啥是懸鏈線？ 在生活中，你是否觀察過一根兩端固定自由下垂的繩子？ 當(dāng)然了沒人會(huì)沒事兒盯著繩子看半天的 但是它們?cè)谏钪袑?shí)在是太常見了： 這么常見的東西到底真正上是個(gè)什么形狀呢？ 于是就有人提出了這個(gè)數(shù)學(xué)問題， 這個(gè)人生于1952年，他叫列奧納多·迪·皮耶羅·達(dá)·芬奇。 那是在他還沒有成為四個(gè)忍者神龜之一的年代， 他開始了《抱銀貂的女人》的創(chuàng)作。
大家也看到了，畫中的女人全身唯一的裝飾就是脖子上的項(xiàng)鏈了，所以項(xiàng)鏈最能襯托出女人的美麗， 當(dāng)他要畫這個(gè)項(xiàng)鏈的時(shí)候，便十分好奇，最自然狀態(tài)下的項(xiàng)鏈?zhǔn)鞘裁葱螤畹模吭趺串嫴拍芸雌饋砀鎸?shí)？ 于是乎他向全世界發(fā)出了這個(gè)問題： “萬能的朋友圈啊，兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂，所形成的是什么曲線？在線等挺急的” “觀察兩端固定而下垂的繩子是怎樣一種體驗(yàn)？” “【學(xué)術(shù)向】求大神這個(gè)怎么解?。ㄒ粯俏苟饶铮?/strong> 在微信，知乎，百度貼吧三大平臺(tái)均詢問無果之后，達(dá)芬奇本人也做了大量的計(jì)算，但不幸的是，他還沒有算出答案，就掛了。 其實(shí)每個(gè)人看到這個(gè)曲線的第一反應(yīng)都覺得這是一個(gè)開口朝上的二次函數(shù)，它也確實(shí)很像，但是我們也知道嘛，和二次函數(shù)像的方程太多了——如果你看到了一條直線，那它一定是一次函數(shù)，但是你“以為”看到了拋物線，那就不一定是啥玩意兒了。 伽利略也預(yù)測過懸鏈線是拋物線，嗯，反正是預(yù)測嘛，我就話先放這兒，說不定過了幾百年后人發(fā)現(xiàn)我的預(yù)測是對(duì)的呢，那樣他們就會(huì)說“xxx好厲害啊幾百年之前就做出了精準(zhǔn)的預(yù)測！” 如果證明預(yù)測錯(cuò)了呢，反正我都死好幾百年了你來打我啊。 多年之后，由荷蘭物理學(xué)家惠更斯證明了懸鏈線一定不是二次函數(shù)，但是他也不知道是什么。 幾十年之后，提出“伯努利方程”的雅各布·伯努利再次提出了對(duì)懸鏈線方程問題的研究， 在這位久負(fù)盛名的大數(shù)學(xué)家日夜奮斗，與這道難題整整搏斗了一年多之后， 終于，功夫不負(fù)有心人， 他的弟弟約翰·伯努利一個(gè)晚上就解開了這個(gè)方程。lol 建模 好那下面我們就來看一下懸鏈線的方程是怎么一步一步被揭開神秘的面紗的 首先先畫一個(gè)懸鏈線，條件就仨， 1、兩端固定 2、密度分布均勻 3、自由下垂 先來建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)選在哪里都無所謂是吧，那我就為了簡單點(diǎn)兒讓y(x=0) = 0 了。 重新畫一遍，左右應(yīng)該是對(duì)稱的湊活看吧 那我們不妨取其中一小段，同樣為了好算，我讓我取的繩子的左端就在(0,0)點(diǎn)。 然后對(duì)這一段繩子做受力分析，不難看出這段繩受三個(gè)力， 1、繩左端所有繩對(duì)它的拉力，作用在最左端 2、繩右端所有繩對(duì)它的拉力，作用在最右端 3、繩自身的重力，因?yàn)槔K密度均勻作用在繩長度一半的地方 ρ是繩子的線密度，單位是kg/m 說明： 1、F1和F2按道理說是可能為拉力也可能為左右段繩子的重力造成的推力的，但是從受力分析的角度來看他倆必須同時(shí)是拉力才能平衡。 2、繩有重量，F(xiàn)1不總等于F2 好，到現(xiàn)在，建模就算是完成了，開始算。 公式推導(dǎo) 先對(duì)整體做受力分析
于是這個(gè)問題到這里就解決了 求出了懸鏈線方程的表達(dá)式 那學(xué)過雙曲三角函數(shù)的人就問了啊， “這不明顯是sinh和cosh嘛，為啥還那么麻煩積分一遍？sinh積分是cosh啊大學(xué)生都知道啊” 但是關(guān)鍵就在于：當(dāng)時(shí)還沒有雙曲三角函數(shù) 人們就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的事情: y(x)和它的求導(dǎo)長得十分的像啊，而且y的二階導(dǎo)和y又非常的像啊。 這種規(guī)律馬上就令人不得不想到了熟知的三角函數(shù)，sin求導(dǎo)是cos，cos求導(dǎo)是-sin，于是把這兩個(gè)“類sin”和“類cos”求出“類tan”，“類cot”，“類sec”，“類csc”之后發(fā)現(xiàn)竟然和三角函數(shù)的性質(zhì)及其相似，只在有些地方正負(fù)號(hào)不同。 那既然性質(zhì)和三角函數(shù)這么像，那干脆給他們起個(gè)新的名字好了！于是就叫做cosh，sinh，tanh，blablablabla……h(huán)代表hyperbolic，雙曲，所以三角函數(shù)的符號(hào)+雙曲=雙曲三角函數(shù)。 boom 雙曲三角函數(shù)就這么誕生了。
所以重新改寫一下懸鏈線的表達(dá)式，（感謝李昕宇的指導(dǎo)）
仔細(xì)觀察的話會(huì)發(fā)現(xiàn)，公式中隨著x的變化，密度rou和重力加速度g是永遠(yuǎn)不變的，一段繩子左端的力F1是隨x變化而變化的，所以繼續(xù)改寫一下 F1(x)中出現(xiàn)了繩長L，L的大小就是和研究的那段繩子左端橫坐標(biāo)a和右端橫坐標(biāo)b有關(guān)系了。
結(jié)論、小結(jié)與懸鏈線的實(shí)際應(yīng)用 所以，懸鏈線的函數(shù)是雙曲三角函數(shù)?；蛘吒鼫?zhǔn)確地說，雙曲三角函數(shù)的圖象是懸鏈線 - 雙曲三角函數(shù)的發(fā)現(xiàn)和定義是起源于數(shù)學(xué)家們對(duì)懸鏈線方程的探究 - 懸鏈線方程問題最早由達(dá)芬奇提出，由惠更斯證明了并不是開口沖上的拋物線 - 由約翰·伯努利最終解決 - 當(dāng)一個(gè)柔軟的可自由形變的物體僅受重力的時(shí)候，最自然形成的狀態(tài)是懸鏈線，在此形狀下，各部分重力勢能最小。重力勢能最小，就最穩(wěn)定，如果倒塌的話造成的傷害也最小，這對(duì)于設(shè)計(jì)建筑結(jié)構(gòu)起了很大的幫助作用 - 日本2011年3月1日，“東日本大地震”中許多建筑由于懸鏈線的設(shè)計(jì)而幸免于倒塌 - 坐落在密西西比河畔的圣路易斯拱門就是雙曲余弦的形狀（感謝王宇杰提供信息）
- 雙曲正切用來描述理想波浪的曲線（感謝王宇杰提供圖片）
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