含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式、簡易邏輯、充要條件

二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：

1. 掌握簡單的絕對(duì)值不等式的解法；掌握一元二次不等式的解法；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)方程、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)不等式的問題。

2. 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義，理解四種命題及其相互關(guān)系，掌握充分條件，必要條件，充要條件的意義。

【典型例題】

[例1] 解不等式：

（1）；

（2）。

解：

（1）方法一：原不等式等價(jià)于

      即   

∴

方法二：原不等式等價(jià)于

或    ∴

∴ 或

故原不等式的解集為

（2）方法一：原不等式等價(jià)于

①或②

由①得   ∴

由②得    ∴

∴ 原不等式的解集為

方法二：∵

∴ 原不等式可視為關(guān)于的一元二次不等式0

解得或（舍去）   ∴ 或

故原不等式的解集為

[例2] 解不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：

（1）∵   ∴ 原不等式化為

∴ 或

（2）   ∴   ∴

（3）   ∴   ∴ 且

∴

（4）原不等式化為：且

∴ 且

且或

∴ 或且

（5）

方法一：令    ∴

① 時(shí)，      ∴

② 時(shí)，  

③ 時(shí)，      ∴

∴ 由①②③知：

（6）∵     ∴

利用等號(hào)成立的條件得   ∴    ∴

[例3] 解不等式

解：  

（1）時(shí)，

① 時(shí)，

的兩根  

∴

② 時(shí)，      ∴ 且

③ 時(shí)，   ∴

（2）時(shí)，

∵     ∴      

∴ 或

（3）時(shí)，

[例4] 已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為，且不等式的解集為（1，3）

（1）若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍。

解：

（1）∵ 的解集為（1，3）

設(shè)，且

因而①

由方程，得②

∵ 方程②有兩個(gè)相等的根

∴

即    解得或

由于，舍去

將代入①得的解析式

（2）由

又，可得的最大值為

由

解得或

[例5] 已知關(guān)于的不等式的解集為M。

（1）當(dāng)時(shí)，求集合M；

（2）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：

（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為

所以或

故不等式的解集

（2）因M，得①

因，得或②

由①②解得或

[例6] 判斷命題“若，則有實(shí)根”的逆否命題的真假。

解：方法一：寫出逆否命題，再判斷其真假

原命題：若，則有實(shí)根

逆否命題：若無實(shí)根，則

判斷如下：

∵ 無實(shí)根    ∴

∴     ∴“若無實(shí)根，則”為真命題

方法二：利用命題之間的關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假（即等價(jià)關(guān)系）證明。

∵    ∴    ∴

∴ 方程的判別式

∴ 方程有實(shí)根

故原命題“若，則有實(shí)根”為真

又因原命題與其逆否命題等價(jià)，所以“若，則有實(shí)根”的逆否命題為真

方法三：利用充要條件與集合的包含、相等關(guān)系。

命題：，：有實(shí)根

∴ ：

：方程有實(shí)根}=

∵    ∴

∴ 方程的判別式

∴ 方程有實(shí)根，即

∴“若則”為真

∴“若則”的逆否命題“若則”為真

∴ 若，則有實(shí)根的逆否命題為真

方法四：設(shè)：，：有實(shí)根，則無實(shí)根

∴

∵     ∴“若則”為真，即“若方程無實(shí)根，則”為真

[例7] 已知，設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減；Q：函數(shù)的值域?yàn)?/SPAN>R，如果“P且Q”為假命題，“P或Q”為真命題，則的取值范圍是（    ）

A.                                 B.

C.                     D.

解析：由題意知P，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則。Q：函數(shù)

的值域?yàn)?/SPAN>R，則二次函數(shù)必滿足且，解之，得。由“P且Q”為假命題，“P或Q”為真命題可知，P、Q中有且只有一個(gè)真命題，又由上述可知Q是P的真子集，則只能滿足Q不成立P成立，∴ ，故選A。

[例8] 若是R上的減函數(shù)，且，設(shè)，，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）

A.     B.      C.     D.

解析：由題意知

∵“”是“”的充分而不必要條件

∴     ∴ ，故選C。

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 若，則不等式的解集是（    ）

A.

B.

C.

D.

2. 已知的解集為R，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 不等式的解集為（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 不等式的解集為（    ）

A.

B.

C.

D. 以上答案都不對(duì)

5. 如果函數(shù)在區(qū)間（）上為增函數(shù)，則的取值范圍是（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 命題：若，則是的充分而不必要條件；命題：函數(shù)的定義域是則（    ）

A.“或”為假                     B. “且”為真

C. 真假                              D. 假真

7. 條件甲：“”是條件乙：“”的（    ）

A. 既不充分也不必要條件

B. 充要條件

C. 充分不必要條件

D. 必要不充分條件

8. 已知：，：，則是的（    ）

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充要條件

D. 既不充分又不必要條件

二. 解答題：

1. 已知函數(shù)（為常數(shù)），且方程有兩個(gè)實(shí)根。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，解關(guān)于的不等式：。

2. 已知集合，

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）求使的實(shí)數(shù)的取值范圍。

3. 解關(guān)于的不等式

4. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?/SPAN>A，關(guān)于的不等式的解集為B，求使的實(shí)數(shù)的取值范圍。

【試題答案】

一. 1. A

解析：原不等式    ∵    ∴

故解集為

2. C

解析：令

顯然時(shí)，

∴ 欲使的解集為，則

3. A

解析：由，可知與異號(hào)，即，故

4. C

解析：原不等式，由數(shù)軸標(biāo)根法，可知其解集為或

5. B

解析：當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，則有

綜上，選B。

6. D

解析：∵ ，若，不能推出，而，一定有，故命題為假，又由，解得或，故為真。

7. B

解析：∵    ∴    ∴ ，即，即

當(dāng)時(shí)，則  ∴ ，即

  8. A

解析：命題為，即：或

為，故是的充分不必要條件

二. 1. 解析：

（1）將分別代入方程，得

解得   所以

（2）不等式即為，可化為

即

① 當(dāng)時(shí)，解集為

② 當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為

③ 當(dāng)時(shí)，解集為

2. 解析：

（1）時(shí)，，

∴

（2）① 當(dāng)時(shí)，，

② 當(dāng)時(shí)，，

<1> 當(dāng)，即或1，

欲使，只需得

<2> 當(dāng)，即時(shí)，，   ∴ 不可能成立

<3> 當(dāng)，即時(shí)，

欲使，只需為

綜上，可知當(dāng)時(shí)，

3. 解析：由

（1）當(dāng)時(shí)，

（2）當(dāng)時(shí)，

∴ 當(dāng)，原不等式解集為

當(dāng)時(shí)，原不等式解集為

4. 解析：由，即，解得，即

由

由

（1）如果，則顯然成立

故，成立

∴ 符合條件

（2）如果，即時(shí)，

∵ ，必須     ∴ ，得

（3）如果，即

此時(shí)，滿足

∴ 符合條件

綜合（1）（2）（3）可得的取值范圍為（0，）