提示：本條目的主題不是楊冪。

冪運算（英語：Exponentiation），又稱指數(shù)運算，一種數(shù)學(xué)運算，表示為bⁿ，其中，b被稱為底數(shù)，而n被稱為指數(shù)，其結(jié)果為b自乘n次。同樣的，把${\displaystyle b^{n}}$看作乘方的結(jié)果，叫做“b的n次冪”或“b的n次方”。

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

通常指數(shù)寫成上標，放在底數(shù)的右邊。當(dāng)不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，${\displaystyle b^{n}}$通常寫成b^n或b**n，也可視為超運算，記為b[3]n，亦可以用高德納箭號表示法，寫成b↑n，讀作“b的n次方”。

當(dāng)指數(shù)為1時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數(shù)的數(shù)值一樣；指數(shù)為2時，可以讀作“b的平方”；指數(shù)為3時，可以讀作“b的立方”。

bⁿ的意義亦可視為：

${\displaystyle b^{n}=1\times \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

起始值1（乘法的單位元）乘上底數(shù)（b）自乘指數(shù)（n）這么多次。這樣定義了后，很易想到如何一般化指數(shù)0和負數(shù)的情況：除0外所有數(shù)的零次方都是1；指數(shù)是負數(shù)時就等于重復(fù)除以底數(shù)（或底數(shù)的倒數(shù)自乘指數(shù)這么多次），即：

${\displaystyle b^{0}=1\qquad }$

${\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)}$。

以分數(shù)為指數(shù)的冪定義為${\displaystyle b^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}}$，即b的m次方再開n次方根

0的0次方目前數(shù)學(xué)家沒有給予正式的定義，部分領(lǐng)域中，如組合數(shù)學(xué)，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。

冪不符合結(jié)合律和交換律。

因為十的次方很易計算，只需在后加零即可，所以科學(xué)記數(shù)法借助此簡化記錄數(shù)的方式；二的冪在計算機科學(xué)中很有用。

運算法則編輯

• 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加：

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m n}}$ 

• 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減：

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$ 

• 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘：

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}$ 

• 同指數(shù)冪相乘，指數(shù)不變，底數(shù)相乘：

${\displaystyle a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}}$ 

• 同指數(shù)冪相除，指數(shù)不變，底數(shù)相除：

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}}\right)^{n}}$ 

其他等式編輯

• ${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ 
• ${\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle x^{1}=x\,\!}$ 
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}}$ 
• ${\displaystyle x^{i}=e^{i\ln x}=\cos(\ln x) i\sin(\ln x),\quad i^{2}=-1}$ 

加法和乘法遵守交換律，比如：2 3 = 5 = 3 2，2×3 = 6 = 3×2，但是冪的運算不遵守交換律，${\displaystyle 2^{3}=8}$ ，但是${\displaystyle 3^{2}=9}$ 。

同樣，加法和乘法遵守結(jié)合律，比如：(2 3) 4 = 9 = 2 (3 4)，(2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)，冪同樣不遵守：${\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}$ ，但是${\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}$ 。

冪的運算順序通常由上到下：

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^)^{c}=a^{(b\times c)}=a^{b\times c}.}$ 

整數(shù)指數(shù)冪的運算只需要初等代數(shù)的知識。

正整數(shù)指數(shù)冪編輯

表達式${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$ 被稱作a的平方，因為邊長為a的正方形面積是${\displaystyle a^{2}}$ 。

表達式${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$ 被稱作a的立方，因為邊長為a的正方體體積是${\displaystyle a^{3}}$ 。

所以${\displaystyle 3^{2}}$ 讀作3的平方，${\displaystyle 2^{3}}$ 讀作2的立方。

指數(shù)表示的是底數(shù)反復(fù)相乘多少次。比如${\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}$ ，指數(shù)是5，底數(shù)是3，表示3反復(fù)相乘5次。

或者，整數(shù)指數(shù)冪可以遞歸地定義成：

${\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}$ 

指數(shù)是1或者0編輯

注意${\displaystyle 3^{1}}$ 表示僅僅1個3的乘積，就等于3。

注意${\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}$ ，${\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}$ ，${\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}$ ，${\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}$ ，

