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(2013-08-03 10:03:24)
接上文 2-5，基圓決定速比 如果一個基圓的大小是另一個基圓的兩倍，則較大漸開線的旋轉速率將是較小的一半。這是因為較大基圓的圓周長是小基圓的2倍，大基圓每一度的圓周角所對的弧長，是小基圓弧長的2倍。所以，當大基圓只轉過ψ角度時，迫使小基圓必須轉動2ψ角度，使大基圓的展形線的卷繞長度正好等于小基圓展開的長度。這確實和兩個皮帶輪傳動的條件相同。所以，可以得出如下的結論：兩個相接觸的漸開線相互作用，它們的相對旋轉速率與它們的基圓大小成反比。即 式中 我們已知，兩條漸開線的相對速率（傳動比）可以由兩個摩擦輪傳動來表示，這種輪子就是節(jié)圓。單個漸開線在沒有和另外的漸開線接觸之前，是沒有節(jié)圓的，這就是漸開線曲線的另一個唯一的特點。其它所有的齒形曲線，都必須由預選的節(jié)圓或節(jié)線成形出來。漸開線沒有固定的節(jié)圓，但在漸開線上的任一直徑，都是潛在的節(jié)圓直徑。這是因為接觸路線是一條直線，是在此線上任一點與之對稱的形狀。進一步來說，漸開線的接觸（路）線也是作用線。 再有，漸開線的形狀只取決于基圓的大小。 還有，前已闡明，兩條接觸漸開線的相對速率（傳動比）和它們的節(jié)圓（瞬心線）大小成反比。所以 式中 因此 就是說，兩條嚙合漸開線的相對速率（傳動比），和這它們基圓大小以及節(jié)圓大小成反比。 A),接觸線（Path of Contact）。當共軛齒形在一起作用時，它們彼此的接觸點，將沿著一定的路線移動，這條路線被稱為接觸線?；蛘哒f，接觸線是共軛齒形的所有接觸點的軌跡。接觸線又稱嚙合線。 兩條漸線的接觸點軌跡在兩個基圓的公切線上。 B),作用線(Line of Action)。從任一接觸點，都能畫一條垂直于兩個相嚙合齒形的接觸點、并通過節(jié)點的直線。這條直線，或齒形的公法線，被稱為作用線。 力是通過接觸點作用于齒形的，所以，接觸線就是作用線。 圖2-4展示兩條漸開線的嚙合情況。兩個基圓的公切線是接觸路線和作用線。兩個節(jié)圓的公切點，稱為節(jié)點，它位于這兩個節(jié)圓的中心線上。它同時它又位于兩條漸開線的接觸線上，或者說在兩個基圓的公切線上。所以，節(jié)點就是兩個基圓中心線和兩條漸開線接觸線的交點。 兩個基圓的公切線 和垂直于它們的中心線的直線夾角稱為（節(jié)圓）壓力角。此壓力角、節(jié)點，和節(jié)圓一樣，在兩條漸開線進入接觸之前，都是不存在的。即單獨齒輪，沒有（節(jié)圓）壓力角、沒有節(jié)圓、沒有節(jié)點。 一對互相接觸漸開線的壓力角和節(jié)圓的大小，只取決于它們基圓的大小和中心距離的長短。（注：直齒輪） 壓力角、節(jié)圓、基圓、中心距之間的關系式，為 取 =節(jié)圓壓力角 R1 、R2 =節(jié)圓1、節(jié)圓2的半徑 Rb 1 、Rb2 =基圓1、基圓2的半徑 則有 從（2-8）式得知 因此 A= R2 + R2 =
R2 所以 同樣可得 R1= ………………2-11 從圖2-4可知 cos = = …………………2-12 和 Rb1= R1
