三角學(xué)回顧來源:圖靈社區(qū) 編輯:Gemini 學(xué)習(xí)微積分必須要了解三角學(xué). 說實話, 我們一開始不會碰到很多有關(guān)三角學(xué)的內(nèi)容, 但當它們出現(xiàn)的時候, 會讓我們感覺不容易. 因此, 我們不妨針對三角學(xué)最重要的一些方面進行一次全面的回顧:
準備開始回憶吧 …… 2.1 基本知識首先要回憶的是弧度的概念. 旋轉(zhuǎn)一周, 我們說成 2π 弧度而不是 360°. 這似乎有點古怪, 但這里也有一個理由, 那就是半徑為 1 個單位的圓的周長是 2π 個單位. 事實上, 這個圓的一個扇形的弧長就是這個扇形的圓心角的弧度, 如圖 2-1 所示. 上圖表示了一般情況, 但要緊的還是一些常用角的度和弧度表達. 首先, 你應(yīng)該確實掌握, 90° 和 π/2 弧度是一樣的. 類似地, 180° 和 π 弧度是一樣的, 270° 和 3π/2 弧度是一樣的. 一旦掌握了這幾個角, 就試著將圖 2-2 中所有的角在度與弧度之間來回轉(zhuǎn)換吧. 更一般地, 如果需要的話, 也可以使用公式 用弧度度量的角 用度度量的角. 例如, 要想知道 5π/12 弧度是多少度, 可求解 用度計量的角, 你會發(fā)現(xiàn) 5π/12 弧度就是 (180/π) × (5π/12) = 75°. 事實上, 可以將弧度和度的轉(zhuǎn)換看成是一種單位的轉(zhuǎn)換, 如英里和公里的轉(zhuǎn)換一樣. 轉(zhuǎn)換因數(shù)就是 π 弧度等于 180°. 到目前為止, 我們僅僅研究了角, 現(xiàn)在來看看三角函數(shù)吧. 顯然, 你必須知道如何由三角形來定義三角函數(shù). 假設(shè)我們有一個直角三角形, 除直角外的一角被記為 θ, 如圖 2-3 所示. 那么, 基本公式為 sin (θ) = , cos (θ) =, tan (θ) =. 當然, 如果變換了角 θ, 那么也必須變換其對邊和鄰邊, 如圖 2-4 所示. 毫不奇怪, 對邊就是對著角 θ 的邊, 而鄰邊則是挨著角 θ 的邊. 不過, 斜邊始終保持不變: 它是最長的那條邊, 并始終對著直角. 我們也會用到余割、正割和余切這些倒數(shù)函數(shù), 它們的定義分別為 如果你有計劃要參加一次微積分的考試 (或者即便你沒有), 我的一點建議是: 請熟記常用角 0, π/6, π/4, π/3, π/2 的三角函數(shù)值. 例如, 你能不假思索化簡 sin (π/3) 嗎?tan (π/4) 呢?如果你不能, 那么最好的情況下, 你通過畫三角形來尋找答案, 從而白白浪費時間; 而最壞的情況下, 由于總是沒有化簡你的回答, 你白白丟掉分數(shù)。 解決的方法就是要熟記下表.
表中的星號表示 tan (π/2) 無定義. 事實上, 正切函數(shù)在 π/2 處有一條垂直漸近線 (從圖像上看會很清楚, 我們將在 2.3 節(jié)對此進行研究). 無論如何, 你必須能夠熟練地說出該表中的任意一項, 而且來回都要掌握! 這意味著你必須能夠回答兩類問題. 這兩類問題的例子是: (1) sin (π/3) 是什么?(使用該表, 答案是 . ) (2) 介于 0 到 π/2, 其正弦值為 的角是什么?(顯然, 答案是 π/3. ) 當然, 你必須能夠回答該表中的每一項所對應(yīng)的這兩類問題. 就算我求大家了, 請背熟這張表! 數(shù)學(xué)不是死記硬背, 但有些內(nèi)容是值得記憶的, 而這張表一定位列其中. 因此, 無論是制作記憶卡片, 讓你的朋友來測驗?zāi)? 還是每天抽一分鐘記憶, 不管用什么辦法, 請背熟這張表. 2.2 擴展三角函數(shù)定義域上表 (你背熟了嗎?) 僅僅包括介于 0 到 π/2 的一些角. 但事實上, 我們可以取任意角的正弦或者余弦, 哪怕這個角是負的. 