM=NM且AB∥FN；

第二步：如圖5-3-6所示，利用“SAS”可證明△CBE≌△FNE；

至于第二步中這組全等三角形的證明，很明顯已經(jīng)有兩組邊對應(yīng)相等，但還有一組條件還需想一想，即這兩組對邊的夾角相等，可以利用AB∥FN得到：

如圖5-3-7所示，延長AB、FE交于一點(diǎn)，則易知∠1=∠EFN，又結(jié)合“同角的余角相等”易知∠1=∠2，所以有∠2=∠EFN，從而全等得解，這樣就很容易推出要求的結(jié)論了，不再贅述！

值得說明的是，我這里的圖5-3-7中的∠BCE畫的有些巧了，AB與FE延長線好像正好交于點(diǎn)E了，純屬巧合，即便不巧，同理可證，下面我會再舉一個“正方形變式”，同學(xué)們再去體悟！

解題后反思：此法再證明出△CBE≌△FNE后容易證出△BEN也是一個等腰直角三角形，這樣再次構(gòu)造出了“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，如圖5-3-8所示；

但值得一提的是，這里的“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”并不是我們“有意識”或者說直接去證明的，而是在“倍長中線”的基礎(chǔ)上經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖C明，在最后才證出了這個結(jié)構(gòu)；若是，先構(gòu)造這個結(jié)構(gòu)，那中點(diǎn)M就不好處理了，“二者不可兼得”，同學(xué)們需認(rèn)真體悟！

下面再來一個變式，加深此法的應(yīng)用：

題4改編變式：已知兩個共頂點(diǎn)的正方形ABCD和正方形CGEF，連接AE，M是AE的中點(diǎn)，連接MD、MF.當(dāng)∠DCF為任意角時，如圖6所示，求證：MD=MF且MD⊥MF.

這里出現(xiàn)了一個“共頂點(diǎn)的雙正方形”結(jié)構(gòu)，我們知道正方形與等腰直角三角形存在著密不可分的結(jié)構(gòu)，一步操作，即可變出我們熟悉的“味道”，連接AC、EC，如圖6-1所示，為突出結(jié)構(gòu)，這里隱去了無關(guān)的點(diǎn)B、點(diǎn)G（其實(shí)也可以反過來隱去點(diǎn)D、點(diǎn)F，同學(xué)們可以一試，并類比下）；

這樣變式就完全變成了上面改編的原題，數(shù)學(xué)就是如此神奇，像變魔術(shù)一樣，這就是數(shù)學(xué)中無處不存在的“轉(zhuǎn)化與化歸思想”！

解決這個模型，前文提供了兩種方法，第一種方法交代很清晰，即把“共45度銳角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”轉(zhuǎn)化為“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”，不再贅述；

而另一種“倍長中線”的方法中，因?yàn)閳D形畫的太巧，不甚滿意，下面針對此變式，重點(diǎn)講解下這個方法，順便加深同學(xué)們對此法的印象，鞏固“遇中點(diǎn)，造倍長中線”的解題常見輔助線：

第一步：采取中點(diǎn)的常見處理策略“倍長中線”，如圖6-2所示，構(gòu)造出△ADM≌△ENM，從而易得AD=DC=EN，AM=EM且AD∥EN；

第二步：如圖6-3所示，利用“SAS”可證明△DCF≌△NEF；

至于第二步中這組全等三角形的證明，很明顯已經(jīng)有兩組邊對應(yīng)相等，但還有一組條件還需想一想，即這兩組對邊的夾角相等，可以利用AD∥EN得到：

如圖6-4所示，延長AD交FE于點(diǎn)T，則易知∠FTD=∠FEN；再結(jié)合一組“8字型”結(jié)構(gòu)易知∠FTD=∠DCF，所以有∠DCF=∠FEN，從而全等得解，這樣就很容易推出要求的結(jié)論了，不再贅述！

至此，此模型得到完美解釋！

最后一個變式中，正方形到等腰直角三角形的轉(zhuǎn)化也很精彩，探索的大門已向同學(xué)們敞開，去吧，加油！

本文到這其實(shí)基本就告一段落了，但筆者還想啰嗦幾句，把前面的模型再作一般化處理，先化到“共頂點(diǎn)的雙等腰三角形模型”，再化到最一般情形下的“共頂點(diǎn)的相似三角形模型”，即一般意義上的“旋轉(zhuǎn)相似一拖二模型”！

本人作品《廣猛說題系列之解題思想培養(yǎng)篇（軌跡思想）》中有這樣一道中考真題，現(xiàn)摘錄如下（保留原始數(shù)據(jù)）：