行四邊形的存在性問題是中考二輪復(fù)習(xí)的典型專題，常用的解法有兩種：第1種是代數(shù)法，需要用到高中的中點坐標公式，再結(jié)合平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)，探究出了平行四邊形的頂點坐標公式；第2種是幾何法，通過輔助線構(gòu)造全等三角形，利用圖形性質(zhì)，建立已知點與未知點之間的坐標關(guān)系。 有沒有一種辦法，在不用超綱、不用畫圖的情況下，能秒殺出點的坐標？北師大版教材八年級下冊第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》第1節(jié)內(nèi)容是“圖形的平移”，分為3個課時。第3課時的教學(xué)活動如下（教材71頁）： 將圖中的“魚”向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，得到新“魚”。（2） 能否將新“魚”看成是原“魚”經(jīng)過一次平移得到的？如果能，請指出平移的方向和平移的距離。（3）在原“魚”和新“魚”中，對應(yīng)點的坐標之間有什么關(guān)系？分析：這個課時主要探索依次沿兩個坐標軸方向平移后所得到的圖形與原來圖形之間的關(guān)系，可以看成是由原來的圖形經(jīng)過一次平移得到的，在具體背景中研究圖形變化引起坐標變化的規(guī)律。對應(yīng)點的坐標之間的關(guān)系是：橫坐標之差的絕對值都是水平方向（左右）平移的長度，則對應(yīng)點的橫坐標之差都相等；縱坐標之差的絕對值都是豎直方向（上下）平移的長度，則對應(yīng)點的縱坐標之差都相等。至此，無論平移方向如何，在坐標系中，都找到了平移與坐標的關(guān)系。 反思： 在八年級的教學(xué)中，學(xué)生都能在小學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在坐標系中畫出平移后的“魚”，找到對應(yīng)點的坐標之間的關(guān)系，并且能夠一般化，用字母表示對應(yīng)點的坐標。 可是到了九年級，在遇到平行四邊形的存在性問題時，很少有人想到利用平移與坐標的關(guān)系來解決問題?？磥砦覀冊陂喿x教材和應(yīng)用教材上出了問題。 現(xiàn)在重新探究課本的教學(xué)活動， 這次我們不畫“魚”，而是從最簡單的一個點的平移開始看，然后再看一條線段的平移。在坐標系中，點A先向下平移2格到點B，再向右平移3格到點C，坐標有什么變化？ 由A到C也可以看成是由一次平移得到的，平移的方向是AC方向，平移的距離是線段AC的長度。坐標變化是：橫坐標增加3（向右平移3格），縱坐標減少2（向下平移2格）。 由平移的性質(zhì)得：線段AD與CF平行且相等，對應(yīng)點的連線AC與DF也是平行且相等。則四邊形ACFD是平行四邊形。 由平移與坐標的關(guān)系得：對應(yīng)點的橫坐標之差相等，縱坐標之差也相等。當(dāng)知道A（2,4），C（5,2），D（4,6）時，口算即可得出F（7,4）。即橫坐標增加3，縱坐標減少2。 如果用變換的眼光看平行四邊形，平行四邊形不正是由一條線段平移而得到的圖形嗎？ 那么，當(dāng)知道其中三個頂點的坐標時，我們就可以利用平移與坐標的關(guān)系秒殺出第4個頂點的坐標。導(dǎo)入：如圖，已知三點A、B、C三點在平面直角坐標系中，A（-3,1）、B(1，-1)、C(4,3),在平面內(nèi)是否存在一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形。∵A（-3,1）、B(1，-1)、C(4,3)，由坐標與平移的關(guān)系可得：
① 當(dāng)AB為對角線時，得平行四邊形ACBD1，∴點D1（-6，-3）；② 當(dāng)BC為對角線時，得平行四邊形ABD2C，∴點D2（8,1）；③ 當(dāng)AC為對角線時，得平行四邊形ABCD3，∴點D3（0,5）.一般地：若A、B、C三點的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3），寫出第四個頂點D的坐標．解： 在平行四邊形CABD1中，線段AC平移到BD1，因A→B橫坐標增加（x2-x1）、縱坐標增加（y2-y1），根據(jù)坐標平移的性質(zhì)得D1（x3 x2-x1，y3 y2-y1）．同理得D2（x3 x1-x2，y3 y1-y2）,D3（x2 x1-x3，y2 y1-y3）結(jié)論：以不在同一直線上的三點為頂點的平行四邊形有三個．