帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于多種因素的影響，常使問(wèn)題形成多解。形成多解的原因主要有以下幾個(gè)方面：

　　一、帶電粒子的電性不確定

　　帶電粒子以相同的初速度進(jìn)入磁場(chǎng)中，帶正電和帶負(fù)電所受的洛倫茲力的方向是不同的，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡就不同，就會(huì)形成雙解。

　　例1　在光滑絕緣水平面上，一輕繩拉著一個(gè)帶電小球繞豎直方向的軸O在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做逆時(shí)針?lè)较虻乃絼蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)的方向豎直向下，其俯視圖如圖1所示。若小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，繩子突然斷開(kāi)，關(guān)于小球在繩斷開(kāi)后可能的運(yùn)動(dòng)情況，以下說(shuō)法正確的是（    ）

　　A．小球仍做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑不變

　　B．小球仍做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑減小

　　C．小球仍做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑不變

　　D．小球仍做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑減小

　　解析：題中并未給出帶電小球的電性，故需要考慮兩種情況。

　　①如果小球帶正電，則小球所受的洛倫茲力方向指向圓心，此種情況下，如果洛倫茲力剛好提供向心力，這時(shí)繩子對(duì)小球沒(méi)有作用力，繩子斷開(kāi)時(shí)，對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有影響，小球仍做逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑不變，A選項(xiàng)正確。如果洛倫茲力和拉力共同提供向心力，繩子斷開(kāi)時(shí)，向心力減小，而小球的速率不變，則小球做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，但半徑增大。

　?、谌绻∏驇ж?fù)電，則小球所受的洛倫茲力方向背離圓心，由可知，當(dāng)洛倫茲力的大小等于小球所受的一半時(shí)，繩子斷后，小球做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑不變，C選項(xiàng)正確，當(dāng)洛倫茲力的大小大于小球所受的拉力的一半時(shí)，則繩子斷后，向心力增大，小球做順時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑減小，D選項(xiàng)正確，故本題正確的選項(xiàng)為ACD。

　　二、磁場(chǎng)方向的不確定

　　帶電粒子在磁場(chǎng)方向不同的磁場(chǎng)中，所受洛倫茲力的方向是不同的，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡就不同，若題目中只告訴磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的雙解。

　　例2（2007年全國(guó)卷Ⅱ）　如圖2所示，一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)在固定的正的點(diǎn)電荷作用下繞該正電荷做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T₀，軌道平面位于紙面內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度方向如圖2中箭頭所示，現(xiàn)加一垂直于軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知軌道半徑并不因此而改變，則（    ）

　　A．若磁場(chǎng)方向指向紙里，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期將大于T₀

　　B．若磁場(chǎng)方向指向紙里，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期將小于T₀

　　C．若磁場(chǎng)方向指向紙外，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期將大于T₀

　　D．若磁場(chǎng)方向指向紙外，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期將小于T₀

　　解析：此題中，只說(shuō)明磁場(chǎng)方向垂直軌道平面，因此磁場(chǎng)的方向有兩種可能。當(dāng)磁場(chǎng)方向指向紙里，質(zhì)點(diǎn)所受的洛倫茲力背離圓心，與庫(kù)侖引力方向相反，則向心力減小。由可知，當(dāng)軌道半徑R不變時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)周期必增大；當(dāng)磁場(chǎng)方向指向紙外時(shí)，粒子所受的洛倫茲力指向圓心，則向心力增大，該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)周期必減小，故正確的選項(xiàng)為AD。

　　三、臨界狀態(tài)不唯一

　　帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，可能會(huì)從不同的位置穿越邊界，臨界條件不唯一會(huì)形成多解。

　　例3　如圖3所示，長(zhǎng)為L的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間的距離也為L，板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從極板間左邊中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，則v需要滿足什么條件？

　　解析：欲使帶電粒子不打在極板上，帶電粒子可以從左邊穿出，也可以從右邊穿出，因此問(wèn)題歸結(jié)為求粒子能從右邊穿出時(shí)軌道半徑的最大值r₁以及粒子可從左邊穿出時(shí)軌道半徑的最小值r₂。

　　設(shè)粒子擦著極板從右邊穿出時(shí)的速度為v₁，如圖4所示，此時(shí)圓心在O₁點(diǎn)，由幾何關(guān)系有：

　　          ①

　　由牛頓第二定律得：

　　                ②

　　由①②兩式得：

　　設(shè)粒子擦著極板從右邊穿出時(shí)的速度為v₂，如圖4所示，此時(shí)圓心在O₂點(diǎn)，由幾何關(guān)系有：

　　                     ③

　　而             ④

　　由③④式可得：

　　因此，當(dāng)粒子的速度滿足v＞或v＜時(shí)，粒子不會(huì)打在極板上。

　　四、運(yùn)動(dòng)方向的不確定

　　帶電粒子以不同的速度方向進(jìn)入磁場(chǎng)中，作圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡是不同的，因而會(huì)形成多解情形。