對于正切函數(shù), 我們則不得不小心些. 例如, 上面我們看到的 tan (π/2) 是無定義的. 盡管如此, 我們還是能夠?qū)缀趺恳粋€角取正切. 讓我們首先來看看介于 0 到 2π (記住, 2π 就是 360°) 的角吧. 假設(shè)你想要計算 sin (θ) (或 cos (θ) 或 tan (θ)), 其中 θ 是介于 0 到 π/2 的角. 為了看得更清楚, 我們先來畫一個帶有一點古怪標記的坐標平面, 如圖 2-5 所示. 注意到坐標軸將平面分成了四個象限, 標記為Ⅰ到Ⅳ, 且標記的走向為逆時針方向. 這些象限分別被稱為第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 下一步是要畫一條始于原點的射線 (就是半直線). 那么究竟是哪一條射線呢?這取決于角 θ. 來想象一下, 你自己站在原點上, 面向 x 軸的正半軸. 現(xiàn)在沿著逆時針方向轉(zhuǎn)動角 θ, 然后你沿著一條直線向前走. 你的足跡就是你要找的那條射線了. 現(xiàn)在, 圖 2-5 (以及圖 2-2) 中的其他標記就說得通了. 事實上, 如果你轉(zhuǎn)動了角 π/2, 你將正面向上并且你的足跡將是 y 軸的正半軸. 如果你轉(zhuǎn)動了角 π, 你將得到 x 軸的負半軸. 如果你轉(zhuǎn)動了角 3π/2, 你將得到 y 軸的負半軸. 最后, 如果你轉(zhuǎn)動了角 2π, 那么就又會回到了你起始的那個位置, 即面向 x 軸的正半軸. 這就好像你根本沒轉(zhuǎn)動過! 這就是為什么圖中會有 0 ≡ 2π. 對于角度而言, 0 和 2π 是等價的. 好了, 讓我們?nèi)∧硞€角 θ 并以恰當?shù)姆绞疆嫵鏊? 或許它就在第三象限的某個地方, 如圖 2-6 所示. 注意到我們將這條射線標記為 θ, 而不是這個角本身. 不管怎樣, 現(xiàn)在在這條射線上選取某個點并從該點畫一條垂線至 x 軸. 我們對三個量感興趣:該點的 x 坐標和 y 坐標 (當然它們被稱為 x 和 y), 以及該點到原點的距離, 我們稱為 r. 注意, x 和 y 可能會同時為負 (事實上, 在圖 2-7 中它們均為負). 然而, r 總是正的, 因為它是距離. 事實上, 根據(jù)畢達哥拉斯定理 (即勾股定理), 不管 x 和 y 是正還是負, 我們總會有 . (平方會消除任何負號.) 有了這三個量, 我們就可以定義如下的三個三角函數(shù)了: 將量 x、y 和 r 分別解釋為鄰邊、對邊和斜邊, 這些函數(shù)恰好就是 2.1 節(jié)中的固定公式了. 不過等一下, 如果你在那條射線上選取了另外一個點, 那會是什么樣子呢? 這不要緊, 因為你得到的新的三角形和原來的那個三角形是相似的, 而上述比值不會受到任何影響. 事實上, 為方便起見, 我們常常假設(shè) r = 1, 這樣得到的點 (x, y) 會落在所謂的單位圓 (就是以原點為中心, 半徑為 1 的圓) 上. 現(xiàn)在來看一個例子. 假設(shè), 我們想求 sin (7π/6). 首先, 7π/6 會在第幾象限呢? 我們需要決定 7π/6 會出現(xiàn)在列表 0, π/2, π, 3π/2, 2π 的哪個地方. 事實上, 7/6 大于 1 但小于 3/2, 故 7π/6 在 π 和 3π/2 之間. 事實上, 圖 2-8 看起來很像前面的例子. 2.2.1 ASTC 方法上例中的關(guān)鍵是將 sin (7π/6) 和 sin (π/6) 聯(lián)系起來, 其中 π/6 是 7π/6 的參考角. 事實上, 并不難看出任意角的正弦就是其參考角正弦的正值或負值! 這就使問題縮小到兩種可能性上, 而且沒有必要再 x, y 或 r 如此這般麻煩. 