由已知的三點坐標可根據(jù)圖形平移的坐標性質(zhì)，直接寫出第四個頂點的坐標．姑且稱之為平移坐標法．例： 如圖，已知拋物線y=x2-2x-3與 x 軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,拋物線的頂點為M,經(jīng)過M、C兩點作直線與x軸交于點N.(1)在拋物線上是否存在一點，使以點P、A、C、N為頂點的四邊形為平行四邊形？ 若存在，求出所有點P的坐標，若不存在，說明理由。【解析】由題意可得A（-1,0）、C(0，-3)、 N(-3,0)。 屬于三定一動的模型，但與模型相比，又多了拋物線和直線，顯得有些復(fù)雜。1、 只看A、C、N三個定點，找動點P，與模型一致；由已知條件易探究得A、C、N三點坐標為A（-1,0）、C(0，-3)、 N(-3,0)．下面探討以三點A、C、N為頂點的平行四邊形的第四個頂點坐標． 如圖， 由平移的性質(zhì)直接寫出第四個頂點的坐標：以CN為對角線，第四個頂點坐標為P1(-2,-3)；以AC為對角線，第四個頂點坐標為P2(2,-3)；以AN為對角線，第四個頂點坐標為P3(-4,-3)．將其分別代入拋物線y=x2-2x-3中檢驗，其中只有P2(2,-3)在拋物線上．點評：本題已知三個定點坐標的具體數(shù)值，利用三定一動的基本模型，可以根據(jù)坐標平移的性質(zhì)直接寫出第四個頂點的坐標．題目要求第四個頂點在拋物線上，再代入拋物線檢驗即可。 變式： 若拋物線y=x2-2x-3的對稱軸上有一動點G，問:在拋物線上是否存在一點，使以點P、N、C、G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點P的坐標，若不存在，說明理由。【解析】在例題的基礎(chǔ)上，保留定點C、N不變，點P依然是拋物線上的動點，但點G是對稱軸上的動點，這樣就是2定2動。能否轉(zhuǎn)化為3定1動的基本模型？ 我們可以把直線上的動點G看成定點，設(shè)G（1，a）.這樣2定2動就可以轉(zhuǎn)化為3定1動。利用上面例題的解法即可求解。 其中，C（0，-3）、 N （-3,0）、G（1，a），求動點P的坐標，且P在拋物線上。 ∵ C、 N ，點G在對稱軸上，∴可設(shè)G（1，a）P1(-2，a 3),P2(-4,-a-3),P3(4,a-3)
點評：本題已知兩個定點坐標的具體數(shù)值，可以先設(shè)出直線上的動點坐標，把這個點假設(shè)為定點，這樣就可以轉(zhuǎn)化為三定一動的模型，根據(jù)坐標平移的性質(zhì)直接寫出第四個頂點的坐標． 再根據(jù)題目的要求，第四個定點的坐標要在拋物線上，把第四個頂點的坐標代入拋物線，可求出具體數(shù)值。 用“平移坐標法”解平行四邊形存在性問題回避了對復(fù)雜圖形的相互關(guān)系的分析，用平移直線的方法直接寫出第四個點的坐標，跨越了復(fù)雜的推理過程。如果是3定1動，直接套用模型；如果是2定2動，可先設(shè)出直線上點的坐標，轉(zhuǎn)化為3定1動。真正是以不變應(yīng)萬變。 平移坐標法是用動態(tài)的觀點看待幾何圖形——把平行四邊形看成是由一條線段平移而成，用數(shù)的運算來描述圖形的變化——用坐標表示平移，其本質(zhì)是用幾何變換去認識幾何圖形，用代數(shù)方法來解決幾何問題，體現(xiàn)的是解析幾何的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、幾何變換的思想． 閱讀8年級下冊教材《圖形的平移》發(fā)現(xiàn)可以通過平移直接寫出點的坐標，進一步思考發(fā)現(xiàn)，平行四邊形實際上可以看成是由一條線段平移而成，那就可以直接根據(jù)平移寫出頂點坐標。實際就是要用代數(shù)的方法研究幾何問題，加強數(shù)形之間的聯(lián)系，突出數(shù)形結(jié)合的思想． 這啟發(fā)我們在日常的教學(xué)活動中，要加強對教材的研究，及時滲透數(shù)形結(jié)合的思想、幾何變換的思想，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，這樣才能從教材簡單的數(shù)學(xué)活動中獲得解決問題的新方法、新思想，才能引導(dǎo)學(xué)生重視教材，同時培養(yǎng)學(xué)生探索的能力和創(chuàng)新的意識．
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