　　例4　如圖5所示，AC為坐標(biāo)系xOy橫軸上兩點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（L，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（－L，0），勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直坐標(biāo)平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則：

　?。?）質(zhì)子的速度為多大才能滿足上述要求？

　?。?）現(xiàn)有α粒子自C點(diǎn)從第三象限射入第二象限，剛好在坐標(biāo)原點(diǎn)和同自A點(diǎn)射入的質(zhì)子相遇，求射入時(shí)α粒子速度的大小和方向。（已知α粒子的質(zhì)量為4m，電荷量為2e）

　　解析：（1）質(zhì)子自A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入剛好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，由幾何關(guān)系可得其軌道半徑：

　　             ①

　　由洛倫茲力提供向心力可得：

　　         ②

　　聯(lián)立①②兩式可得質(zhì)子的速度為

　　（2）因α粒子的周期與質(zhì)子的周期關(guān)系為。關(guān)于他們的相遇情況分兩種情形來(lái)討論：

　　第一種情形，質(zhì)子自A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入到達(dá)原點(diǎn)的最短時(shí)間為，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為180°，要使α粒子在原點(diǎn)與質(zhì)子相遇，則α粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為90°，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，此時(shí)與x軸正方向的夾角成45°，考慮到運(yùn)動(dòng)的周期性相遇的時(shí)刻為、、……

　　第二種情形，質(zhì)子自A點(diǎn)射入到達(dá)原點(diǎn)后再經(jīng)一周又回到原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，圓心角為540°，要使α粒子在原點(diǎn)與質(zhì)子相遇，則α粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為270°，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖7所示，此時(shí)與x軸正方向的夾角成135°（與x軸負(fù)方向的夾角成45°），考慮到運(yùn)動(dòng)的周期性相遇的時(shí)刻為、、……

　　兩種情形下，由幾何關(guān)系可得α粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都為：

　　             ③

　　而      ④

　　由③④式可得α粒子射入時(shí)的速度大小為：。

　　五、運(yùn)動(dòng)的反復(fù)性

　　帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，或與擋板等邊界發(fā)生碰撞，將不斷地反復(fù)在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，也會(huì)形成一些多解問(wèn)題。

　　例5　如圖8所示，半徑為r的圓筒中有沿圓筒軸線方向、大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子以速度v從筒壁小孔A處沿半徑方向垂直磁場(chǎng)射入筒中，若它在筒中僅受洛倫茲力作用，且與筒的碰撞無(wú)能量損失，并保持原有電荷量，粒子在筒中與壁相撞并繞壁一周仍從A孔射出，則B的大小必須滿足什么條件？

　　解析：如圖9所示，粒子由A孔進(jìn)入圓筒中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，圓心在O’點(diǎn)處，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與相交的一段弧長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)圓筒的圓心角為θ，各壁相撞后反彈速度大小不變，方向相反，且仍指向圓心O，粒子周期性重復(fù)以上過(guò)程，若要仍從A孔射出，則必有：

　　（k=3，4，5……）      ①

　　                 ②

　　由幾何關(guān)系可得：

　　                 ③

　　聯(lián)立①②③式可得：（k=3，4，5……）

　　例6（2009年全國(guó)卷Ⅰ）　如圖10所示，在x軸下方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于x y平面向外。P是y軸上距原點(diǎn)為h的一點(diǎn)，N₀為x軸上距原點(diǎn)為a的一點(diǎn)。A是一塊平行于x軸的擋板，與x軸的距離為，A的中點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)度略小于。帶點(diǎn)粒子與擋板碰撞前后，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向、大小不變。質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的粒子從P點(diǎn)瞄準(zhǔn)N₀點(diǎn)入射，最后又通過(guò)P點(diǎn)。不計(jì)重力。求粒子入射速度的所有可能值。

　　解析：設(shè)粒子的入射速度為v，第一次射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為N^’₀，與板碰撞后再次進(jìn)入磁場(chǎng)的位置為N₁。粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，有

　　                    ①

　　粒子速率不變，每次進(jìn)入磁場(chǎng)與射出磁場(chǎng)位置間距離x₁保持不變有

　　       ②

　　粒子射出磁場(chǎng)與下一次進(jìn)入磁場(chǎng)位置間的距離x₂始終不變，與N^’₀ N₁相等。由圖11可以看出

　　                   ③

　　設(shè)粒子最終離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，與檔板相碰n次(n=0、1．2．3…)。若粒子能回到P點(diǎn)，由對(duì)稱性，出射點(diǎn)的x坐標(biāo)應(yīng)為-a，即

　　      ④

　　由③④兩式得

　　         　  ⑤

　　若粒子與擋板發(fā)生碰撞，有

　　　　　　　?、?/span>

　　聯(lián)立③④⑥得

　　n<3　　　　　　　　　　⑦

　　聯(lián)立①②⑤得

　　　　⑧

　　式中   

　　代入⑧中得

　　，n=0

　　，n=1

　　，n=2