cos …………………… Rb2= R2 cos ……………………. ..2-15 圖2-5（斜齒輪）給出兩條漸開線在不同中心距的接觸情況。圖A的中心距為A ，圖B的AO為改變后的中心距A。例如加大中心距，根據(jù)瞬心線理論，節(jié)圓會將隨之加大，由R變?yōu)镽P ，但其半徑之比值不變，這是因為基圓沒有改變，傳動比i1,2也不會改變，即i1,2 = RP2／RP1 = Rb2／Rb1 。另外 , 因為節(jié)點位置的改變，壓力角變大。新的壓力角αP ,的大小，由圖2-5可得出 cos = = 因為中心距加大后的節(jié)圓半徑RΡ按比例增加，即RP大于R 。 因為兩個基圓不變，漸開線形狀也保持不變，但其接觸區(qū)域將會下移。如圖2-5所示。 2-6，漸開線作用于直線： 一條漸開線和直線接觸，此直線與漸開線相切，并且始終垂直于 它的作用線，我們建立圖（2-6）所示的條件。當直線被限定只能沿著作用線的方向移動時，它將朝著展形線的末端做相應的和勻速的移動。 下面我們將要研究這條直線，當它限定只能沿著AA，線方向移動時的運動情況。如果我們指定直線在AA，方向運動距離為D1，而這條直線沿著作用線的運動距離為D，并且，作用線和AA，線的夾角為φ1，則我們可得到以下的幾何關系： 當D值均勻地改變，并且當φ1值為常數(shù)時，D1值也會均勻地改變。因為cosφ1永不大于1，D1值也將不會小于D。所以，當漸開線所作用的直線，被限定只能沿著AA，方向移動，則它沿著這條線的移動距離，將大于沿著作用線的距離，但是，當漸開線的旋轉速率始 終是均勻的，則此直線的運動速率也將是均勻的。 如果漸開線旋轉正好一周，D值將變?yōu)?πRb , D1值將變?yōu)?/font> 2πRb / cosφ1。最后的數(shù)值代表一個摩擦盤驅動一個筆直的刃口，此刃口平行于AA，線，摩擦盤即為節(jié)圓，它的的半徑R1，就變成等于Rb/cosφ1的數(shù)值，即R1= Rb/cosφ1 。在圖2-5內，這個節(jié)圓的半徑R1，是由作用線和垂直于AA，線的徑向線的交點組成的。 漸開線的十大特性 巴金漢總結漸開線有十大特性： 1， 2， 后者也做均勻的角速度旋轉，與這兩個基圓的中心距大小無關。 3，一條漸開線傳遞另一條漸開線的運動速率，只取決于這兩個漸開線的基圓相對大小。運動速率和這兩個基圓的大小成反比。 4，兩個基圓的公切線是接觸線和作用線。換句話說，兩條漸開線只是沿著這兩個基圓的公切線接觸。 5，漸開線的接觸路線是一條直線。所以在這條線上的任一點，都可以當做節(jié)點，并且接觸路線和這個節(jié)點保持對稱。 6，兩個基圓的公切線和它們的中心線的交點，組成了相嚙合的漸開線的節(jié)圓半徑。漸開線在沒有和另一條漸開線進入接觸之前，或和推動它向一個固定方向運動的直線接觸之前，是沒有節(jié)圓的。 7，兩條相嚙合的漸開線的節(jié)圓直徑，和它們的基圓直徑成正比。 8，兩條嚙合漸開線的壓力角，為兩個基圓的公切線和垂直于它們中心線的直線的夾角。漸開線在沒有和另一條漸開線進入接觸之前，或和推動它向一個固定方向運動的直線接觸之前，是沒有壓力角的。 9，漸開線的基準齒條的形狀為直線。一條漸開線作用于這個齒條的壓力角，是作用線和表示齒條運動方向之間的夾角。 10，作用于直邊齒條的漸開線節(jié)圓半徑，是一條徑向線的長度，它垂直于齒條運動方向，它的長度是從基圓的中心到它和作用線的交點的距離。（注：在前面瞬心線一節(jié)中，這個節(jié)圓被稱為分圓，它始終和齒條的節(jié)線相切。） 漸開線齒形的齒輪的幾個特性 2-7，基節(jié)相等是漸開線齒輪平穩(wěn)旋轉的基本條件。 Tb =漸開線齒輪的基節(jié) db =齒輪的基圓直徑 Z
