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中考數(shù)學(xué):圖形旋轉(zhuǎn)例析

 lala0117 2014-04-25

    旋(xuán)轉(zhuǎn)(zhuàn ):在平面內(nèi),把一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一個(gè)角度,這樣的圖形運(yùn)動稱為旋轉(zhuǎn)。定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)的角叫做旋轉(zhuǎn)角,如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)Pˊ,那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的重要性:初中幾何三大解題思想:平移、對稱、旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)算是其中最高階的解題思想,用到壓軸的幾何題中,難度最大。

出題的普遍性:從選擇到填空、解答的壓軸,旋轉(zhuǎn)普遍存在。

多數(shù)孩子現(xiàn)狀:孩子對旋轉(zhuǎn),沒有一個(gè)統(tǒng)一的思路和方法總結(jié)。沒有能夠?qū)⑦@一類模型總結(jié)整合成一類方便記憶和檢索的方法體系。

旋轉(zhuǎn)主要分類:旋轉(zhuǎn)分為四大類:繞點(diǎn)、空翻、弦圖、半角。這四類旋轉(zhuǎn)的分類有似于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的分類。


一、旋轉(zhuǎn)三要素
①旋轉(zhuǎn)中心;
②旋轉(zhuǎn)方向;
③旋轉(zhuǎn)角度。
注意:三要素中只要任意改變一個(gè),圖形就會不一樣。
        旋轉(zhuǎn)變換是由一個(gè)圖形改變?yōu)榱硪粋€(gè)圖形,在改變過程中,原圖上所有的點(diǎn)都繞一個(gè)固定的點(diǎn)變換同一方向,轉(zhuǎn)動同一個(gè)角度。(同一方向同一角度這是非常重要的,同學(xué)們在作幾何旋轉(zhuǎn)題一定要抓住這一點(diǎn))


二、點(diǎn)-線-形的旋轉(zhuǎn)

三、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(即旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線上,這可用于“已知旋轉(zhuǎn)前后圖形,求旋轉(zhuǎn)中心”類題型)
②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。(這是最重要的,根據(jù)這一性質(zhì)可得出等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,對應(yīng)點(diǎn)所連三角形分別是等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形,有利于我們作出輔助線,打開思維)
③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。(與所求直接掛鉤)


四、旋轉(zhuǎn)的證明
①首先要確定旋轉(zhuǎn)中心。
②弄清旋轉(zhuǎn)的方向(順時(shí)針,逆時(shí)針)和旋轉(zhuǎn)的角度或度數(shù)。
③證明三角形全等。


五、圖形的旋轉(zhuǎn)輔助線(四大模型)
說明:
(1)旋轉(zhuǎn)的目的:


(2)什么時(shí)候可以旋轉(zhuǎn):因?yàn)閷?yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連線相等,所以凡是能旋轉(zhuǎn)的幾何題里面,一般都會出現(xiàn)“共端點(diǎn)的等線段”,換言之,凡是出現(xiàn)“共端點(diǎn)的等線段”,一般就可以嘗試?yán)眯D(zhuǎn)。


1、繞點(diǎn)
        等腰三角形的旋轉(zhuǎn)(遇等腰,旋頂角)
        等邊三角形的旋轉(zhuǎn)(遇60度旋60度)
        等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)(遇90度旋90度)


        實(shí)際上所有旋轉(zhuǎn)都屬于繞點(diǎn),只是后三類較為特殊,所以單獨(dú)列出。
        普通繞點(diǎn),也有人將其稱手拉手模型或甩蔥模型,記起來比較形象。
        如下三組繞點(diǎn)題目,一目了然,灰色的這兩個(gè),確實(shí)有甩蔥的意思。


2、空翻
        空翻與普通繞點(diǎn)的區(qū)別,在于普通繞點(diǎn)可一眼看出旋轉(zhuǎn)中心,而空翻不能。


3、弦圖
        弦圖,也叫三垂直模型,屬于極為特殊的空翻,形式上分為內(nèi)弦圖、外弦圖,
應(yīng)用上可以分為全等弦圖、相似弦圖(獨(dú)有),其基本模型如下列三種:


4、半角
        半角,屬于繞點(diǎn),不屬于空翻,是一類極為特殊的繞點(diǎn),重慶考試比較多。
凡涉及等腰直角三角形、正三角形、正四邊形的圖形,都可能出現(xiàn)半角模型。
如果孩子不知道半角、或者聽過而并不會用,中考之前這個(gè)漏洞一定要補(bǔ)上。

特點(diǎn):
       過等腰△ABC(AB=AC)頂角頂點(diǎn)(設(shè)頂角為A),引兩條射線且它們的夾角為A/2;這兩條射線與過底角頂點(diǎn)的相關(guān)直線交于兩點(diǎn)M、N,則BM,MN,NC之間必存在固定關(guān)系。這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角A相關(guān).
解決方法:
       以點(diǎn)A為中心,把△ACN(順時(shí)針或逆時(shí)針)旋轉(zhuǎn)角A度,至△ABN',連接MN';



結(jié)論:
1:△AMN全等于△AMN',MN=MN';

2:關(guān)注BM,MN',N'B(=NC),
若共線,則存在x+y=z型的關(guān)系;
若不共線,則△BMN'中,∠MBN'必與∠A相關(guān),于是由勾股定理(有時(shí)需要作垂線)或直接用余弦定理可得
三者關(guān)系.
應(yīng)用環(huán)境:(限于初中)
1:頂角為特殊角的等腰三角形,如頂角為30°、45°
60°、75°或它們的補(bǔ)角、90°;
2:正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形;
3:過底角頂點(diǎn)的兩條相關(guān)直線:底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補(bǔ)角的兩條角平分線,底角的鄰余角另外兩邊等;正方形或棱形的另外兩邊;
4:此等腰三角形的相關(guān)弦.
以上條件可以形成數(shù)百種題目!而解決方法均可以運(yùn)用此方法!


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