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復合函數(shù)的定義域 一、復合函數(shù)的概念 如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y關于x的函數(shù)y = f [g ( x ) ]叫做函數(shù)f 與 g 的復合函數(shù)，u 叫做中間變量。 注意：復合函數(shù)并不是一類新的函數(shù)，它只是反映某些函數(shù)在結構方面的某種特點，因此，根據(jù)復合函數(shù)結構，將它折成幾個簡單的函數(shù)時，應從外到里一層一層地拆，注意不要漏層。 另外，在研究有關復合函數(shù)的問題時，要注意復合函數(shù)的存在條件，即當且僅當g ( x )的值域與f ( u )的定義域的交集非空時，它們的復合函數(shù)才有意義，否則這樣的復合函數(shù)不存在。 例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 與g ( x ) = x + 1 兩個函數(shù)復合而成。 二、求復合函數(shù)的定義域： （1）若f(x)的定義域為a ≤ x ≤ b,則f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，從中解得x的范圍，即為f [g ( x )]的定義域。 例1、y = f ( x ) 的定義域為[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定義域。 答案： [-1/2 ，0 ] 例2、已知f ( x )的定義域為（0，1），求f ( x 2)的定義域。 答案： [-1 ，1] （2）若f [ g ( x ) ]的定義域為（m , n）則由m < x < n 確定出g ( x )的范圍即為f ( x )的定義域。 例3、已知函數(shù)f ( 2x + 1 )的定義域為（0，1），求f ( x ) 的定義域。 答案： [ 1 ，3] （3）由f [ g ( x ) ] 的定義域，求得f ( x )的定義域后，再求f [ h ( x ) ]的定義域。 例4、已知f ( x + 1 )的定義域為[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定義域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求復合函數(shù)的解析式。 對于復合函數(shù)的解析式的求法，雖然種類很多，在這里重點介紹配湊法和換元法，詳細內容請參閱《教學周刊》第6期。 （1）配湊法 若已知f [ g ( x ) ] = F ( x )是關于x的函數(shù)，可以把F ( x )表示g ( x )的復合函數(shù)形式，然后用x替換g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 例5、已知f (，求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 2 例6、已知f ( x + ,求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 3-2x-1 （2）換元法 若已知f [ g ( x ) ]的表達式，可以令g ( x ) = t，從中解出x再將x代入f [ g ( x ) ]的表達式中，這樣f [ g ( x ) ]就表示成關于t 的函數(shù)，即得函數(shù)f ( x )的解析式。 例7、已知 （ x > 0 ）求f ( x )的解析式。 答案： 2 / (x-3) 例8、用換元法看看例5，例6能否適用。 答案：f(x)= x 2 f(x)= x 3-2x-1 二、對于f ( x )函數(shù)中，利用已知條件，求某些特殊函數(shù)值。 對于這類問題的解決，一定要看清條件，按照所要解決的問題，利用條件，關鍵在于能否找到條件與所求的聯(lián)系。這類問題沒有現(xiàn)成的方法，它所考查的是同學們的發(fā)散思維。 例9、已知函數(shù)f ( x )滿足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,則f ( 36 ) = ? [分析]該題要求的是f ( 36 ),而條件中給我們f ( ab ) = ......，自然會想到，36能拆成什么的乘積了。 一、復合函數(shù)的概念 如果y是u的函數(shù)，而u是x的函數(shù)，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y關于x的函數(shù)y = f [g ( x ) ]叫做函數(shù)f 與 g 的復合函數(shù)，u 叫做中間變量。 注意：復合函數(shù)并不是一類新的函數(shù)，它只是反映某些函數(shù)在結構方面的某種特點，因此，根據(jù)復合函數(shù)結構，將它折成幾個簡單的函數(shù)時，應從外到里一層一層地拆，注意不要漏層。 另外，在研究有關復合函數(shù)的問題時，要注意復合函數(shù)的存在條件，即當且僅當g ( x )的值域與f ( u )的定義域的交集非空時，它們的復合函數(shù)才有意義，否則這樣的復合函數(shù)不存在。 例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 與g ( x ) = x + 1 兩個函數(shù)復合而成。 二、求復合函數(shù)的定義域： （1）若f(x)的定義域為a ≤ x ≤ b,則f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，從中解得x的范圍，即為f [g ( x )]的定義域。 例1、y = f ( x ) 的定義域為[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定義域。 例2、已知f ( x )的定義域為（0，1），求f ( x 2)的定義域。 （2）若f [ g ( x ) ]的定義域為（m , n）則由m < x < n 確定出g ( x )的范圍即為f ( x )的定義域。 C.[H]和ATP D.184條、0條 例3、已知函數(shù)f ( 2x + 1 )的定義域為（0，1），求f ( x ) 的定義域。 （3）由f [ g ( x ) ] 的定義域，求得f ( x )的定義域后，再求f [ h ( x ) ]的定義域。 例4、已知f ( x + 1 )的定義域為[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定義域。 三、求復合函數(shù)的解析式。 對于復合函數(shù)的解析式的求法，雖然種類很多，在這里重點介紹配湊法和換元法，詳細內容請參閱《教學周刊》第6期。 （1）配湊法 若已知f [ g ( x ) ] = F ( x )是關于x的函數(shù)，可以把F ( x )表示g ( x )的復合函數(shù)形式，然后用x替換g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 例5、已知f (，求f ( x )的解析式。 例6、已知f ( x + ,求f ( x )的解析式。 （2）換元法 若已知f [ g ( x ) ]的表達式，可以令g ( x ) = t，從中解出x再將x代入f [ g ( x ) ]的表達式中，這樣f [ g ( x ) ]就表示成關于t 的函數(shù)，即得函數(shù)f ( x )的解析式。 例7、已知 （ x > 0 ）求f ( x )的解析式。 例8、用換元法看看例5，例6能否適用。 二、對于f ( x )函數(shù)中，利用已知條件，求某些特殊函數(shù)值。 對于這類問題的解決，一定要看清條件，按照所要解決的問題，利用條件，關鍵在于能否找到條件與所求的聯(lián)系。這類問題沒有現(xiàn)成的方法，它所考查的是同學們的發(fā)散思維。 例9、已知函數(shù)f ( x )滿足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,則f ( 36 ) = ? [分析]該題要求的是f ( 36 ),而條件中給我們f ( ab ) = ......，自然會想到，36能拆成什么的乘積了。 例10、已知f ( x ) = ，那么f ( 1 ) + f ( 2) + f () + f ( 3 ) + f( ) + f ( 4 ) + f () 例11、若上題要求： f ( 1 ) + f ( 2 ) + f () + ...... + f ( n ) + f () + ...... + f ( 2003 ) + f () |
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