|
用平移坐標法探究平行四邊形的存在問題 存在性問題是近年來各地中考的熱點，其圖形復(fù)雜，不確定因素較多，對學(xué)生的知識運用分析能力要求較高，有一定的難度．為此借用簡單的平移坐標法來探究平行四邊形的存在性問題． 1. 平移坐標法的探究 1.1 課本習題 題目：（人教版《數(shù)學(xué)》七年級（下）習題6．2第1題） 如圖1，三架飛機P、Q、R保持編隊飛行，分別寫出他們的坐標．30秒后，飛機P飛到P′ 的位置，飛機Q、R飛到了什么位置？分別寫出這三架飛機新位置的坐標．   
圖1 圖2 圖3 分析：三架飛機保持編隊飛行，實際上是三架飛機保持相對位置不變，相當于△PQR作了整體的平移，因此當飛機P平移到P′ 的位置時，飛機Q和R與飛機P進行了相同的平移變換． 解：由圖中看出四個點坐標分別為P（-1,1）、Q（-3,1）、R（-1,-1）、P′（4,3），點P（-1,1）平移到點P′（4,3），橫坐標加了5，縱坐標加了2，所以Q→Q′、R→R′ 的坐標變化也一樣，從而Q′點的坐標為（2，3）、R′點的坐標為（4,1）． 本題中求出點Q′、R′ 坐標依據(jù)的是平移的性質(zhì)：對一個圖形進行平移，圖形上所有點的橫、縱坐標都要相應(yīng)發(fā)生相同的變化． 1.2 模型探究 如圖2，點A、B、C是坐標平面內(nèi)不在同一直線上的三點． （1）畫出以A、B、C三點為頂點的平行四邊形． （2）若A、B、C三點的坐標分別為 、 、 ，寫出第四個頂點D的坐標． 解：（1）如圖3， 過A、B、C分別作BC、AC、AB的平行線，則以A、B、C三點為頂點的平行四邊形有三個：以BC為對角線，有□CABD1；以AC為對角線，有□ABCD2；以AB為對角線，有□ACBD3． （2）在□CABD1中，線段AC平移到BD1，因A→B橫坐標增加（ ）、縱坐標增加（ ），根據(jù)坐標平移的性質(zhì)得D1（ ， ）． 同理得D2（ ，）、D3（，）． 結(jié)論：以不在同一直線上的三點為頂點的平行四邊形有三個．由已知的三點坐標可根據(jù)圖形平移的坐標性質(zhì)，直接寫出第四個頂點的坐標．姑且稱之為平移坐標法． 2. 平移坐標法的運用 平移坐標法能否用來探究平行四邊形的存在性問題呢？ 2.1. 三個定點，一個動點，探究平行四邊形的存在性． 例1 （2009煙臺）如圖4，拋物線與軸交于兩點，與軸交于C點，且經(jīng)過點（，），對稱軸是直線，頂點是． （1） 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式； （2） 經(jīng)過兩點作直線與軸交于點，在拋物線上是否存在這樣的點，使以點P、A、C、N為頂點的四邊形為平行四邊形？ 圖4 圖5 解：（1）拋物線的函數(shù)表達式為． （2）由已知條件易探究得A、C、N三點坐標為A、 C、 N ． 下面探討以三點A、C、N為頂點的平行四邊形的第四個頂點坐標． 如圖5，由平移的性質(zhì)直接寫出第四個頂點的坐標：以CN為對角線，第四個頂點坐標為；以AC為對角線，第四個頂點坐標為；以AN為對角線，第四個頂點坐標為．將其分別代入拋物線中檢驗，其中只有在拋物線上． 點評：本題已知三個定點坐標的具體數(shù)值，可以根據(jù)坐標平移的性質(zhì)直接寫出第四個頂點的坐標．值得注意的是，若沒有約定由三點構(gòu)成的三條線段中哪條為邊或?qū)蔷€，則三種情況都必須考慮． 例2 （2009湖州）已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線與軸相交于點，與直線相交于點． (1) 填空：試用含的代數(shù)式分別表示點與的坐標，則； (2) 如圖6，在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？ 圖6 圖7 解：（1）． （2） 由已知條件易探究得A、C、N三點坐標為A、C、N ． 下面探討以A、C、N三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標，如圖7． 若以CN為對角線，第四個頂點為，代入解析式得，即； 若以AC為對角線，第四個頂點為，代入解析式得，即； 若以AN為對角線，第四個頂點為，代入解析式得＞0，不合題意，無解． ∴所以在拋物線上存在點和，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形． 點評：①本題已知三個定點坐標，雖不是具體數(shù)值（含字母a），但依然可以根據(jù)坐標平移的性質(zhì)直接寫出第四個頂點的坐標．②看上去此法冗長，三種情況必須逐一探究，但思路簡單，解題嚴謹．有些解法通過分析圖形認為以AN為對角線顯然不可能，其實對于學(xué)生來說這個“顯然”并不顯然．拋物線的走向和彎曲程度學(xué)生是難以判斷的，更何況這是一個含字母系數(shù)的二次函數(shù)．這樣討論更嚴謹！ 2.2 兩個定點、兩個動點，探究平行四邊形的存在性。 例3 （2009撫順） 已知：如圖8，關(guān)于的拋物線與軸交于點、點，與軸交于點． （1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標； （2）在拋物線上有一點，使四邊形為等腰梯形，寫出點的坐標，并求出直線的解析式； （3）在（2）中的直線交拋物線的對稱軸于點，拋物線上有一動點，軸上有一動點．