因此, 在我們的例子中, 只需要求出 7π/6 的參考角, 即 π/6; 這就會立即可知 sin (7π/6) 等于 sin (π/6) 或 -sin (π/6), 而我們只需從中選出正確的結(jié)果. 我們發(fā)現(xiàn), 結(jié)果是負的那個, 因為 y 是負的. 事實上, 在第三或第四象限中的任意角的正弦必定為負, 因為那里的 y 為負. 類似地, 在第二或第三象限中的任意角的余弦必定為負, 因為那里的 x 為負. 正切是比值 y/x, 它在第二和第四象限為負 (由于 x 和 y 中的一個為負, 但不全為負), 而在第一和第三象限為正. 讓我們來總結(jié)一下這些發(fā)現(xiàn)吧. 首先, 所有三個函數(shù)在第一象限 (I) 中均為正. 在第二象限 (II) 中, 只有正弦為正, 其他兩個函數(shù)均為負. 在第三象限 (III) 中, 只有正切為正, 其他兩個函數(shù)均為負. 最后, 在第四象限 (IV) 中, 只有余弦為正, 其他兩個函數(shù)均為負. 具體如圖 2-10 所示. 事實上, 你只需要記住圖表中的字母 ASTC 就行了. 它們會告訴你在那個象限中哪個函數(shù)為正. “A” 代表 “全部”, 意味著所有的函數(shù)在第一象限均為正. 顯然, 其余的字母分別代表正弦、正切和余弦. 在我們的例子中, 7π/6 在第三象限, 所以只有正切函數(shù)在那里為正. 特別地, 正弦函數(shù)為負, 又由于我們已經(jīng)把 sin (7π/6) 的可能取值縮小到 1/2 或 -1/2 了, 因此結(jié)果一定是負的那個, 即 sin (7π/6) = -1/2. ASTC 圖唯一的問題在于, 它沒有告訴我們該如何處理角 0, π/2, π 或 3π/2, 因為它們都位于坐標軸上. 這種情況下, 最好是先忘記所有 ASTC 的內(nèi)容, 然后以恰當?shù)姆绞疆嬕粋€ y = sin (x) (或 cos (x), 或 tan (x)) 的圖像, 并且從圖像中讀取數(shù)值. 我們將在 2.3 節(jié)對此進行研究. 以下是用 ASTC 方法來求介于 0 到 2π 的角的三角函數(shù)值的總結(jié). (1) 畫出象限圖, 確定在該圖中你感興趣的角在哪里, 然后在圖中標出該角. (2) 如果你想要的角在 x 軸或 y 軸上 (即沒有在任何象限中), 那么就畫出三角函數(shù)的圖像, 從圖像中讀取數(shù)值 (2.3 節(jié)有一些例子). (3) 否則, 找出在代表我們想要的那個角的射線和 x 軸之間最小的角, 這個角被稱為參考角. (4) 如果可以, 使用那張重要的表來求出參考角的三角函數(shù)值. 那就是你需要的答案, 除了你可能還需要在得到的值前面添一個負號. (5) 使用 ASTC 圖來決定你是否需要添一個負號. 來看一些例子. 如何求 cos (7π/4) 和 tan (9π/13) 呢?我們一個一個地看. 對于 cos (7π/4), 我們注意到 7/4 介于 3/2 和 2 之間, 故該角必在第四象限, 如圖 2-11 所示. 為了求出參考角, 注意到我們必須向上走到 2π (注意! 不是到 0), 因此, 參考角就是 2π 和 7π/4 的差, 即 (2π - 7π/4), 或簡化為 π/4. 所以 cos (7π/4) 是正的或負的 cos (π/4). 根據(jù)表, cos (π/4) 是 . 但到底是正的還是負的呢?由 ASTC 圖可知, 在第四象限中余弦為正, 故結(jié)果為正的那個:. 現(xiàn)在來看一下 tan (9π/13). 我們發(fā)現(xiàn) 9/13 介于 1/2 和 1 之間, 故角 9π/13 在第二象限, 如圖 2-12 所示. 這一次, 我們需要走到 π 以到達 x 軸, 故參考角就是 π 和 9π/13 的差, 即 (π-9π/13), 或簡化為 4π/13. 