《高中物理思維方法集解》試筆系列

關(guān)于帶電粒子在“疊加場”中的運動（一）

               山東平原一中        魏德田    253100  

帶電粒子在復合場中的運動問題，常為業(yè)內(nèi)人士所稱道。所謂“復合場”，指由重力場、電場、磁場等“疊加”或“拼合”而成的場。它包括：㈠“疊加場”，如重力場、電場的疊加而成的“等效重力場”；重力場、磁場疊加而成的“（重）力磁場”；電場、磁場的疊加而成的“電磁場”；重力場、電場、磁場等疊加而成的“重力電磁場”；若再加之以慣性力所致的“加速場”、彈性力等等，問題更加復雜。㈡“拼合場”，如有界的電場與電場、磁場與磁場、電場與磁場等組成的復合場。㈢或兩種“組合”兼而有之，拼合、疊加而成的“拼合場”……… 情況非常復雜。

正因如此，關(guān)于“帶電粒子在復合場中的運動”問題，順即成為高中物理習題、試題以及物理教學的“重中之重”和“難中之難”。并且，在歷屆高考中，它又往往“扮演”著高檔題、壓軸題的特殊“角色”。能否解決此類問題的關(guān)鍵，則視解題者有沒有具備思維敏銳、知識深廣、能力高強等優(yōu)良條件。

關(guān)于“等效重力場”等一部分典型問題及其解決，請參見前述有關(guān)文章。本文，擬對“粒子”在另外幾種“疊合場”中的運動問題，分三個方面展開討論。

一、帶電粒子在疊加“（重）力磁場”中的運動問題

   所謂“（重）力磁場”，指由重力場、磁場疊加而成的復合場。在“（重）力磁場”中，“粒子”（如絕緣的帶電小球、小物體、液滴等）受到常見機械力、洛侖茲力等作用，其合力往往既隨時間、又隨位置變化，有時則大小、方向均不能確定。由此導致動力學、運動學等一系列復雜問題的出現(xiàn)。

[例題1]如圖—1所示，一個帶負電的滑環(huán)套在水平且足夠長的粗糙的絕緣桿上，整個裝置處于方向如圖所示的勻強磁場中，現(xiàn)給滑環(huán)施以一個水平向左的瞬時沖量，使其由靜止開始運動，則滑環(huán)在桿上的情況不可能的是   （    ）

A．始終做勻速運動

B．始終做減速運動

C。先做加速運動，最后靜止于桿上

D。先做減速運動，最后做勻速運動

[解析]首先，若給滑環(huán)施以一個水平向左的瞬時沖量，則其瞬即獲得向左的初速度v.由左手定則可知，小環(huán)受洛侖茲力f=qvB豎直向上。

其次，從比較洛侖茲力、重力的大小開始，討論環(huán)的運動情況。若qvB=mg,,滑動摩擦力F為零，則小環(huán)做勻速運動。若qvB＞mg，其則受桿下表面的摩擦力，先做減速運動，待速度減小到令qv₁B=mg時，再開始做勻速運動。若qvB＜mg,其則受上表面的摩擦力且逐漸增大，始終做減速運動（加速度逐漸增大），直到時最后靜止。

按要求，選不可能的項。因此，本題答案為：C。

[點撥]應(yīng)該指出，正是由于洛侖茲力隨速度達小的變化，使支持力、摩擦力等大小或方向的變化，從而導致問題難度的增加。

[例題2] （經(jīng)典試題）在光滑絕緣水平面上，一輕繩拉著一帶電小球繞豎直方向的軸O做逆時針方向的水平勻速圓周運動，磁場方向豎直向下，其俯視圖如圖—2所示。若小球運動到A點時，繩子突然斷開，以下說法錯誤的是  (    )

A.小球仍做逆時針勻速圓周運動，半徑不變

B.小球仍做逆時針勻速圓周運動，但半徑減小

C.小球做順時針勻速圓周運動，半徑不變

D.小球做順時針勻速圓周運動，半徑減小

[解析]⑴首先，容易知道小球逆時針轉(zhuǎn)動時，其向心力為繩的拉力T和洛侖茲力qvB的合力提供。選沿半徑指向圓心為坐標正方向，從而由向心力公式，可得

    其中，“＋”、“－”號表示小球帶正、負電荷時，所受的洛侖茲力分別為“向心”、或“離心”的。

然后，對上式進行討論：⑴若原來，則有，在“小球運動到A點，繩子突然斷開”時，提供的向心力與需要的向心力仍舊相等，則小球仍做逆時針勻速圓周運動，半徑不變，故選項A正確。