=齒輪齒數(shù) 則基節(jié)的計算公式為 2-8，漸開線齒形的敏感度 2-9，漸開線齒形的滾動與滑動動作 圖2-8顯示兩條相同的漸開線接觸情況。一條漸開線的ab部分將要和另一條漸開線的gh部分接觸。ab部分較之gh更接近基圓，它的長度比gh短的很多?；鶊A是等角速度旋轉的，在同一時間段內，兩條漸開線接觸點，都必須經(jīng)過作用線，它們的行程必須相同。因此將會既有滾動又有滑移，使之達成一致。這種滑移動作就是漸開線滑動。 2-10，滑動速度 ρ1=主動齒輪齒形在r1處的曲率半徑 ρ2=從動齒輪齒形在r2處的曲率半徑 因此 從圖（2-9）可知 ∴ 代入（2-17a）式，整理后可得 （2-17）式也可寫成 A），當齒條為被動部件時 B)，當齒條為主動部件時 2-11，齒形重合度 當一個牙齒在脫離接觸之前，相鄰的牙齒必須開始接觸。這是齒輪設計的一項重要因素。用齒形重合度表達這項因素。它等于作用弧除以一個齒的基圓齒距tb。齒形重合度表示同時接觸的齒數(shù)。齒形重合度必須大于1.0，一般要大于1.1。 例如，主動齒輪的某一個牙齒是，先從齒輪牙齒下部v點開始接觸，到齒頂z點脫離接觸。與之相嚙合的被動齒輪牙齒，則是先從齒頂開始接觸，到達z點脫離接觸。所以，接觸線長度，或作用線長度，是兩個相嚙合齒輪的外圓，在它們的基圓公切線上的截線zv長度。都等于作用弧的弧長。如圖2-10所示。 圖2-10表示 βr = 退弧(arc of recess) （譯注：應為退弧弧角） EP =齒形重合度 ρa1 = uz = 主動齒輪齒頂Ra1處接觸點的齒形曲率半徑 ρa2 = xv = 從動齒輪齒頂Ra2處接觸點的齒形曲率半徑 ρC1 = uv = 主動齒輪牙齒下部接觸點v的齒形曲率半徑 ρC2 = xz = 從動齒輪牙齒下部接觸點z的齒形曲率半徑 ρC1 =ρmin1 = AsinαP－ρa2 LC = uz－uv = zv =ρa1－ρC1=接觸線長度 LC =ρa1 +ρa2 － AsinαP 所以，重合度 因為 同樣方法，可以求得退弧 βr Rb1 =zy=zu—yu 所以，齒形重合度 Ep=（zy+yv）/ tb = Rb1(βa+βr ) / tb 代入前式后，得出的結果，Ep的計算公式，和（2—23）完全相同。 2-12，齒輪和齒條嚙合的齒形重合度 在圖（2—12）中 a=齒條節(jié)線到齒頂距離 =齒輪分圓到齒根距離 zv=齒輪和齒條的嚙合線長度 a = Rb1βa sinαs 所以 所以 式中 當齒條驅動齒輪時，進弧和退弧的數(shù)值正好相反。. 2—13，工作齒形 ρC1 = L－xv = AsinαP－ρa2 式中ρa2在公式（2-22）中已給出。因此可得 取 RC2= zo2=從動齒輪齒形下部的開始接觸點的半徑 （被動齒輪的嚙合開始圓半徑） 由圖2-11可得直角三角形 △vuo1 的弦長RC1=vo1 所以，主動齒輪的嚙合開始圓半徑 同法可得 被動齒輪的嚙合開始圓半徑 2-13a, 當齒輪和尖角齒條嚙合時，齒輪的嚙合開始圓半徑 設
a=齒條節(jié)線到齒頂?shù)木嚯x=齒輪分圓到齒根的徑向距離。 2-14，共軛作用的極限 2-15，尖角齒條刀具的根切極限 于尖角。
