邏輯回歸（Logistic Regression）是機(jī)器學(xué)習(xí)中的一種分類模型，由于算法的簡(jiǎn)單和高效，在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛。本文作為美團(tuán)機(jī)器學(xué)習(xí)InAction系列中的一篇，主要關(guān)注邏輯回歸算法的數(shù)學(xué)模型和參數(shù)求解方法，最后也會(huì)簡(jiǎn)單討論下邏輯回歸和貝葉斯分類的關(guān)系，以及在多分類問題上的推廣。

邏輯回歸

問題

實(shí)際工作中，我們可能會(huì)遇到如下問題：

1. 預(yù)測(cè)一個(gè)用戶是否點(diǎn)擊特定的商品
2. 判斷用戶的性別
3. 預(yù)測(cè)用戶是否會(huì)購(gòu)買給定的品類
4. 判斷一條評(píng)論是正面的還是負(fù)面的

這些都可以看做是分類問題，更準(zhǔn)確地，都可以看做是二分類問題。同時(shí)，這些問題本身對(duì)美團(tuán)也有很重要的價(jià)值，能夠幫助我們更好的了解我們的用戶，服務(wù)我們的用戶。要解決這些問題，通常會(huì)用到一些已有的分類算法，比如邏輯回歸，或者支持向量機(jī)。它們都屬于有監(jiān)督的學(xué)習(xí)，因此在使用這些算法之前，必須要先收集一批標(biāo)注好的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集。有些標(biāo)注可以從log中拿到（用戶的點(diǎn)擊，購(gòu)買），有些可以從用戶填寫的信息中獲得（性別），也有一些可能需要人工標(biāo)注（評(píng)論情感極性）。另一方面，知道了一個(gè)用戶或者一條評(píng)論的標(biāo)簽后，我們還需要知道用什么樣的特征去描述我們的數(shù)據(jù)，對(duì)用戶來說，可以從用戶的瀏覽記錄和購(gòu)買記錄中獲取相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特征，而對(duì)于評(píng)論來說，最直接的則是文本特征。這樣拿到數(shù)據(jù)的特征和標(biāo)簽后，就得到一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)：

其中 \(x^i\) 是一個(gè) \(m\) 維的向量，\(x^i = [x_1^i, x_2^i, ... , x_m^i]\) ，\(y\) 在 {0, 1} 中取值。（本文用{1，0}表示正例和負(fù)例，后文沿用此定義。）

我們的問題可以簡(jiǎn)化為，如何找到這樣一個(gè)決策函數(shù)\(y^* = f(x)\)，它在未知數(shù)據(jù)集上能有足夠好的表現(xiàn)。至于如何衡量一個(gè)二分類模型的好壞，我們可以用分類錯(cuò)誤率這樣的指標(biāo)：\(Err = \frac{1}{N} \sum 1[y^* = y]\) 。也可以用準(zhǔn)確率，召回率，AUC等指標(biāo)來衡量。

值得一提的是，模型效果往往和所用特征密切相關(guān)。特征工程在任何一個(gè)實(shí)用的機(jī)器學(xué)習(xí)系統(tǒng)中都是必不可少的，機(jī)器學(xué)習(xí)InAction系列已有一篇文章中對(duì)此做了詳細(xì)的介紹，本文不再詳細(xì)展開。

模型

sigmoid 函數(shù)

在介紹邏輯回歸模型之前，我們先引入sigmoid函數(shù)，其數(shù)學(xué)形式是：

\(g(x) = \frac{1}{1 + e ^ {-x}}\)

對(duì)應(yīng)的函數(shù)曲線如下圖所示：

從上圖可以看到sigmoid函數(shù)是一個(gè)s形的曲線，它的取值在[0, 1]之間，在遠(yuǎn)離0的地方函數(shù)的值會(huì)很快接近0/1。這個(gè)性質(zhì)使我們能夠以概率的方式來解釋（后邊延伸部分會(huì)簡(jiǎn)單討論為什么用該函數(shù)做概率建模是合理的)。

決策函數(shù)