繼續(xù)，得到${\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}$ ，所以${\displaystyle 3^{0}=1}$ 

另一個得到此結(jié)論的方法是：通過運算法則${\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}$ 

當(dāng)${\displaystyle m=n}$ 時，${\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}$ 

• 任何數(shù)的1次方是它本身。

負數(shù)指數(shù)編輯

我們定義任何不為0的數(shù)的-1次方等于它的倒數(shù)。

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}$ 

對于非零a定義${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 。因為當(dāng)${\displaystyle a=0}$ 時分母是0而沒有意義。

這個定義是因為${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m n}}$ ，當(dāng)m=-n時

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\, \,n}=a^{0}=1,}$ 

因為${\displaystyle a^{0}}$ 已經(jīng)定義了，所以${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 。

或者還可以像定義a的0次方一樣定義：

通過運算法則${\displaystyle {\frac {x^{m}}{x^{n}}}=x^{m-n}}$ 

當(dāng)${\displaystyle m=0}$ 時，可以約去分子得${\displaystyle x^{-n}=x^{0-n}={\frac {x^{0}}{x^{n}}}}$ 

負數(shù)指數(shù)${\displaystyle a^{-n}}$ 還可以表示成1連續(xù)除以n個a。比如：

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$ .

特殊數(shù)的冪編輯

10的冪編輯

在十進制的計數(shù)系統(tǒng)中，10的冪寫成1后面跟著很多個0。例如：${\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}$ 

因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數(shù)字。如：299,792,458（真空中光速，單位是米每秒），可以寫成 ${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$ ，近似值 ${\displaystyle 2.998\times 10^{8}}$ .

國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數(shù)字，比如：詞頭“千”就是 ${\displaystyle 10^{3}}$ ，詞頭“毫”就是 ${\displaystyle 10^{-3}}$ 

2的冪編輯

1的冪編輯

1的任何次冪都為1

0的冪編輯

0的正數(shù)冪都等于0。

0的負數(shù)冪沒有定義。

任何非0之?dāng)?shù)的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領(lǐng)域下常用的慣例是約定為1。^[1]但某些教科書表示0的0次方為無意義。^[2]也有人主張定義為1。

負1的冪編輯

-1的奇數(shù)冪等于-1

-1的偶數(shù)冪等于1

指數(shù)非常大時的冪編輯

一個大于1的數(shù)的冪趨于無窮大，一個小于-1的數(shù)的冪趨于負無窮大

當(dāng)${\displaystyle a>1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to \infty }$ 

當(dāng)${\displaystyle a<-1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to -\infty }$ 

一個絕對值小于1的數(shù)的冪趨于0

當(dāng)${\displaystyle |a|<1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to 0}$ 

1的冪永遠都是1

當(dāng)${\displaystyle a=1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to 1}$ 

如果數(shù)a趨于1而它的冪趨于無窮，那么極限并不一定是上面幾個。一個很重要的例子是：

當(dāng)${\displaystyle n\to \infty ,\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}$ 

參見e的冪

其他指數(shù)的極限參見冪的極限

一個正實數(shù)的實數(shù)冪可以通過兩種方法實現(xiàn)。

• 有理數(shù)冪可以通過N次方根定義，任何非0實數(shù)次冪都可以這樣定義
• 自然對數(shù)可以被用來通過指數(shù)函數(shù)定義實數(shù)冪

N次方根編輯

一個數(shù)a的n次方根是x，x使${\displaystyle x^{n}=a}$ 。

如果a是一個正實數(shù)，n是正整數(shù)，那么方程${\displaystyle x^{n}=a}$ 只有一個正實數(shù)根。 這個根被稱為a的n次方根，記作：${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ ，其中${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ 叫做根號?；蛘?，a的n次方根也可以寫成${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}$ . 例如${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}$ 

當(dāng)指數(shù)是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 時根號上的2可以省略，如：${\displaystyle {\sqrt {4}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}$ 

