充分條件、必要條件判斷的三種方法

  聶海峰

    對于充要條件的判斷，許多同學(xué)感覺困難，下面結(jié)合典型例題說明充要條件判斷的三種常用方法，供大家參考。

  1. 利用定義判斷

    如果已知，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。根據(jù)定義可進(jìn)行判斷。

  例1. 已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s是q的_________條件；r是q的_______________條件；p是q的____________條件。

    解：根據(jù)題意可表示為：

    由傳遞性可得圖1

圖1

    所以s是q的充要條件；r是q的充要條件；p是q的必要條件。

  2. 利用等價(jià)命題判斷

    原命題與其逆否命題是“同真同假”的等價(jià)命題，當(dāng)我們直接判斷原命題的真假有困難時，可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。這一點(diǎn)在充要條件的判斷時經(jīng)常用到。

    由，容易理解p是q的充分條件，而q是p的必要條件卻有點(diǎn)抽象。與是等價(jià)的，可以解釋為若q不成立，則p不成立，條件q是必要的。

  例2. 已知真命題“若則”和“若則”，則“”是“”的____________條件。

    解：“若則”的逆否命題為“若則”。

    又“若”

    所以“若”為真命題。

    故“”是“”的充分條件。

  3. 把充要條件“直觀化”

    如果，我們可以形象地認(rèn)為p是q的“子集”；如果，我們認(rèn)為p不是q的“子集”，根據(jù)集合的包含關(guān)系，可借助韋恩圖說明，現(xiàn)歸納如下。

    圖2反映了p是q的充分不必要條件時的情形。圖3反映了p是q的必要不充分條件時的情形。圖4反映了p是q的充要條件時的情形。圖5、圖6反映了p是q的既不充分也不必要條件時的情形。

  例3. 若，則p是q的什么條件？

    解：由題設(shè)可知

    參照圖3，可得p是q的必要不充分條件。