⑵若原來，同樣地，在時， 則使得提供的向心力小于需要的向心力，而方向仍“向心”不變，故達到穩(wěn)定狀態(tài)后，其做逆時針勻速圓周運動，半徑增大，故選項B錯誤。

⑶若原來，在時，向心力則“離心”向外，小球從A點開始做順時針勻速圓周運動。若恰好有，則半徑大小不變；而若，則向心力“離心”向外且增大，小球從A點開始做順時針勻速圓周運動，半徑減小。故選項C、D均為正確。

因此，本題選“說法錯誤”的，答案應(yīng)為：B。

[點撥]由此可見，電荷性質(zhì)、拉力大小的不同，必將影響到洛侖茲力、合力的大小和方向，進而小球的轉(zhuǎn)動方向、軌道半徑等發(fā)生顯著的變化，導致問題的多解。

    [例題3]（經(jīng)典試題）一細棒處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，棒與磁場垂直，磁感線水平指向紙內(nèi)，如圖—3所示，棒上套一個可在其上滑動的帶負電的小球C，小球質(zhì)量為m.電荷量為q,球與棒間動摩擦因數(shù)為μ，讓小球從棒上端由靜止下滑。求:

⑴小球的最大加速度；

⑵小球的最大速度。

[解析] ⑴首先，分析可知帶電小球開始下滑后，受到重力？、洛侖茲力？、絕緣棒的支持力?摩擦力的作用，如圖—所示。由牛二定律，可得

其次，由于洛侖茲力隨著速度？的增大而增大，因而使得棒對球的支持力、摩擦力？減小。由此式可見，加速度將逐漸增大。當亦即支持力為零時，可由上式求出加速度的最大值（亦為臨界值）

   ⑵然后，進一步分析可知，小球速度再增大時，支持力將改變方向而且必將進一步增大，從而使得加速度再逐漸減小。因此，小球做加速度先增大、后減小的變加速運動。一直到加速度減小為零時，其速度達到最大。即

由此，即可解得

[點撥]此例為關(guān)于帶電體在“力磁場”中的加速度、速度“臨界值”問題。類似地，洛侖茲力的大小的變化，導致了支持力、摩擦力的性質(zhì)變化。認識到這一點，再應(yīng)用牛二定律、、實現(xiàn)加速度、速度最大的“臨界條件”，問題則不難解決。

綜上所述，只要首先我們認識和理解到洛侖茲力的可變性，然后做好對帶電體的“四個分析”，即可給我們解決此類問題帶來有利的“轉(zhuǎn)機”和可觀的“效益”。這一基本原則或解題思想，理應(yīng)貫穿于所有受洛侖茲力的“粒子”的各種運動問題的解決之中。

二、帶電粒子在疊加“電磁場”中的運動問題

  所謂“電磁場”，指由電場、磁場疊加而成的復合場。在如此“電磁場”當中，粒子只能受到靜電力、洛侖茲力的作用。由此，“演繹”出另一類關(guān)于“帶電粒子”的運動問題。

[例題4]（’07山東德州 ）如圖—4所示，空間中有水平向右的勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁場，一帶電粒子由A點以某一初速度開始運動，初速的方向可以向紙面內(nèi)任意方向，不計粒子重力，則關(guān)于粒子的運動情況，下列說法中正確的是   (    )

A.粒子可能做勻速直線運動

B.粒子可能做勻加速直線運動

C.粒子可能做勻速圓周運動

D.粒子可能做類平拋運動

[解析]首先，若粒子帶正（或負電荷），由于在水平向右的勻強電場中必受向右（或左）的電場力。若粒子運動的初速度平行于紙面向上，則由左手定則可知，洛侖茲力向左（或右），故電場力、洛侖茲力的合力可能為零，能使粒子做勻速直線運動，故選項A確。

其次，若粒子向其他方向運動，無論粒子帶何種電荷，總有電場力的恒定水平加速度和洛侖茲力的大小、方向均可變化加速度，因而其合加速度亦為大小和方向均可變化的。根據(jù)物體做曲線運動的條件，可知粒子必做一般的、非勻變速曲線運動。故知選項B、C、D皆錯。

