Logistic Regression 模型簡介

點畫狼藉 2017-10-06

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邏輯回歸

問題

實際工作中，我們可能會遇到如下問題：

1. 預(yù)測一個用戶是否點擊特定的商品

2. 判斷用戶的性別

3. 預(yù)測用戶是否會購買給定的品類

4. 判斷一條評論是正面的還是負面的

這些都可以看做是分類問題，更準確地，都可以看做是二分類問題。同時，這些問題本身對美團也有很重要的價值，能夠幫助我們更好的了解我們的用戶，服務(wù)我們的用戶。要解決這些問題，通常會用到一些已有的分類算法，比如邏輯回歸，或者支持向量機。它們都屬于有監(jiān)督的學(xué)習(xí)，因此在使用這些算法之前，必須要先收集一批標注好的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集。有些標注可以從log中拿到（用戶的點擊，購買），有些可以從用戶填寫的信息中獲得（性別），也有一些可能需要人工標注（評論情感極性）。另一方面，知道了一個用戶或者一條評論的標簽后，我們還需要知道用什么樣的特征去描述我們的數(shù)據(jù)，對用戶來說，可以從用戶的瀏覽記錄和購買記錄中獲取相應(yīng)的統(tǒng)計特征，而對于評論來說，最直接的則是文本特征。這樣拿到數(shù)據(jù)的特征和標簽后，就得到一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)：

值得一提的是，模型效果往往和所用特征密切相關(guān)。特征工程在任何一個實用的機器學(xué)習(xí)系統(tǒng)中都是必不可少的，機器學(xué)習(xí)InAction系列已有一篇文章中對此做了詳細的介紹，本文不再詳細展開。

模型

sigmoid 函數(shù)

在介紹邏輯回歸模型之前，我們先引入sigmoid函數(shù)，其數(shù)學(xué)形式是：

從上圖可以看到sigmoid函數(shù)是一個s形的曲線，它的取值在[0, 1]之間，在遠離0的地方函數(shù)的值會很快接近0/1。這個性質(zhì)使我們能夠以概率的方式來解釋（后邊延伸部分會簡單討論為什么用該函數(shù)做概率建模是合理的)。

決策函數(shù)

一個機器學(xué)習(xí)的模型，實際上是把決策函數(shù)限定在某一組條件下，這組限定條件就決定了模型的假設(shè)空間。當然，我們還希望這組限定條件簡單而合理。而邏輯回歸模型所做的假設(shè)是：

選擇0.5作為閾值是一個一般的做法，實際應(yīng)用時特定的情況可以選擇不同閾值，如果對正例的判別準確性要求高，可以選擇閾值大一些，對正例的召回要求高，則可以選擇閾值小一些。

參數(shù)求解

模型的數(shù)學(xué)形式確定后，剩下就是如何去求解模型中的參數(shù)。統(tǒng)計學(xué)中常用的一種方法是最大似然估計，即找到一組參數(shù)，使得在這組參數(shù)下，我們的數(shù)據(jù)的似然度（概率）越大。在邏輯回歸模型中，似然度可表示為：

即在邏輯回歸模型中，我們最大化似然函數(shù)和最小化log損失函數(shù)實際上是等價的。對于該優(yōu)化問題，存在多種求解方法，這里以梯度下降的為例說明。梯度下降(Gradient Descent)又叫作最速梯度下降，是一種迭代求解的方法，通過在每一步選取使目標函數(shù)變化最快的一個方向調(diào)整參數(shù)的值來逼近最優(yōu)值?；静襟E如下：

沿梯度負方向選擇一個較小的步長可以保證損失函數(shù)是減小的，另一方面，邏輯回歸的損失函數(shù)是凸函數(shù)（加入正則項后是嚴格凸函數(shù)），可以保證我們找到的局部最優(yōu)值同時是全局最優(yōu)。此外，常用的凸優(yōu)化的方法都可以用于求解該問題。例如共軛梯度下降，牛頓法，LBFGS等。

分類邊界

知道如何求解參數(shù)后，我們來看一下模型得到的最后結(jié)果是什么樣的。很容易可以從sigmoid函數(shù)看出，當θTx>0 時，y=1，否則 y=0。θTx=0 是模型隱含的分類平面（在高維空間中，我們說是超平面）。所以說邏輯回歸本質(zhì)上是一個線性模型，但是，這不意味著只有線性可分的數(shù)據(jù)能通過LR求解，實際上，我們可以通過特征變換的方式把低維空間轉(zhuǎn)換到高維空間，而在低維空間不可分的數(shù)據(jù)，到高維空間中線性可分的幾率會高一些。下面兩個圖的對比說明了線性分類曲線和非線性分類曲線（通過特征映射）。