一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)的模型，實(shí)際上是把決策函數(shù)限定在某一組條件下，這組限定條件就決定了模型的假設(shè)空間。當(dāng)然，我們還希望這組限定條件簡(jiǎn)單而合理。而邏輯回歸模型所做的假設(shè)是：

\(P(y=1|x;\theta) = g(\theta^T x) = \frac{1}{1 + e ^ {-\theta^T * x}}\)

這里的 \(g(h)\) 是上邊提到的 sigmoid 函數(shù)，相應(yīng)的決策函數(shù)為：

\(y^* = 1, \, \textrm{if} \, P(y=1|x) > 0.5\)

選擇0.5作為閾值是一個(gè)一般的做法，實(shí)際應(yīng)用時(shí)特定的情況可以選擇不同閾值，如果對(duì)正例的判別準(zhǔn)確性要求高，可以選擇閾值大一些，對(duì)正例的召回要求高，則可以選擇閾值小一些。

參數(shù)求解

模型的數(shù)學(xué)形式確定后，剩下就是如何去求解模型中的參數(shù)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種方法是最大似然估計(jì)，即找到一組參數(shù)，使得在這組參數(shù)下，我們的數(shù)據(jù)的似然度（概率）越大。在邏輯回歸模型中，似然度可表示為：

\(L(\theta) = P(D|\theta) = \prod P(y|x;\theta) = \prod g(\theta^T x) ^ y (1-g(\theta^T x))^{1-y}\)

取對(duì)數(shù)可以得到對(duì)數(shù)似然度：

\(l(\theta) = \sum {y\log{g(\theta^T x)} + (1-y)\log{(1-g(\theta^T x))}}\)

另一方面，在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，我們更經(jīng)常遇到的是損失函數(shù)的概念，其衡量的是模型預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的程度。常用的損失函數(shù)有0-1損失，log損失，hinge損失等。其中l(wèi)og損失在單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上的定義為\(-y\log{p(y|x)}-(1-y)\log{1-p(y|x)}\)

如果取整個(gè)數(shù)據(jù)集上的平均log損失，我們可以得到

\(J(\theta) = -\frac{1}{N} l(\theta)\)

即在邏輯回歸模型中，我們最大化似然函數(shù)和最小化log損失函數(shù)實(shí)際上是等價(jià)的。對(duì)于該優(yōu)化問題，存在多種求解方法，這里以梯度下降的為例說明。梯度下降(Gradient Descent)又叫作最速梯度下降，是一種迭代求解的方法，通過在每一步選取使目標(biāo)函數(shù)變化最快的一個(gè)方向調(diào)整參數(shù)的值來逼近最優(yōu)值?；静襟E如下：

• 選擇下降方向（梯度方向，\(\nabla {J(\theta)}\)）
• 選擇步長(zhǎng)，更新參數(shù) \(\theta^i = \theta^{i-1}  \alpha^i \nabla {J(\theta^{i-1})}\)
• 重復(fù)以上兩步直到滿足終止條件

其中損失函數(shù)的梯度計(jì)算方法為：

\( \frac{\partial{J}}{\partial{\theta}} = -\frac{1}{n}\sum_i (y_i  y_i^*)x_i + \lambda \theta\)

沿梯度負(fù)方向選擇一個(gè)較小的步長(zhǎng)可以保證損失函數(shù)是減小的，另一方面，邏輯回歸的損失函數(shù)是凸函數(shù)（加入正則項(xiàng)后是嚴(yán)格凸函數(shù)），可以保證我們找到的局部最優(yōu)值同時(shí)是全局最優(yōu)。此外，常用的凸優(yōu)化的方法都可以用于求解該問題。例如共軛梯度下降，牛頓法，LBFGS等。

分類邊界

知道如何求解參數(shù)后，我們來看一下模型得到的最后結(jié)果是什么樣的。很容易可以從sigmoid函數(shù)看出，當(dāng)\(\theta^T x > 0 \) 時(shí)，\(y = 1\)，否則 \(y = 0\)。\(\theta^T x = 0 \) 是模型隱含的分類平面（在高維空間中，我們說是超平面）。所以說邏輯回歸本質(zhì)上是一個(gè)線性模型，但是，這不意味著只有線性可分的數(shù)據(jù)能通過LR求解，實(shí)際上，我們可以通過特征變換的方式把低維空間轉(zhuǎn)換到高維空間，而在低維空間不可分的數(shù)據(jù)，到高維空間中線性可分的幾率會(huì)高一些。下面兩個(gè)圖的對(duì)比說明了線性分類曲線和非線性分類曲線（通過特征映射）。