圖2-14和2-5給出 參照圖2-17，我們取 2-17，滾齒的齒根迂線*（fillet）開始圓半徑Rf 。該曲線為次擺線） 2-17a，圓角滾刀切齒的Rf 設 Rb =基圓半徑 Rr =齒根圓半徑 Rf =齒根迂線開始圓半徑 S=分圓端面弧齒厚 αs =分圓端面壓力角 ba=滾刀節(jié)線到齒頂尖角（圓角和齒形直線切點）的距離 b1=齒輪分圓到齒根的徑向距離（齒根距）=齒條節(jié)線到齒頂?shù)木嚯x r=滾刀齒頂圓角半徑=romn B=齒條牙齒中心線到圓角中心的距離 C=滾刀從圓角切點到齒頂?shù)木嚯x=齒輪的齒根隙 b=滾刀齒頂圓角中心到節(jié)線的距離 ba =(fo －ξ)mn 從圖（2-18）可以看出，bf為Rf處的作用線長度，與Rb垂直；bp為作用線總長；設 Lf= bf = bp－pf，因為 bp=Rsinαs ；和三角形pfe的 pf= ba／sinαs ，則有 Lf=Rsinαs － ba／sinαs 所以齒輪迂線開始圓半徑為 3-17b，全圓角滾刀 全圓角滾刀切齒，切出的齒根如圖（2-22）所示，迂線開始圓半徑Rf，計算公式同（2-33）式。 2-18，插齒刀切齒的齒輪次擺線起始圓
我們取 R =齒輪節(jié)圓半徑, Rb =齒輪基圓半徑 αs =分圓壓力角 Rf = 齒輪迂線開始圓半徑 Ric=插齒刀漸開線齒形最大半徑（因有后角，刃磨后外徑變小，所以按最大計） Rbc=插齒刀基圓半徑 A=齒輪和插齒刀中心距 αic = 插齒刀Ric處的壓力角 從圖2-23所示的幾何關系，可得 兩個基圓的公切線長度L L=xu=Asinαs xf = Rbctanαic (Rf)2 = (Rb)2+(xu-xf)2 插齒的迂線起點半徑Rf 2-5，基圓決定速比 如果一個基圓的大小是另一個基圓的兩倍，則較大漸開線的旋轉速率將是較小的一半。這是因為較大基圓的圓周長是小基圓的2倍，大基圓每一度的圓周角所對的弧長，是小基圓弧長的2倍。所以，當大基圓只轉過ψ角度時，迫使小基圓必須轉動2ψ角度，使大基圓的展形線的卷繞長度正好等于小基圓展開的長度。這確實和兩個皮帶輪傳動的條件相同。所以，可以得出如下的結論：兩個相接觸的漸開線相互作用，它們的相對旋轉速率與它們的基圓大小成反比。即 式中 我們已知，兩條漸開線的相對速率（傳動比）可以由兩個摩擦輪傳動來表示，這種輪子就是節(jié)圓。單個漸開線在沒有和另外的漸開線接觸之前，是沒有節(jié)圓的，這就是漸開線曲線的另一個唯一的特點。其它所有的齒形曲線，都必須由預選的節(jié)圓或節(jié)線成形出來。漸開線沒有固定的節(jié)圓，但在漸開線上的任一直徑，都是潛在的節(jié)圓直徑。這是因為接觸路線是一條直線，是在此線上任一點與之對稱的形狀。進一步來說，漸開線的接觸（路）線也是作用線。 再有，漸開線的形狀只取決于基圓的大小。 還有，前已闡明，兩條接觸漸開線的相對速率（傳動比）和它們的節(jié)圓（瞬心線）大小成反比。所以 式中 因此 就是說，兩條嚙合漸開線的相對速率（傳動比），和這它們基圓大小以及節(jié)圓大小成反比。 A),接觸線（Path of Contact）。當共軛齒形在一起作用時，它們彼此的接觸點，將沿著一定的路線移動，這條路線被稱為接觸線。或者說，接觸線是共軛齒形的所有接觸點的軌跡。接觸線又稱嚙合線。 兩條漸線的接觸點軌跡在兩個基圓的公切線上。 B),作用線(Line of Action)。