是否存在以為頂點的平行四邊形？ 解：（1）拋物線解析式為，頂點坐標是（2，4）． （2）點坐標為， 直線的解析式為． 圖8 圖9 （3）直線與拋物線對稱軸的交點坐標為M（2，2）． 假設(shè)軸上動點Q的坐標為．下面探討以A、M、Q三點為頂點的平行四邊形的第四個頂點坐標．（圖9）． 若以MQ為對角線，第四個頂點坐標為，代入得． 若以AM為對角線，第四個頂點坐標為，代入得． 若以AQ為對角線，第四個頂點坐標為，代入得． ∴存在滿足條件的點有四個： ， ， ， 點評：先假設(shè)一個動點的坐標，將其看成一個定點，按照平移的性質(zhì)，寫出第四個頂點的坐標．再由另一動點應(yīng)滿足的條件，求出相應(yīng)的坐標． 上述例題中總有兩個點在同一坐標軸上，尚可通過平移和旋轉(zhuǎn)來探究平行四邊形的存在問題．如果題目中沒有兩點在同一坐標軸上，難么，難以通過分析圖形的相互位置關(guān)系來探究平行四邊形的存在問題．然而平移坐標法將是解決這一問題的一個法寶．（見附件） 例4 （2009南平）如圖12，已知拋物線： （1）求拋物線的頂點坐標． （2）將向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線，求的解析式． （3）拋物線的頂點為P，軸上有一動點M，在、這兩條拋物線上是否存在點N，使O、P、M、N四點構(gòu)成以OP為一邊的平行四邊形？ 圖12 圖13 解：（1）的頂點坐標是（2，2） （2）＝ （3）假設(shè)軸上動點M坐標為．有已知條件易得P 下面探究以O、P、M三點為頂點（OP為邊）的平行四邊形第四個頂點N的坐標． 如圖13，因為P為拋物線、的最高點，若以PM為對角線，有PN∥OM，則點N不可能在拋物線或上，故不可能存在滿足條件的點；若以OM為對角線，用平移坐標法看出點N坐標為． 若點N 在拋物線上，可得：或； 若點N在拋物線上，可得：或． ∴存在滿足條件的N點有四個： 、、、． 點評：①本題中N點可以在拋物線上，也可以在拋物線上，運動的范圍較大，學(xué)生難以探索，用平移坐標法不必分析復(fù)雜的圖形，降低了分析的難度，體現(xiàn)了平移坐標法強大的解題功效． ②本題中因確定了以OP為一邊，所以只有兩種情況需要探究． 3 平移坐標法的思考 平移坐標法不是探討和論證線段的相等、三角形的全等……，而是用動態(tài)的觀點看待幾何圖形——把平行四邊形看成是由一條線段平移而成，用數(shù)的運算來描述圖形的變化——用坐標表示平移，其本質(zhì)是用幾何變換去認識幾何圖形，用代數(shù)方法來解決幾何問題，體現(xiàn)的是解析幾何的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、幾何變換的思想． 平移坐標法的思路：先由題目條件探索三點的坐標（若只有兩個定點，可設(shè)一個動點的坐標）． 再畫出以三點為頂點的平行四邊形，根據(jù)坐標平移的性質(zhì)寫出第四個頂點的坐標．最后根據(jù)題目的要求（動點在什么曲線上），判斷平行四邊形的存在性． 平移坐標法的特點： ①不會遺漏． 平移坐標法回避了對復(fù)雜圖形的相互關(guān)系的分析；②不需證明．平移坐標法直接寫出第四個點的坐標，跨越了復(fù)雜的推理過程，回避了繁瑣的證明；③不限條件．平移坐標法適用范圍廣，無論定點在什么位置、無論動點在哪幾條曲線上、在什么曲線上，都可以探索，真正是以不變應(yīng)萬變． 由課本習題偶然發(fā)現(xiàn)可以通過平移直接寫出點的坐標，于是筆者進一步研究發(fā)現(xiàn)，新課程把“平面直角坐標系”前移，同時新增了“用坐標表示平移”的內(nèi)容，實際就是要用代數(shù)的方法研究幾何問題，加強數(shù)形之間的聯(lián)系，突出數(shù)形結(jié)合的思想．這啟發(fā)我們在日常的教學(xué)活動中，要加強對新課程的研究，滲透新課程的理念，按照新課程的要求及時滲透數(shù)形結(jié)合的思想、幾何變換的思想，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，這樣才能從教材簡單的例、習題中獲得解決問題的新方法、新思想，才能引導(dǎo)學(xué)生重視教材，同時培養(yǎng)學(xué)生探索的能力和創(chuàng)新的意識． 附：（2007·浙江義烏）如圖10，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2． （1）求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式； （2）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使得以A、C、F、G這樣四點為頂點的四邊形是平行四邊形？ 圖10 圖11 變式 圖11，若已知Q ，點G是拋物線上的動點，在拋物線上是否存在點F，使得以Q、C、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形？ 解題思路： 設(shè)F點坐標為（a, ）,那么轉(zhuǎn)化為三個定點問題，三個定點是Q ，C（2，-3），F（a, ），直接寫出點G坐標，后代入中，就可求出a，從而知F點坐標。 也可設(shè)G點坐標，再寫出F點坐標，代入也可。
|