左圖是一個線性可分的數(shù)據(jù)集，右圖在原始空間中線性不可分，但是在特征轉(zhuǎn)換

后的空間是線性可分的，對應(yīng)的原始空間中分類邊界為一條類橢圓曲線。

正則化

當模型的參數(shù)過多時，很容易遇到過擬合的問題。這時就需要有一種方法來控制模型的復(fù)雜度，典型的做法在優(yōu)化目標中加入正則項，通過懲罰過大的參數(shù)來防止過擬合：

實際應(yīng)用時，由于我們數(shù)據(jù)的維度可能非常高，L1正則化因為能產(chǎn)生稀疏解，使用的更為廣泛一些。

延伸

生成模型和判別模型

邏輯回歸是一種判別模型，表現(xiàn)為直接對條件概率P(y|x)建模，而不關(guān)心背后的數(shù)據(jù)分布P(x,y)。而高斯貝葉斯模型（Gaussian Naive Bayes）是一種生成模型，先對數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布建模，再通過貝葉斯公式來計算樣本屬于各個類別的后驗概率，即：

可以看到，這個概率和邏輯回歸中的形式是一樣的。這種情況下GNB 和 LR 會學(xué)習(xí)到同一個模型。實際上，在更一般的假設(shè)（P(x|y)的分布屬于指數(shù)分布族）下，我們都可以得到類似的結(jié)論。

多分類（softmax)

如果y不是在[0,1]中取值，而是在K個類別中取值，這時問題就變?yōu)橐粋€多分類問題。有兩種方式可以出處理該類問題：一種是我們對每個類別訓(xùn)練一個二元分類器（One-vs-all），當K個類別不是互斥的時候，比如用戶會購買哪種品類，這種方法是合適的。如果K個類別是互斥的，即 y=i 的時候意味著 y 不能取其他的值，比如用戶的年齡段，這種情況下 Softmax 回歸更合適一些。Softmax 回歸是直接對邏輯回歸在多分類的推廣，相應(yīng)的模型也可以叫做多元邏輯回歸（Multinomial Logistic Regression）。模型通過 softmax 函數(shù)來對概率建模，具體形式如下：

類似的，我們也可以通過梯度下降或其他高階方法來求解該問題，這里不再贅述。

應(yīng)用

本文開始部分提到了幾個在實際中遇到的問題，這里以預(yù)測用戶對品類的購買偏好為例，介紹一下美團是如何用邏輯回歸解決工作中問題的。該問題可以轉(zhuǎn)換為預(yù)測用戶在未來某個時間段是否會購買某個品類，如果把會購買標記為1，不會購買標記為0，就轉(zhuǎn)換為一個二分類問題。我們用到的特征包括用戶在美團的瀏覽，購買等歷史信息，見下表

類別	特征
用戶	購買頻次，瀏覽頻次，時間，地理位置 ...
品類	銷量，購買用戶，瀏覽用戶 ...
交叉	購買頻次，瀏覽頻次，購買間隔 ...

其中提取的特征的時間跨度為30天，標簽為2天。生成的訓(xùn)練數(shù)據(jù)大約在7000萬量級（美團一個月有過行為的用戶），我們?nèi)斯ぐ严嗨频男∑奉惥酆掀饋?，最后?8個較為典型的品類集合。如果用戶在給定的時間內(nèi)購買某一品類集合，就作為正例。喲了訓(xùn)練數(shù)據(jù)后，使用Spark版的LR算法對每個品類訓(xùn)練一個二分類模型，迭代次數(shù)設(shè)為100次的話模型訓(xùn)練需要40分鐘左右，平均每個模型2分鐘，測試集上的AUC也大多在0.8以上。訓(xùn)練好的模型會保存下來，用于預(yù)測在各個品類上的購買概率。預(yù)測的結(jié)果則會用于推薦等場景。

由于不同品類之間正負例分布不同，有些品類正負例分布很不均衡，我們還嘗試了不同的采樣方法，最終目標是提高下單率等線上指標。經(jīng)過一些參數(shù)調(diào)優(yōu)，品類偏好特征為推薦和排序帶來了超過1%的下單率提升。

此外，由于LR模型的簡單高效，易于實現(xiàn)，可以為后續(xù)模型優(yōu)化提供一個不錯的baseline，我們在排序等服務(wù)中也使用了LR模型。