從任一接觸點，都能畫一條垂直于兩個相嚙合齒形的接觸點、并通過節(jié)點的直線。這條直線，或齒形的公法線，被稱為作用線。 力是通過接觸點作用于齒形的，所以，接觸線就是作用線。 圖2-4展示兩條漸開線的嚙合情況。兩個基圓的公切線是接觸路線和作用線。兩個節(jié)圓的公切點，稱為節(jié)點，它位于這兩個節(jié)圓的中心線上。它同時它又位于兩條漸開線的接觸線上，或者說在兩個基圓的公切線上。所以，節(jié)點就是兩個基圓中心線和兩條漸開線接觸線的交點。 兩個基圓的公切線 和垂直于它們的中心線的直線夾角稱為（節(jié)圓）壓力角。此壓力角、節(jié)點，和節(jié)圓一樣，在兩條漸開線進入接觸之前，都是不存在的。即單獨齒輪，沒有（節(jié)圓）壓力角、沒有節(jié)圓、沒有節(jié)點。 一對互相接觸漸開線的壓力角和節(jié)圓的大小，只取決于它們基圓的大小和中心距離的長短。（注：直齒輪） 壓力角、節(jié)圓、基圓、中心距之間的關系式，為 取 =節(jié)圓壓力角 R1 、R2 =節(jié)圓1、節(jié)圓2的半徑 Rb 1 、Rb2 =基圓1、基圓2的半徑 則有 從（2-8）式得知 因此 A= R2 + R2 =
R2 所以 同樣可得 R1= ………………2-11 從圖2-4可知 cos = = …………………2-12 和 Rb1= R1
cos …………………… Rb2= R2 cos ……………………. ..2-15 圖2-5（斜齒輪）給出兩條漸開線在不同中心距的接觸情況。圖A的中心距為A ，圖B的AO為改變后的中心距A。例如加大中心距，根據(jù)瞬心線理論，節(jié)圓會將隨之加大，由R變?yōu)镽P ，但其半徑之比值不變，這是因為基圓沒有改變，傳動比i1,2也不會改變，即i1,2 = RP2／RP1 = Rb2／Rb1 。另外 , 因為節(jié)點位置的改變，壓力角變大。新的壓力角αP ,的大小，由圖2-5可得出 cos = = 因為中心距加大后的節(jié)圓半徑RΡ按比例增加，即RP大于R 。 因為兩個基圓不變，漸開線形狀也保持不變，但其接觸區(qū)域將會下移。如圖2-5所示。 2-6，漸開線作用于直線： 一條漸開線和直線接觸，此直線與漸開線相切，并且始終垂直于 它的作用線，我們建立圖（2-6）所示的條件。當直線被限定只能沿著作用線的方向移動時，它將朝著展形線的末端做相應的和勻速的移動。 下面我們將要研究這條直線，當它限定只能沿著AA，線方向移動時的運動情況。如果我們指定直線在AA，方向運動距離為D1，而這條直線沿著作用線的運動距離為D，并且，作用線和AA，線的夾角為φ1，則我們可得到以下的幾何關系： 當D值均勻地改變，并且當φ1值為常數(shù)時，D1值也會均勻地改變。因為cosφ1永不大于1，D1值也將不會小于D。所以，當漸開線所作用的直線，被限定只能沿著AA，方向移動，則它沿著這條線的移動距離，將大于沿著作用線的距離，但是，當漸開線的旋轉速率始 終是均勻的，則此直線的運動速率也將是均勻的。 如果漸開線旋轉正好一周，D值將變?yōu)?πRb , D1值將變?yōu)?/font> 2πRb / cosφ1。最后的數(shù)值代表一個摩擦盤驅動一個筆直的刃口，此刃口平行于AA，線，摩擦盤即為節(jié)圓，它的的半徑R1，就變成等于Rb/cosφ1的數(shù)值，即R1= Rb/cosφ1 。