這樣, 我們知道 tan (9π/13) 是正的或負的 tan (4π/13). 哎呀, 可是數(shù) 4π/13 沒有在我們的表里面, 因此不能化簡 tan (4π/13). 可我們還是需要確定它是正的還是負的. 那好, ASTC 圖顯示, 在第二象限中只有正弦為正, 故正切一定為負, 于是 tan (9π/13) = -tan (4π/13). 這就是不使用近似可以得到的最簡形式. 在求解微積分問題的時候, 我不建議取近似結(jié)果, 除非題目中有明確要求. 一個常見的誤解是, 當你計算如同 -tan (4π/13) 這樣的問題時, 由計算器計算出來的數(shù)就是正確答案. 其實, 那只是一個近似! 所以你不應(yīng)該寫 因為它不正確. 就應(yīng)該寫 -tan (4π/13), 除非有特別的要求, 讓做近似. 在那種情況下, 使用約等號和更少的小數(shù)位數(shù), 并恰當化整近似 (除非要求保留更多小數(shù)位數(shù)): 順便說一下, 你應(yīng)該少用計算器. 事實上, 一些大學(xué)甚至不允許在考試中使用計算器! 因此, 你應(yīng)該盡量避免使用計算器. 2.2.2 [0, 2π] 以外的三角函數(shù)還有一個問題, 就是如何取大于 2π 或小于 0 的角的三角函數(shù). 事實上, 這并不太難, 簡單地加上或減去 2π 的倍數(shù), 直到你得到的角在 0 和 2π 之間. 你看, 它并不是在 2π 就完了. 它是一直在旋轉(zhuǎn). 例如, 如果我讓你站在一點面向正東, 然后逆時針方向旋轉(zhuǎn) 450°, 一種自然的做法是, 你旋轉(zhuǎn)一整周, 然后再旋轉(zhuǎn) 90°. 現(xiàn)在你應(yīng)該是面向正北. 當然, 另一種不那么頭暈?zāi)垦5淖龇ㄊ? 你只逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°, 而你面向的是同樣的方向. 因此, 450° 和 90° 是等價的角. 當然, 這對于弧度來說也一樣. 這種情況下, 5π/2 弧度和 π/2 弧度是等價的角. 但為什么要止步于旋轉(zhuǎn)一周呢?9π/2 弧度又如何?這和旋轉(zhuǎn) 2π 兩次 (這樣我們得到 4π), 然后再旋轉(zhuǎn) π/2 是一樣的. 因此, 在得到最終的 π/2 之前, 我們做了兩周徒勞的旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)周數(shù)無關(guān)緊要, 我們再次得到 9π/2 和 π/2 等價. 這個過程可以被無限地擴展下去, 以得到等價于 π/2 的角的一個家族: 當然, 這其中的每一個角都比第一個角多一個整周旋轉(zhuǎn), 即 2π. 但這仍然還沒算完. 如果你做了所有這些逆時針旋轉(zhuǎn), 并感到頭暈?zāi)垦? 或許你也會要求做一個或兩個順時針旋轉(zhuǎn)來緩和一下. 這就相當于一個負角. 特別地, 如果你面向東, 我讓你逆時針旋轉(zhuǎn) -270°, 對我這個怪異要求唯一合理的解釋就是順時針旋轉(zhuǎn) 270°(或 3π/2). 顯然, 你最終仍然會面向正北, 因此, -270° 和 90° 一定是等價的. 確實, 我們將 360° 加到 -270° 上就會得到 90° . 使用弧度, 我們則看到, -3π/2 和 π/2 是等價的角. 另外, 這個序列沒有開端也沒有結(jié)束. 當我說它是 “完全的” 時, 我用前后兩頭的省略號代表了無窮多個角. 為了避免這些省略號, 我們可以使用集合符號 {π/2 + 2πn}, 其中 n 可以取所有整數(shù). 來看一下是否可以應(yīng)用它吧. 如何求 sec (15π/4) 呢?