勾股定理，一個偉大的定理。

在無數(shù)個關(guān)于最重要的數(shù)學(xué)公式（定理）的排行榜中都有它的一席之地。

簡潔，明了。

據(jù)說，到目前為止，關(guān)于勾股定理一共有400多種證法，甚至連美國第17任總統(tǒng)加菲爾德也給出過一種證明方法。四十多年前剛恢復(fù)高考的時候，還曾經(jīng)把勾股定理的證明放到高考數(shù)學(xué)的試題中去，當(dāng)年還難道過一大片考生。

在西方，勾股定理又被稱為畢達哥拉斯定理。從名字上就可以知道，在歐洲，這個定理最早是由畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的。畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理之后過于興奮，直接就宰了一百頭牛大宴賓客，所以又叫百牛定理。這個定理還有個很牛逼的后果就是直接導(dǎo)致了無理數(shù)被發(fā)現(xiàn)，由此還引發(fā)了一場血案，由于本書的空白處太少寫不下，有興趣的可以網(wǎng)上搜一下。

言歸正傳，我們來看看勾股定理的內(nèi)容：

已知直角三角形三邊為a，b，c，其中a，b為直角邊，則  

我們就挑一種最通俗易懂的證明方法來證一下。

如圖所示，把四個全等的直角三角形拼成一個正方形，則大正方形的面積等于四個直角三角形和里面小正方形的面積和，于是：

移項即得定理。

是不是很簡潔？

這個定理在平面幾何中有著非常廣泛的應(yīng)用，接下來我們就來看看在求面積的問題中它能發(fā)揮什么作用。為了方便，對于直角三角形我們簡寫做Rt△，今后不再說明。

例：已知在等腰Rt△ABC中，斜邊AB上有點D，已知CD=7，BD-AD=4，求△ABC的面積。

如果我們已經(jīng)知道了有勾股定理這個工具，那我該如何判斷這個題目是否用勾股定理來做呢？

首先當(dāng)然看有沒有直角，如果題目中一個直角都沒有，那么確實很難想到用勾股定理，本題中有直角，所以勾股定理可以用——但這并不是首先想到的。

題目要求的是△ABC的面積，而且是等腰直角三角形，所以我們只要知道一條直角邊這個題目就做完了，因此最容易想到的思路應(yīng)該是求AC或者BC的長度。

對小學(xué)生來說，沒有三角的工具，這個看來很難做到——否則的話余弦定理一下子就能把所有的線段都算得明明白白的。

既然此路不通，那么只剩下求斜邊AB以及AB邊上的高這一條路了，對不對？

此時我們?nèi)匀粵]有想到用勾股定理的話也是正常的，只是這個時候應(yīng)該要想到過C作CH垂直于AB，很顯然，如果我們再拼一個一模一樣的等腰直角三角形上去構(gòu)成一個正方形，可以看出CH恰好是一條對角線的一半——也就是AB的一半，因此求出CH題目就做完了。

此時BD-AD=4，顯然DH=(BD-AD)/2=2，所以

 問題來了，小學(xué)生開根號沒學(xué)過怎么辦？

肯定有繞開的辦法?。”绕馃o法算出AC和BC的長度來說，能算出斜邊上高的平方已經(jīng)是個不小的收獲了！我們注意到AB=2CH，而△ABC的面積等于1/2×AB×CH=1/2 ×2CH×CH，于是我們得到最后的結(jié)果就是45。

等等，勾股定理怎么不知不覺就用出來了？

很正常啊，找思路，一定是找最自然的那條路。一組底和高不能用，就換一組，換完了以后發(fā)現(xiàn)已知線段長度都能用的上，那不就做完了？