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轉(zhuǎn)自微博：@21世紀(jì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人 上次推薦電影《測量世界》的時(shí)候講到了高斯，還說了一點(diǎn)他和非歐幾何的關(guān)系。今天繼續(xù)講高斯的一個(gè)故事，那就是高斯是如何用尺規(guī)做出正17邊形的。 1. 所謂的尺規(guī)作圖，就是只允許用一把沒有刻度的直尺和一個(gè)圓規(guī)來作圖。 直尺可以經(jīng)過兩點(diǎn)畫一條直線，圓規(guī)可以畫圓，這兩樣工具結(jié)合起來，到底能完成哪些任務(wù)呢？ 簡單的說，尺規(guī)作圖可以完成加、減、乘、除和解二次方程。 這要如何理解呢？其實(shí)很簡單，先看加法，如果我們知道兩條線段，它們的長度分別為a和b，我們把它們緊挨著放在一條直線上，就得到了一條長度為a+b的線段，這就完成了加法。 減法也容易，把兩條線段重合著放在一起，多出來的部分就是b-a了。 乘法稍微復(fù)雜一點(diǎn)，我們知道尺規(guī)可以做平行線（因?yàn)閳A規(guī)可以做出相同大小的角，同位角相等可以推出兩直線平行），利用平行線截出的線段成比例，就能做出a和b的乘積了。 最后是除法，和乘法類似，調(diào)整一下線段的擺放順序就可以了。 注意，在做乘法和除法的時(shí)候，我們需要假定長度為1的線段是已知的。知道了長度為1的線段，也就知道了所有長度為正有理數(shù)的線段。 尺規(guī)可以用已知的數(shù)做四則混合運(yùn)算應(yīng)該是沒問題了。為什么還能解二次方程呢？ 我們知道直線的方程是一次的，圓的方程是二次的，聯(lián)立兩個(gè)方程求交點(diǎn)的坐標(biāo)，可不就是在解二次方程嗎？ 因?yàn)槌咭?guī)可以解二次方程，我們從有理數(shù)出發(fā)，就能得到很復(fù)雜的無理數(shù)，比如根號(hào)里邊還有根號(hào)的， 但不管多復(fù)雜，得到的數(shù)都不會(huì)出現(xiàn)3次根號(hào)，也不會(huì)超出代數(shù)數(shù)（整系數(shù)多項(xiàng)式的根）。 2. 古希臘的數(shù)學(xué)家十分青睞尺規(guī)作圖，還提出了三個(gè)著名的問題：
很遺憾這三個(gè)問題的答案都是否定的。 （1）假設(shè)圓的半徑是1，那么畫圓為方問題等價(jià)于用尺規(guī)找到一個(gè)數(shù)x使得x的平方等于Pi。尺規(guī)作圖只能加減乘除以及解二次方程，從有理數(shù)出發(fā)的話，得到的數(shù)都是代數(shù)數(shù)，而Pi不是代數(shù)數(shù)，它是超越數(shù), 這是德國數(shù)學(xué)家Lindemann于1882年證明的。順便插一句，Lindemann是Hilbert和Minkowski的老師，當(dāng)時(shí)他在哥尼斯堡大學(xué)任教。 Lindemann (1852 – 1939) （2）假設(shè)已知立方體的邊長為1，那么倍體立方問題等價(jià)于用尺規(guī)找到一個(gè)數(shù)x使得x的3次方等于2，這需要解一個(gè)三次方程，同樣是尺規(guī)做不到的。 （3）也等價(jià)于解一個(gè)三次方程，為什么呢？知道一個(gè)角等價(jià)于知道它與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用cosx的三倍角公式，可以知道三等分角等價(jià)于解一個(gè)三次方程，尺規(guī)作圖又無能為力了。 3. 古希臘的三個(gè)問題都沒法用尺規(guī)來解決，不免讓人有點(diǎn)失望。還有一個(gè)經(jīng)典的問題，就是如何用尺規(guī)n等分圓。 我們?cè)诔踔械臅r(shí)候就知道3等分圓：畫完圓之后，利用半徑的長度就可以把圓6等分，取其中不相鄰的3個(gè)分點(diǎn)即可。 如果你是一個(gè)愛學(xué)習(xí)的好孩子，可能還知道如何把圓5等分。我上學(xué)的時(shí)候，課本的閱讀材料中介紹了如何把圓10等分的方法，這個(gè)方法的關(guān)鍵是做出36度圓心角對(duì)應(yīng)的弦的長度， 這里出現(xiàn)了18度角的正弦值，有很多方法計(jì)算它，這里我就略過了。由于根號(hào)5是可以用尺規(guī)做出來的，所以AB的長度也可以用尺規(guī)做出，于是圓就能順利10等分了。再取不相鄰的5個(gè)分點(diǎn)，就得到了圓的5等分。 至此，我們已經(jīng)可以用尺規(guī)把圓3等分或者5等分了，當(dāng)然我們也可以把圓4等分（先畫一條直徑，再平分一個(gè)平角即可）和6等分（如前所述）。 你可能會(huì)想，那能不能把圓7等分呢？答案是不能。因?yàn)榘褕A7等分等價(jià)于解方程 但是這個(gè)方程可以因式分解，
