勾股定理，是幾何學中一顆璀璨的明珠，是幾何學的奠基定理，在高等數(shù)學和其他學科學領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用。勾股定理發(fā)現(xiàn)最早的人是我國公元前1100年左右的西周時期的數(shù)學家商高，根據(jù)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，因而勾股定理又稱商高定理。成書于公元前1世紀的《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，并系統(tǒng)介紹了勾股定理及其在測量上的應(yīng)用以及怎樣引用到天文計算。

有的國家稱勾股定理為“畢達哥拉斯定理”。這是由于在商高發(fā)現(xiàn)勾股定理500多年后，希臘的著名數(shù)學家畢達哥拉斯（約公元前580～前500）才發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上一些國家也稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客，大餐遲遲不上桌，貴賓頗有怨言；但善于觀察和理解的數(shù)學家畢達哥拉斯卻凝視腳下排列規(guī)則、美麗整齊的方形磁磚，拿出畫筆蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線為邊畫一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很好奇，于是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發(fā)現(xiàn)這個正方形之面積等于5塊磁磚的面積，至此畢達哥拉斯作了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。

2000多年來，人們對勾股定理的證明饒有興趣，由于這個定理重要、基本、貼近生活，以至于平民百姓，帝王總統(tǒng)都熱心證明，因而新的證法不斷出現(xiàn)，下面筆者向大家介紹幾種證明方法。

1、趙爽弦圖證明方法：趙爽弦圖是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的。趙爽圖指出：如圖3，四個全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形（黃色）

趙爽利用弦圖證明勾股定理的思路如下：把邊長分別為a、b的兩個正方形連在一起，如圖1，它的面積是a方＋b方；另一方面，這個圖形可分割成四個全等的直角三角形（紅色）和一個正方形形（黃色），把圖（2）中左右兩個三角形移到圖（2）上面所示的位置，就會形成一個以c為邊長的正方形，如圖（3），因為圖（1）與圖（3）的面積相等，因此有a方＋b方＝c方，勾股定理得證。

趙爽的證明別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學的驕傲，因此這個圖案（圖3）被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會徽。

2、畢達哥拉斯的證明：

圖（1）與圖（2）都是邊長為a＋b的正方形，其面積相等，然左邊正方形的面積為

畢達哥拉斯的證明也是巧奪天工。數(shù)形結(jié)合的典范。

3、美國第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證明：如圖，把兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使C、B、D三點在一條直線上，不難證明梯形ACDE是直角梯形，△ABE是等腰直角三角形，且3個三角形的面積之和等于梯形的面積。即：

勾股定理的證明，還有很多證明方法如：

4、利用幾何射影定理證明：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，作CD⊥AB于D，

5、利用切割線定理證明：

在Rt△ABC中，∠C＝90o，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c

以BC為半徑作⊙B交AB于D，交AB的延長線于E

則AC切⊙B于C，由切割線定理得：

6.利用內(nèi)切圓半徑及面積證明

設(shè)Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A、∠B、∠C對的邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓為⊙O，⊙O切BC、AB、AC于D、E、F，則AF＝AE，BE＝BD，CD＝CF，易證CDOF是正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則CD＝CF＝r，∵b＝CF＋AF＝r＋AE，同理：a＝r＋BE，

∴a＋b＝2r＋AE＋BF＝2r＋c，∴a＋b－c＝2r，∴a＋b＝2r＋c， ①

7、三角函數(shù)法證明

設(shè)Rt△ABC中∠C＝90o∠A、∠B、∠C對的邊分別為a、b、c，

則a＝csinA，b＝ccosA，

8、托勒密定理證明

如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝a，BC＝b，AB＝c，外接圓為⊙O，延長CO交⊙O于D，連AD、BD，則ACBD為矩形。由托勒密定理得

AC·BD＋AD·BC＝AB·CD，∵AC=BD=a，AD=BC=b，AB=CD=c

勾股定理證明方法頗多。有人統(tǒng)計約有400種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一，這足以說明勾股定理深入人心，運用廣泛。