(許興華數(shù)學(xué))

現(xiàn)在，我們給出一個(gè)非常奇妙的結(jié)論：

【定理1】在任意兩個(gè)不同的有理數(shù)之間必定存在著無窮多個(gè)有理數(shù)。

 你相信嗎？請(qǐng)你認(rèn)真考慮一下：你是否能夠證明呢？如何證明這個(gè)奇妙的結(jié)論呢？

【重要知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)備】

1、有理數(shù)之間進(jìn)行有限次的加、減、乘、除的四則混合運(yùn)算（作除法時(shí)除數(shù)不能為零）的結(jié)果仍然為有理數(shù)。任意一個(gè)非零有理數(shù)乘以一個(gè)無理數(shù)必定是無理數(shù)。

2、數(shù)學(xué)歸納法原理：設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題p(n),(n=1,2,3,4，......），如果

（1）當(dāng)n=1時(shí)命題p(1)成立;

（2）假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)命題p(k)成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)命題p(K+1)也成立.

那么綜合（1）（2）知，該命題p(n)對(duì)于任意的自然數(shù)n(n≥1)都成立。

有了以上兩個(gè)重要的結(jié)論后，我們現(xiàn)在就可以來證明【定理1】了。

【證明】設(shè)m，p是有理數(shù)，且m<>

其實(shí)我們可以用構(gòu)造性的方法來找出，請(qǐng)看下圖（無論m,p距離靠得多近，為了方便大家理解問題，在畫圖的時(shí)候我們都可以把m,p之間的距離稍為放大一些，讓大家看得更清楚）：

由上面的證明，我們還非常容易得到下面另外的一個(gè)推論：

【定理2】在任意兩個(gè)不同的有理數(shù)之間必定存在著無窮多個(gè)無理數(shù)。

大家可以大膽地試一試，能否證明此定理呢？

【定理2的證明】設(shè)m，p是有理數(shù)，且m<>

這兩個(gè)定理告訴我們：任意兩個(gè)不同的有理數(shù)之間一定有無數(shù)多個(gè)有理數(shù)；同時(shí)任意兩個(gè)不同的有理數(shù)之間一定存在著無數(shù)多個(gè)無理數(shù)。這說明：無理數(shù)與有理數(shù)之間是“稠密”地存在著的。在數(shù)軸上誰也離不開誰了：無理數(shù)是與有理數(shù)相伴相生，緊緊想念，不離不棄的。哈哈哈！大家覺得有趣嗎？