在圖2-5內，這個節(jié)圓的半徑R1，是由作用線和垂直于AA，線的徑向線的交點組成的。 漸開線的十大特性 巴金漢總結漸開線有十大特性： 1， 2， 后者也做均勻的角速度旋轉，與這兩個基圓的中心距大小無關。 3，一條漸開線傳遞另一條漸開線的運動速率，只取決于這兩個漸開線的基圓相對大小。運動速率和這兩個基圓的大小成反比。 4，兩個基圓的公切線是接觸線和作用線。換句話說，兩條漸開線只是沿著這兩個基圓的公切線接觸。 5，漸開線的接觸路線是一條直線。所以在這條線上的任一點，都可以當做節(jié)點，并且接觸路線和這個節(jié)點保持對稱。 6，兩個基圓的公切線和它們的中心線的交點，組成了相嚙合的漸開線的節(jié)圓半徑。漸開線在沒有和另一條漸開線進入接觸之前，或和推動它向一個固定方向運動的直線接觸之前，是沒有節(jié)圓的。 7，兩條相嚙合的漸開線的節(jié)圓直徑，和它們的基圓直徑成正比。 8，兩條嚙合漸開線的壓力角，為兩個基圓的公切線和垂直于它們中心線的直線的夾角。漸開線在沒有和另一條漸開線進入接觸之前，或和推動它向一個固定方向運動的直線接觸之前，是沒有壓力角的。 9，漸開線的基準齒條的形狀為直線。一條漸開線作用于這個齒條的壓力角，是作用線和表示齒條運動方向之間的夾角。 10，作用于直邊齒條的漸開線節(jié)圓半徑，是一條徑向線的長度，它垂直于齒條運動方向，它的長度是從基圓的中心到它和作用線的交點的距離。（注：在前面瞬心線一節(jié)中，這個節(jié)圓被稱為分圓，它始終和齒條的節(jié)線相切。） 漸開線齒形的齒輪的幾個特性 2-7，基節(jié)相等是漸開線齒輪平穩(wěn)旋轉的基本條件。 Tb =漸開線齒輪的基節(jié) db =齒輪的基圓直徑 Z
=齒輪齒數(shù) 則基節(jié)的計算公式為 2-8，漸開線齒形的敏感度 2-9，漸開線齒形的滾動與滑動動作 圖2-8顯示兩條相同的漸開線接觸情況。一條漸開線的ab部分將要和另一條漸開線的gh部分接觸。ab部分較之gh更接近基圓，它的長度比gh短的很多。基圓是等角速度旋轉的，在同一時間段內，兩條漸開線接觸點，都必須經(jīng)過作用線，它們的行程必須相同。因此將會既有滾動又有滑移，使之達成一致。這種滑移動作就是漸開線滑動。 2-10，滑動速度 ρ1=主動齒輪齒形在r1處的曲率半徑 ρ2=從動齒輪齒形在r2處的曲率半徑 因此 從圖（2-9）可知 ∴ 代入（2-17a）式，整理后可得 （2-17）式也可寫成 A），當齒條為被動部件時 B)，當齒條為主動部件時 2-11，齒形重合度 當一個牙齒在脫離接觸之前，相鄰的牙齒必須開始接觸。這是齒輪設計的一項重要因素。用齒形重合度表達這項因素。它等于作用弧除以一個齒的基圓齒距tb。齒形重合度表示同時接觸的齒數(shù)。齒形重合度必須大于1.0，一般要大于1.1。 例如，主動齒輪的某一個牙齒是，先從齒輪牙齒下部v點開始接觸，到齒頂z點脫離接觸。與之相嚙合的被動齒輪牙齒，則是先從齒頂開始接觸，到達z點脫離接觸。所以，接觸線長度，或作用線長度，是兩個相嚙合齒輪的外圓，在它們的基圓公切線上的截線zv長度。都等于作用弧的弧長。如圖2-10所示。 