數(shù)列求和的方法技巧

劉高峰

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)行高中教材中，只對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行了計(jì)算推導(dǎo)，而數(shù)列種類繁多，形式復(fù)雜，絕大多數(shù)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，也就不能直接用公式來求解。對(duì)于這種非常規(guī)數(shù)列的求和問題，針對(duì)具體情況，現(xiàn)歸結(jié)為以下幾種方法，供大家參考。

一、倒序相加法

此法來源于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法。

例1. 已知求

解：。                        ①

把等式①的右邊順序倒過來寫，即①可以寫成以下式子：

                                 ②

把①②兩式相加得

二、錯(cuò)位相消法

此法來源于等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法。

例2. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解：設(shè)

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，                           ①

①式兩邊同時(shí)乘以公比a，得         ②

①②兩式相減得

三、拆項(xiàng)分組法

把一個(gè)數(shù)列分拆成若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列），然后利用相應(yīng)公式進(jìn)行分別求和。

例3. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則  

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

說明：在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)對(duì)q＝1與的情況進(jìn)行討論。

四、裂項(xiàng)相消法

用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧。如  

例4. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解：

五、奇偶數(shù)討論法

如果一個(gè)數(shù)列為正負(fù)交錯(cuò)型數(shù)列，那么從奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別總結(jié)出與n的關(guān)系進(jìn)行求解。

例5. 已知數(shù)列求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解：對(duì)n分奇數(shù)、偶數(shù)討論求和。

①當(dāng)時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，

六、通項(xiàng)公式法

利用，問題便轉(zhuǎn)化成了求數(shù)列的通項(xiàng)問題。這種方法不僅思路清晰，而且運(yùn)算簡(jiǎn)潔。

例6. 已知數(shù)列求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

解： 即

∴數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列，首項(xiàng)為

七、綜合法

這種方法靈活性比較大，平時(shí)注意培養(yǎng)對(duì)式子的敏銳觀察力，盡量把給定數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列來處理。

例7. 已知求

分析：注意觀察到：

其他可依次類推。關(guān)鍵是注意討論最后的n是奇數(shù)還是偶數(shù)。

解：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由以上的分析可知：

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可知：

由①②可得

說明：對(duì)于以上的各種方法，大家應(yīng)注意體會(huì)其中所蘊(yùn)含的分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，數(shù)列求和的方法還有很多，大家平時(shí)還應(yīng)多注意總結(jié)。