因此，本題答案為：A。

[點撥]由此例解答可知，在疊加電磁場當中，如何判斷粒子的運動形式、軌跡等問題，值得引起我們的極大關(guān)注。

[例題5]（’06四川）如圖—5所示，在足夠大的空間范圍內(nèi)，同時存在著豎直向上的勻強電場和垂直紙面向里的水平勻強磁場，磁感應(yīng)強度B＝1.57T。小球1帶正電，其電量與質(zhì)量之比q₁/m₁＝4C/kg，所受重力與電場力的大小相等；小球2不帶電，靜止放置于固定的水平懸空支架上。小球1向右以v₀＝23.59m/s的水平速度與小球2正碰，碰后經(jīng)過0.75s再次相碰。設(shè)碰撞前后兩小球帶電情況不發(fā)生改變，且始終保持在同一豎直平面內(nèi)。（取g＝10m/s²）問：

⑴電場強度E的大小是多少？

⑵兩小球的質(zhì)量之比m₂/m₁是多少？

[解析] ⑴首先，由已知條件小球1“所受重力與電場力的大小相等”，可得

聯(lián)立①②式，可解得

⑵其次，分析可知，兩球第一次碰撞過程，動量是守恒的.從而，可得

第一次碰后，小球1向左做逆時針圓周運動，小球2向右做平拋運動，經(jīng)t=0.75s時間兩球再發(fā)生第二次碰撞。對小球1，由半徑公式、周期公式，從而可得

由此可見，兩球運動時間為圓運動周期倍，而小球1的旋轉(zhuǎn)角為270°（或）。

然后，對小球2，則由平拋運動規(guī)律，可得

最后，聯(lián)立②③④⑥⑦式，即可求出兩小球的質(zhì)量之比m₂/m₁為

[點撥]欲求兩球的質(zhì)量之比，是個比較復雜、困難的問題。這是因為，我們必須采用“正向思維”或“順藤摸瓜”的方法，不但對系統(tǒng)碰撞過程進行動量分析，確定動量守恒，而且還要對第一次碰撞后，兩球的運動方向、形式、過程、特點等作出明確判斷。否則，一著不慎，則導致全盤皆輸。 

[例題6]（’05天津）正電子發(fā)射計算機斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國際領(lǐng)先技術(shù)，它為臨床診斷和治療提供全新的手段。

⑴PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑。氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的，反應(yīng)中同時還產(chǎn)生另一個粒子，試寫出該核反應(yīng)方程。

⑵PET所用回旋加速器示意如圖—7，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向如圖所示。質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q。設(shè)質(zhì)子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，質(zhì)子在加速器中運動的總時間為t（其中已略去了質(zhì)子在加速電場中的運動時間），質(zhì)子在電場中的加速次數(shù)與回旋半周的次數(shù)相同，加速質(zhì)子時的電壓大小可視為不變。求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U。

⑶試推證當R>>d時，質(zhì)子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計（質(zhì)子在電場中運動時，不考慮磁場的影響）。

[解析] ⑴首先，依據(jù)質(zhì)量數(shù)守恒和質(zhì)子數(shù)守恒，可得    

⑵其次，由于“質(zhì)子在電場中的加速次數(shù)與回旋半周的次數(shù)相同”，故電源頻率、粒子回旋頻率大小相等。從而，由周期公式得               

又，由動能定理可得

聯(lián)立①②式，即能求出

⑶然后，粒子末速度可視為在勻強電場中n次勻加速形成的。初設(shè)加速的總時間為t₁，由平均速度公式，可得

再設(shè)粒子在磁場當中運動的總時間為t₂，從而又得

最后，把③④兩式左右相除，即可求出兩個時間的比值

由此可見，t₁可忽略不計。

[點撥]此例為力、電、原三聯(lián)綜合題。著重考察帶電粒子“電加速”時，對電能與動能的轉(zhuǎn)化規(guī)律的理解（即動能定理）；以及粒子“電加速”的時間、“磁偏轉(zhuǎn)”的周期公式、飛行時間等求解的基本能力。建立加速電壓與其他幾個物理量之間的關(guān)系，應(yīng)該是本例的重點和難點。

                                              (2017-08-04  經(jīng)典重發(fā))