有理數(shù)冪編輯

有理數(shù)指數(shù)通?？梢岳斫獬?/p>

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ 

e的冪編輯

這個重要的數(shù)學(xué)常數(shù)e，有時叫做歐拉數(shù)，近似2.718，是自然對數(shù)的底。它提供了定義非整數(shù)指數(shù)冪的一個方法。 它是從以下極限定義的：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

指數(shù)函數(shù)的定義是：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ 

可以很簡單地證明e的正整數(shù)k次方${\displaystyle e^{k}}$ 是：

${\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1 {\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1 {\frac {k}{m}}\right)^{m}}$ 

實數(shù)指數(shù)冪編輯

因為所有實數(shù)可以近似地表示為有理數(shù)，任意實數(shù)指數(shù)x可以定義成^[3]：

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}$ 

例如：

${\displaystyle x\approx 1.732}$ 

于是

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$ 

實數(shù)指數(shù)冪通常使用對數(shù)來定義，而不是近似有理數(shù)。

自然對數(shù)${\displaystyle \ln {x}}$ 是指數(shù)函數(shù)${\displaystyle e^{x}}$ 的反函數(shù)。 它的定義是：對于任意${\displaystyle b>0}$ ，滿足

${\displaystyle b=e^{\ln b}}$ 

根據(jù)對數(shù)和指數(shù)運算的規(guī)則：

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$ 

這就是實數(shù)指數(shù)冪的定義：

${\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}$ 

實數(shù)指數(shù)冪${\displaystyle b^{x}}$ 的這個定義和上面使用有理數(shù)指數(shù)和連續(xù)性的定義相吻合。對于復(fù)數(shù)，這種定義更加常用。

如果a是負數(shù)且n是偶數(shù)，那么${\displaystyle x^{n}=a}$ 無實數(shù)解。 如果a是負數(shù)且n是奇數(shù)，那么${\displaystyle x^{n}=a}$ 有一個負數(shù)解。

使用對數(shù)和有理數(shù)指數(shù)都不能將${\displaystyle a^{k}}$ （其中a是負實數(shù)，k實數(shù)）定義成實數(shù)。在一些特殊情況下，給出一個定義是可行的：負指數(shù)的整數(shù)指數(shù)冪是實數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪對于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ （n是奇數(shù)）可以使用n次方根來計算，但是因為沒有實數(shù)x使${\displaystyle x^{2}=-1}$ ，對于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ （n是偶數(shù)）時必須使用虛數(shù)單位i。

使用對數(shù)的方法不能定義a ≤ 0時的${\displaystyle a^{k}}$ 為實數(shù)。實際上，${\displaystyle e^{x}}$ 對于任何實數(shù)x都是正的，所以${\displaystyle \ln(a)}$ 對于負數(shù)沒有意義。

使用有理數(shù)指數(shù)冪來逼近的方法也不能用于負數(shù)a因為它依賴于連續(xù)性。函數(shù)${\displaystyle f(r)=a^{r}}$ 對于任何正的有理數(shù)a是連續(xù)的，但是對于負數(shù)a，函數(shù)f在有些有理數(shù)r上甚至不是連續(xù)的。

例如：當(dāng)a = -1，它的奇數(shù)次根等于-1。所以如果n是正奇數(shù)整數(shù)，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}$ 當(dāng)m是奇數(shù)，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}$ 當(dāng)m是偶數(shù)。雖然有理數(shù)q使${\displaystyle -1^{q}=1}$ 的集合是稠密集，但是有理數(shù)q使${\displaystyle -1^{q}=-1}$ 的集合也是。所以函數(shù)${\displaystyle -1^{q}}$ 在有理數(shù)域不是連續(xù)的。

e的虛數(shù)次冪編輯

復(fù)數(shù)運算的幾何意義和e的冪可以幫助我們理解${\displaystyle e^{ix}}$ （x是實數(shù)）。想象一個直角三角形(0, 1, 1 ix/n)（括號內(nèi)是復(fù)數(shù)平面內(nèi)三角形的三個頂點），對于足夠大的n，這個三角形可以看作一個扇形，這個扇形的中心角就等于x/n弧度。對于所有k，三角形(0, (1 ix/n)^k, (1 ix/n)^{k 1})互為相似三角形。所以當(dāng)n足夠大時(1 ix/n)ⁿ的極限是復(fù)數(shù)平面上的單位圓上x弧度的點。這個點的極坐標是(r, θ) = (1, x),，直角坐標是（cos x, sin x）。所以${\displaystyle e^{ix}=\cos x i\sin x}$ 。這就是歐拉公式，它通過復(fù)數(shù)的意義將代數(shù)學(xué)和三角學(xué)聯(lián)系起來了。