首先, 注意到如果我們能夠求出 cos (15π/4), 所要做的就是取其倒數(shù)以得到 sec (15π/4). 因此, 讓我們先求 cos (15π/4). 由于 15/4 大于 2, 讓我們先試著消去 2. 這樣, 15/4 - 2 = 7/4, 現(xiàn)在它介于 0 和 2 之間, 這看上去很有希望了. 代入 π, 我們看到 cos (15π/4) 和 cos (7π/4) 是一樣的, 并且我們已經(jīng)求出其結(jié)果為 . 因此, . 取其倒數(shù), 我們發(fā)現(xiàn) sec (15π/4) 就是 . 最后, sin (-5π/6) 又如何呢?有很多方法來求解此問題, 但上面提到的方法是試著將 2π 的倍數(shù)加到 -5π/6 上, 直到結(jié)果是介于 0 到 2π 的. 事實上, 2π 加上 -5π/6 得 7π/6, 因此, sin (-5π/6) = sin (7π/6), 后者我們已經(jīng)知道等于 -1/2. 另外, 我們也可以直接畫圖 2-13. 現(xiàn)在, 你必須找出圖中的參考角. 不難看出, 它是 π/6, 然后一如前述. 2.3 三角函數(shù)的圖像記住正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像會非常有用. 這些函數(shù)都是周期的, 這意味著, 它們從左到右反復(fù)地重復(fù)自己. 例如, 我們考慮 y = sin (x). 從 0 到 2π 的圖像看上去如圖 2-14 所示. 你應(yīng)該做到能夠不假思索就畫出這個圖像, 包括 0, π/2, π, 3π/2 和 2π 的位置. 由于 sin (x) 以 2π 為單位重復(fù) (我們說 sin (x) 是 x 的周期函數(shù), 其周期為 2π), 通過重復(fù)該模式, 我們可以對圖像進行擴展, 得到圖 2-15. 從圖像中讀值, 可以看到 sin (3π/2) = -1, sin (-π) = 0. 正如之前注意到的, 你應(yīng)該這樣去處理 π/2 的倍數(shù)的問題, 而不用再找參考角那么麻煩了. 另一個值得注意的是, 該圖像關(guān)于原點有 180° 點對稱性, 這意味著, sin (x) 是 x 的奇函數(shù). (我們在 1.4 節(jié)中分析過奇偶函數(shù).) y = cos (x) 的圖像和 y = sin (x) 的圖像類似. 當 x 在從 0 到 2π 上變化時, 它看起來就像圖 2-16. 現(xiàn)在, 利用 cos (x) 是周期函數(shù)及其周期為 2π 這一事實, 可對該圖像進行擴展, 得到圖 2-17. 例如, 如果你想要求 cos (π), 只需從圖像上讀取, 你會看到結(jié)果是 -1. 此外, 注意到該圖像關(guān)于 y 軸有鏡面對稱性. 這說明, cos (x) 是 x 的偶函數(shù). 現(xiàn)在, y = tan (x) 略有不同. 最好是先畫出 x 介于 -π/2 到 π/2 的圖像, 如圖 2-18 所示. 與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)不同的是, 正切函數(shù)有垂直漸近線. 此外, 它的周期是 π, 而不是 2π. 因此, 上述圖樣可以被重復(fù)以便得到 y = tan (x) 的全部圖像, 如圖 2-19 所示. 很明顯, 當 x 是 π/2 的奇數(shù)倍數(shù)時, y = tan (x) 有垂直漸近線 (因而此處是無定義的). 此外, 圖像的對稱性表明, tan (x) 是 x 的奇函數(shù). y = sec (x)、y = csc (x) 及 y = cot (x) 的函數(shù)圖像也值得我們?nèi)W(xué)習(xí), 它們分別如圖 2-20、圖 2-21 及圖 2-22 所示. 