圖2-10表示 βr = 退弧(arc of recess) （譯注：應為退弧弧角） EP =齒形重合度 ρa1 = uz = 主動齒輪齒頂Ra1處接觸點的齒形曲率半徑 ρa2 = xv = 從動齒輪齒頂Ra2處接觸點的齒形曲率半徑 ρC1 = uv = 主動齒輪牙齒下部接觸點v的齒形曲率半徑 ρC2 = xz = 從動齒輪牙齒下部接觸點z的齒形曲率半徑 ρC1 =ρmin1 = AsinαP－ρa2 LC = uz－uv = zv =ρa1－ρC1=接觸線長度 LC =ρa1 +ρa2 － AsinαP 所以，重合度 因為 同樣方法，可以求得退弧 βr Rb1 =zy=zu—yu 所以，齒形重合度 Ep=（zy+yv）/ tb = Rb1(βa+βr ) / tb 代入前式后，得出的結果，Ep的計算公式，和（2—23）完全相同。 2-12，齒輪和齒條嚙合的齒形重合度 在圖（2—12）中 a=齒條節(jié)線到齒頂距離 =齒輪分圓到齒根距離 zv=齒輪和齒條的嚙合線長度 a = Rb1βa sinαs 所以 所以 式中 當齒條驅動齒輪時，進弧和退弧的數(shù)值正好相反。. 2—13，工作齒形 ρC1 = L－xv = AsinαP－ρa2 式中ρa2在公式（2-22）中已給出。因此可得 取 RC2= zo2=從動齒輪齒形下部的開始接觸點的半徑 （被動齒輪的嚙合開始圓半徑） 由圖2-11可得直角三角形 △vuo1 的弦長RC1=vo1 所以，主動齒輪的嚙合開始圓半徑 同法可得 被動齒輪的嚙合開始圓半徑 2-13a, 當齒輪和尖角齒條嚙合時，齒輪的嚙合開始圓半徑 設
a=齒條節(jié)線到齒頂?shù)木嚯x=齒輪分圓到齒根的徑向距離。 2-14，共軛作用的極限 2-15，尖角齒條刀具的根切極限 于尖角。
圖2-14和2-5給出 參照圖2-17，我們取 2-17，滾齒的齒根迂線*（fillet）開始圓半徑Rf 。該曲線為次擺線） 2-17a，圓角滾刀切齒的Rf 設 Rb =基圓半徑 Rr =齒根圓半徑 Rf =齒根迂線開始圓半徑 S=分圓端面弧齒厚 αs =分圓端面壓力角 ba=滾刀節(jié)線到齒頂尖角（圓角和齒形直線切點）的距離 b1=齒輪分圓到齒根的徑向距離（齒根距）=齒條節(jié)線到齒頂?shù)木嚯x r=滾刀齒頂圓角半徑=romn B=齒條牙齒中心線到圓角中心的距離 C=滾刀從圓角切點到齒頂?shù)木嚯x=齒輪的齒根隙 b=滾刀齒頂圓角中心到節(jié)線的距離 ba =(fo －ξ)mn 從圖（2-18）可以看出，bf為Rf處的作用線長度，與Rb垂直；bp為作用線總長；設 Lf= bf = bp－pf，因為 bp=Rsinαs ；和三角形pfe的 pf= ba／sinαs ，則有 Lf=Rsinαs － ba／sinαs 所以齒輪迂線開始圓半徑為 3-17b，全圓角滾刀 全圓角滾刀切齒，切出的齒根如圖（2-22）所示，迂線開始圓半徑Rf，計算公式同（2-33）式。 2-18，插齒刀切齒的齒輪次擺線起始圓
我們取 R =齒輪節(jié)圓半徑, Rb =齒輪基圓半徑 αs =分圓壓力角 Rf = 齒輪迂線開始圓半徑 Ric=插齒刀漸開線齒形最大半徑（因有后角，刃磨后外徑變小，所以按最大計） Rbc=插齒刀基圓半徑 A=齒輪和插齒刀中心距 αic = 插齒刀Ric處的壓力角 從圖2-23所示的幾何關系，可得 兩個基圓的公切線長度L L=xu=Asinαs xf = Rbctanαic (Rf)2 = (Rb)2+(xu-xf)2 插齒的迂線起點半徑Rf |
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