等式${\displaystyle e^{z}=1}$ 的解是一個整數(shù)乘以2iπ^[4]：

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$ 

更一般地，如果${\displaystyle e^=a}$ ，那么${\displaystyle e^{z}=a}$ 的每一個解都可以通過將2iπ的整數(shù)倍加上b得到：

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b 2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$ 

這個復(fù)指數(shù)函數(shù)是一個有周期2iπ的周期函數(shù)。

更簡單的：${\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x iy}=e^{x}(\cos y i\sin y)}$ 。

三角函數(shù)編輯

根據(jù)歐拉公式，三角函數(shù)余弦和正弦是：

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z} e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$ 

歷史上，在復(fù)數(shù)發(fā)明之前，余弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將復(fù)雜的三角函數(shù)的求和公式轉(zhuǎn)換成了簡單的指數(shù)方程

${\displaystyle e^{i\cdot (x y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}$ 

使用了復(fù)數(shù)指數(shù)冪之后，很多三角學(xué)問題都能夠使用代數(shù)方法解決。

e的復(fù)數(shù)指數(shù)冪編輯

${\displaystyle e^{x iy}}$ 可以分解成${\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}$ 。其中${\displaystyle e^{x}}$ 是${\displaystyle e^{x iy}}$ 的模，${\displaystyle e^{iy}}$ 決定了${\displaystyle e^{x iy}}$ 的方向

正實數(shù)的復(fù)數(shù)冪編輯

如果a是一個正實數(shù)，z是任何復(fù)數(shù)，${\displaystyle a^{z}}$ 定義成${\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}$ ，其中x = ln(a)是方程${\displaystyle e^{x}=a}$ 的唯一解。所以處理實數(shù)的方法同樣可以用來處理復(fù)數(shù)。

例如：

${\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2} i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692 0.63896i}$ 

${\displaystyle e^{i}=0.54030 0.84147i}$ 

${\displaystyle 10^{i}=-0.66820 0.74398i}$ 

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}$ 

當(dāng)函數(shù)名后有上標的數(shù)（即函數(shù)的指數(shù)），一般指要重復(fù)它的運算。例如${\displaystyle f^{3}(x)}$ 即${\displaystyle f(f(f(x)))}$ 。特別地，${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 指${\displaystyle f(x)}$ 的反函數(shù)。

但三角函數(shù)的情況有所不同，一個正指數(shù)應(yīng)用于函數(shù)的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數(shù)為-1時則表示其反函數(shù)。例如：${\displaystyle (\sin x)^{-1}}$ 表示${\displaystyle \csc x}$ 。因此在三角函數(shù)時，使用${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ 來表示${\displaystyle \sin x}$ 的反函數(shù)${\displaystyle \arcsin x}$ 。

最快的方式計算${\displaystyle a^{n}}$ ，當(dāng)n是正整數(shù)的時候。它利用了測試一個數(shù)是奇數(shù)在計算機上是非常容易的，和通過簡單的移所有位向右來除以2的事實。

偽代碼：

在C/C 語言中，你可以寫如下算法：

此算法的時間復(fù)雜度為${\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}$ ，比普通算法快（a自乘100次，時間復(fù)雜度為${\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}$ ），在n較大的時候更為顯著。

例如計算${\displaystyle a^{100}}$ ，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算${\displaystyle a^{n}(n<0)}$ 可先以上述算法計算${\displaystyle a^{|n|}}$ ，再作倒數(shù)。

• 迭代冪次

• 指數(shù)的歷史