從它們的圖像中, 可以得到所有六個基本三角函數(shù)的對稱性的性質(zhì), 這些也都值得學(xué)習(xí). 因此, 對于所有的實數(shù) x, 我們有 sin (-x) = -sin (x), tan (-x) = -tan (x), cos (-x) = cos (x). 2.4 三角恒等式三角函數(shù)間的關(guān)系用來十分方便. 首先, 注意到正切和余切可以由正弦和余弦來表示: (有時, 根據(jù)這些恒等式, 用正弦和余弦來代替每一個正切和余切會有幫助, 但這只是你被卡住時不得已而為之的下下策.) 所有三角恒等式中最重要的就是畢達哥拉斯定理了 (用三角函數(shù)表示), 這對于任意的 x 都成立. (為什么這是畢達哥拉斯定理呢?如果直角三角形的斜邊是 1, 其中一個角為 x, 自己驗證三角形的其他兩條邊長就是 cos (x) 和 sin (x).) 現(xiàn)在, 讓這個等式兩邊同除以 cos2 (x). 你應(yīng)該能夠得到以下結(jié)果: 該公式在微積分里也會經(jīng)常出現(xiàn). 另外, 你也可以將畢達哥拉斯定理等式兩邊同除以 sin2 (x), 得到以下等式: 這個公式好像沒有其他公式出現(xiàn)得那么頻繁. 三角函數(shù)之間還有其他一些關(guān)系. 你注意到了嗎?一些函數(shù)的名字是以音節(jié) “co” 開頭的. 這是 “互余” (complementary) 的簡稱. 說兩個角互余, 意味著它們的和是 π/2 (或 90°). 可不是說它們相互恭維. 好吧, 不玩雙關(guān)了, 事實是有以下一般關(guān)系: 三角函數(shù) (x) = co-三角函數(shù). 特別地, 有: 甚至當三角函數(shù)名中已經(jīng)帶有一個 “co” 時, 以上公式仍然適用; 你只需要認識到, 余角的余角就是原始的角! 例如, co-co-sin 事實上就是 sin, co-co-tan 事實上就是 tan. 基本上, 這意味著我們還可以說: 最后, 還有一組恒等式值得我們學(xué)習(xí). 這些恒等式涉及角的和與倍角公式. 特別地, 我們應(yīng)該記住下列公式: 還應(yīng)該記住, 你可以切換所有的正號和負號, 得到一些相關(guān)的公式: 對于上述方框公式中的 sin (A + B) 和 cos (A + B), 令 A = B = x, 我們就會得到另一個有用的結(jié)果. 很明顯, 正弦公式是 sin (2x) = 2 sin (x) cos (x). 但讓我們更仔細看一下余弦公式. 它會變成 cos (2x) = cos2 (x) - sin2 (x); 這本身沒錯, 但更有用的是使用畢達哥拉斯定理 sin2 (x) + cos2 (x) = 1 將 cos (2x) 表示成為 2 cos2 (x) - 1 或 1 - 2 sin2 (x) (自已驗證一下它們是成立的!). 綜上, 倍角公式為: 那么如何用 sin (x) 和 cos (x) 來表示 sin (4x) 呢?我們可以將 4x 看作兩倍的 2x, 并使用正弦恒等式, 寫作 sin (4x) = 2 sin (2x) cos (2x). 然后應(yīng)用兩個恒等式, 得到 類似地, 你不用記這后兩個公式; 相反, 你要確保理解了如何使用倍角公式來推導(dǎo)它們. 如果你能夠掌握本章涉及的所有三角學(xué)內(nèi)容, 就能夠很好地學(xué)習(xí)本書的剩余部分了. 因此, 抓緊時間消化這些知識吧. 做一些例題, 并確保你記住了那張很重要的表格和所有方框公式. |
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