左圖是一個(gè)線性可分的數(shù)據(jù)集，右圖在原始空間中線性不可分，但是在特征轉(zhuǎn)換 \([x_1, x_2] => [x_1, x_2, x_1^2, x_2^2, x_1x_2]\) 后的空間是線性可分的，對(duì)應(yīng)的原始空間中分類邊界為一條類橢圓曲線。

正則化

當(dāng)模型的參數(shù)過多時(shí)，很容易遇到過擬合的問題。這時(shí)就需要有一種方法來控制模型的復(fù)雜度，典型的做法在優(yōu)化目標(biāo)中加入正則項(xiàng)，通過懲罰過大的參數(shù)來防止過擬合：

\(J(\theta) = -\frac{1}{N}\sum {y\log{g(\theta^T x)} + (1-y)\log{(1-g(\theta^T x))}} +
\lambda \Vert w \Vert_p\)

一般情況下，取\(p=1\)或\(p=2\)，分別對(duì)應(yīng)L1，L2正則化，兩者的區(qū)別可以從下圖中看出來，L1正則化（左圖）傾向于使參數(shù)變?yōu)?，因此能產(chǎn)生稀疏解。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，由于我們數(shù)據(jù)的維度可能非常高，L1正則化因?yàn)槟墚a(chǎn)生稀疏解，使用的更為廣泛一些。

延伸

生成模型和判別模型

邏輯回歸是一種判別模型，表現(xiàn)為直接對(duì)條件概率P(y|x)建模，而不關(guān)心背后的數(shù)據(jù)分布P(x,y)。而高斯貝葉斯模型（Gaussian Naive Bayes）是一種生成模型，先對(duì)數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布建模，再通過貝葉斯公式來計(jì)算樣本屬于各個(gè)類別的后驗(yàn)概率，即：

\(p(y|x) = \frac{P(x|y)P(y)}{\sum{P(x|y)P(y)}}\)

通常假設(shè)P(x|y)是高斯分布，P(y)是多項(xiàng)式分布，相應(yīng)的參數(shù)都可以通過最大似然估計(jì)得到。如果我們考慮二分類問題，通過簡(jiǎn)單的變化可以得到：

如果 \( \sigma_1 = \sigma_0 \)，二次項(xiàng)會(huì)抵消，我們得到一個(gè)簡(jiǎn)單的線性關(guān)系：

\(\log\frac{P(y=1|x)}{P(y=0|x)} = \theta^T x\)

由上式進(jìn)一步可以得到：

\(P(y=1|x) = \frac{e^{\theta^T x}}{1+e^{\theta^T x}} = \frac{1}{1+e^{-\theta^T x}} \)

可以看到，這個(gè)概率和邏輯回歸中的形式是一樣的。這種情況下GNB 和 LR 會(huì)學(xué)習(xí)到同一個(gè)模型。實(shí)際上，在更一般的假設(shè)（P(x|y)的分布屬于指數(shù)分布族）下，我們都可以得到類似的結(jié)論。

多分類（softmax)

如果\(y\)不是在[0,1]中取值，而是在\(K\)個(gè)類別中取值，這時(shí)問題就變?yōu)橐粋€(gè)多分類問題。有兩種方式可以出處理該類問題：一種是我們對(duì)每個(gè)類別訓(xùn)練一個(gè)二元分類器（One-vs-all），當(dāng)\(K\)個(gè)類別不是互斥的時(shí)候，比如用戶會(huì)購(gòu)買哪種品類，這種方法是合適的。如果\(K\)個(gè)類別是互斥的，即 \(y = i\) 的時(shí)候意味著 \(y\) 不能取其他的值，比如用戶的年齡段，這種情況下 Softmax 回歸更合適一些。Softmax 回歸是直接對(duì)邏輯回歸在多分類的推廣，相應(yīng)的模型也可以叫做多元邏輯回歸（Multinomial Logistic Regression）。模型通過 softmax 函數(shù)來對(duì)概率建模，具體形式如下：