我們要求的當(dāng)然是不等于1的解，所以我們實(shí)際上要解的是一個(gè)6次方程！
令y = x + 1/x，我們可以把這個(gè)6次方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)3次方程。正因?yàn)檫@個(gè)3次方程的出現(xiàn)，令尺規(guī)無能為力，所以尺規(guī)沒法7等分圓。 4. 那有沒有看似復(fù)雜的方程，最后能用尺規(guī)求解呢？有的，比如把圓17等分遇到的方程
這個(gè)方程同樣可以因式分解，
所以我們實(shí)際上要解的是一個(gè)16次的方程！
顯然16=2?，我們可以把解這個(gè)16次的方程轉(zhuǎn)化為解4個(gè)2次方程。具體的方法如下： 首先，我們用復(fù)數(shù)的知識(shí)可以知道，上述16次方程的16個(gè)根是
再加上1，這17個(gè)數(shù)均勻地分布在單位圓上。
只要求出x的橫坐標(biāo)，即cos(2*π17)，我們就能把圓17等分了。 （1）我們把16個(gè)根分成兩組，
為啥這么分組呢？解釋起來有點(diǎn)費(fèi)事：所有模17得到的非零的余數(shù)，即1,2,3,...,16，在乘法下構(gòu)成一個(gè)群，并且這是一個(gè)循環(huán)群！它的一個(gè)生成元是3，也就是說，當(dāng)n取0,1,2,...,15的時(shí)候，3?模17得到的余數(shù)剛好跑遍1,2,...,16，具體見下面的表格
上面的第一組中x的冪次對(duì)應(yīng)著上面表格中n為偶數(shù)的項(xiàng)；第二組中x的冪次對(duì)應(yīng)著上面表格中n為奇數(shù)的項(xiàng)。 把這兩個(gè)數(shù)相加，顯然和是-1；把這兩個(gè)數(shù)相乘，得到8*8=64項(xiàng)，仔細(xì)寫出來，會(huì)發(fā)現(xiàn)剛好是4倍的x+x^2+...+x^16，所以
解一個(gè)二次方程，就得到了
（2）再把α?中出現(xiàn)的8個(gè)數(shù)分成2組（按照表格中n模4的余數(shù)），
類似，把α?中出現(xiàn)的8個(gè)數(shù)分成2組，
（3）最后，把β?中的4個(gè)數(shù)分成2組（按照表格中n模8的余數(shù)），
把前面的數(shù)代入，狂算一通，可以得到
這個(gè)表達(dá)式中出現(xiàn)了三重的根號(hào)。把這個(gè)復(fù)雜的表達(dá)式用尺規(guī)一步步做出來，就得到17等分圓的步驟了：
當(dāng)然，上面的9個(gè)步驟看著讓人很暈，但我們的代數(shù)解法的脈絡(luò)則是很清晰的，那就是：解4個(gè)2次方程，得到16次方程的解（其實(shí)我們只解出了γ?滿足的8次方程，但這已經(jīng)夠了）。 連接17個(gè)分點(diǎn)，就得到了正17邊形。這就是高斯19歲出道時(shí)的杰作，據(jù)說高斯曾經(jīng)希望把正17邊形刻在自己的墓碑上，但他的愿望沒有實(shí)現(xiàn)，因?yàn)楣そ痴J(rèn)為17邊形太像圓了，普通人根本意識(shí)不到那是個(gè)17邊形…… 高斯實(shí)際上證明了下面的定理，
解釋一下什么是費(fèi)馬數(shù)。費(fèi)馬數(shù)形如
這幾個(gè)剛好都是素?cái)?shù)，于是費(fèi)馬做了一個(gè)大膽的猜測：所有的Fn都是素?cái)?shù)。 可惜這個(gè)猜測是錯(cuò)的，因?yàn)闅W拉發(fā)現(xiàn)
不光如此，后面幾個(gè)費(fèi)馬數(shù)也都不是素?cái)?shù)……目前還不知道有沒有其他費(fèi)馬數(shù)是素?cái)?shù)。 有了高斯的定理，我們就知道尺規(guī)沒法7等分圓，也沒法9等分圓……但可以15等分圓，因?yàn)?5 = 3*5，而3，5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)。具體來說，我們已經(jīng)知道了如何3等分圓和5等分圓，也就是我們知道如何做出360度的1/3 和1/5，利用一個(gè)簡單的等式，
我們就能得到360度的1/15，也就能把圓15等分了。 257和65537都是費(fèi)馬素?cái)?shù)，高斯的定理指出，圓是可以257等分和65537等分的，還真有兩個(gè)人把作圖的步驟寫下來了，257等分的過程大概寫了一本書，65537等分的手稿大約能裝一麻袋…… 5. 不光是數(shù)學(xué)家喜歡尺規(guī)作圖，拿破侖也喜歡尺規(guī)作圖，
有一個(gè)問題是他提出的：只用圓規(guī)（不用直尺），如何把圓4等分？你能做出來嗎^_^ |
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