\(P(y=i|x, \theta) = \frac{e^{\theta_i^T x}}{\sum_j^K{e^{\theta_j^T x}}}\)

而決策函數(shù)為：\(y^* = \textrm{argmax}_i P(y=i|x,\theta)\)

對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)為：

\(J(\theta) = -\frac{1}{N} \sum_i^N \sum_j^K {1[y_i=j] \log{\frac{e^{\theta_i^T x}}{\sum {e^{\theta_k^T x}}}}}\)

類似的，我們也可以通過梯度下降或其他高階方法來求解該問題，這里不再贅述。

應(yīng)用

本文開始部分提到了幾個(gè)在實(shí)際中遇到的問題，這里以預(yù)測(cè)用戶對(duì)品類的購(gòu)買偏好為例，介紹一下美團(tuán)是如何用邏輯回歸解決工作中問題的。該問題可以轉(zhuǎn)換為預(yù)測(cè)用戶在未來某個(gè)時(shí)間段是否會(huì)購(gòu)買某個(gè)品類，如果把會(huì)購(gòu)買標(biāo)記為1，不會(huì)購(gòu)買標(biāo)記為0，就轉(zhuǎn)換為一個(gè)二分類問題。我們用到的特征包括用戶在美團(tuán)的瀏覽，購(gòu)買等歷史信息，見下表

其中提取的特征的時(shí)間跨度為30天，標(biāo)簽為2天。生成的訓(xùn)練數(shù)據(jù)大約在7000萬量級(jí)（美團(tuán)一個(gè)月有過行為的用戶），我們?nèi)斯ぐ严嗨频男∑奉惥酆掀饋?，最后?8個(gè)較為典型的品類集合。如果用戶在給定的時(shí)間內(nèi)購(gòu)買某一品類集合，就作為正例。喲了訓(xùn)練數(shù)據(jù)后，使用Spark版的LR算法對(duì)每個(gè)品類訓(xùn)練一個(gè)二分類模型，迭代次數(shù)設(shè)為100次的話模型訓(xùn)練需要40分鐘左右，平均每個(gè)模型2分鐘，測(cè)試集上的AUC也大多在0.8以上。訓(xùn)練好的模型會(huì)保存下來，用于預(yù)測(cè)在各個(gè)品類上的購(gòu)買概率。預(yù)測(cè)的結(jié)果則會(huì)用于推薦等場(chǎng)景。

由于不同品類之間正負(fù)例分布不同，有些品類正負(fù)例分布很不均衡，我們還嘗試了不同的采樣方法，最終目標(biāo)是提高下單率等線上指標(biāo)。經(jīng)過一些參數(shù)調(diào)優(yōu)，品類偏好特征為推薦和排序帶來了超過1%的下單率提升。

此外，由于LR模型的簡(jiǎn)單高效，易于實(shí)現(xiàn)，可以為后續(xù)模型優(yōu)化提供一個(gè)不錯(cuò)的baseline，我們?cè)谂判虻确?wù)中也使用了LR模型。

總結(jié)

邏輯回歸的數(shù)學(xué)模型和求解都相對(duì)比較簡(jiǎn)潔，實(shí)現(xiàn)相對(duì)簡(jiǎn)單。通過對(duì)特征做離散化和其他映射，邏輯回歸也可以處理非線性問題，是一個(gè)非常強(qiáng)大的分類器。因此在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)我們能夠拿到許多低層次的特征時(shí)，可以考慮使用邏輯回歸來解決我們的問題。

參考資料

• Trevor Hastie et al. The elements of statistical learning
• Andrew Ng, CS 229 lecture notes
• C.M. Bishop, Pattern recognition and machine learning
• Andrew Ng et al. On discriminative vs. generative classifiers:a comparison of logistic regression and na?ve bayes
• Wikipedia, http://en./wiki/Logistic_regression