小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)在哪里？和差、和比、差比、路程、工程、植樹(shù)、盈虧……

Bingo，這些題型都是小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，也是期末必考的題型之一。

1和差問(wèn)題

已知兩數(shù)的和與差，求這兩個(gè)數(shù)。

例：已知兩數(shù)和是10，差是2，求這兩個(gè)數(shù)。

【口訣】

和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和減去差，越減越??；除以2，便是小的。

按口訣，則大數(shù)=（10+2）/2=6，小數(shù)=（10-2）/2=4。

2差比問(wèn)題（差倍問(wèn)題）

例：甲數(shù)比乙數(shù)大12，甲:乙=7：4，求兩數(shù)。

【口訣】

我的比你多，倍數(shù)是因果。

分子實(shí)際差，分母倍數(shù)差。

商是一倍的，乘以各自的倍數(shù)，兩數(shù)便可求得。

先求一倍的量，12/（7-4）=4，

所以甲數(shù)為：4X7=28，乙數(shù)為：4X4=16。

3年齡問(wèn)題

例1：小軍今年8 歲，爸爸今年34歲，幾年后，爸爸的年齡是小軍的3倍？

【口訣】

歲差不會(huì)變，同時(shí)相加減。

歲數(shù)一改變，倍數(shù)也改變。

抓住這三點(diǎn)，一切都簡(jiǎn)單。

分析：歲差不會(huì)變，今年的歲數(shù)差點(diǎn)34-8=26，到幾年后仍然不會(huì)變。

已知差及倍數(shù)，轉(zhuǎn)化為差比問(wèn)題。

26/（3-1）=13，幾年后爸爸的年齡是13X3=39歲，小軍的年齡是13X1=13歲，所以應(yīng)該是5年后。

例2：姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當(dāng)姐弟倆歲數(shù)的和是40歲時(shí)，兩人各應(yīng)該是多少歲？

分析：歲差不會(huì)變，今年的歲數(shù)差13-9=4幾年后也不會(huì)改變。

幾年后歲數(shù)和是40，歲數(shù)差是4，轉(zhuǎn)化為和差問(wèn)題。

則幾年后，姐姐的歲數(shù)：（40+4）/2=22，弟弟的歲數(shù)：（40-4）/2=18，所以答案是9年后。

4和比問(wèn)題

已知整體，求部分。

例：甲乙丙三數(shù)和為27，甲:乙:丙=2:3:4，求甲乙丙三數(shù)。

【口訣】

家要眾人合，分家有原則。

分母比數(shù)和，分子自己的。

和乘以比例，就是該得的。

分母比數(shù)和，即分母為：2+3+4=9；

分子自己的，則甲乙丙三數(shù)占和的比例分別為2/9，3/9，4/9。

和乘以比例，則甲為27X2/9=6，乙為27X3/9=9，丙為27X4/9=12。

5雞兔同籠問(wèn)題

例：雞免同籠，有頭36 ，有腳120，求雞兔數(shù)。

【口訣】

假設(shè)全是雞，假設(shè)全是兔。

多了幾只腳，少了幾只足？

除以腳的差，便是雞兔數(shù)。

求兔時(shí)，假設(shè)全是雞，則免子數(shù)=（120-36X2）/（4-2）=24

求雞時(shí)，假設(shè)全是兔，則雞數(shù) =（4X36-120）/（4-2）=12

6路程問(wèn)題

【口訣】

相遇那一刻，路程全走過(guò)。

除以速度和，就把時(shí)間得。

(1)相遇問(wèn)題

例：甲乙兩人從相距120千米的兩地相向而行，甲的速度為40千米/小時(shí)，乙的速度為20千米/小時(shí)，多少時(shí)間相遇？

相遇那一刻，路程全走過(guò)，即甲乙走過(guò)的路程和恰好是兩地的距離120千米。

除以速度和，就把時(shí)間得，即甲乙兩人的總速度為兩人的速度之和40+20=60（千米/小時(shí)），所以相遇的時(shí)間就為120/60=2（小時(shí)）

(2)追及問(wèn)題

例：姐弟二人從家里去鎮(zhèn)上，姐姐步行速度為3千米/小時(shí)，先走2小時(shí)后，弟弟騎自行車出發(fā)速度6千米/小時(shí)，幾時(shí)追上？

【口訣】

慢鳥要先飛，快的隨后追。

先走的路程，除以速度差，時(shí)間就求對(duì)。

先走的路程：3X2=6（千米）

速度的差：6-3=3（千米/小時(shí)）

追上的時(shí)間：6/3=2（小時(shí)）

7濃度問(wèn)題

(1)加水稀釋

例：有20千克濃度為15%的糖水，加水多少千克后，濃度變?yōu)?0%？

【口訣】

加水先求糖，糖完求糖水。

糖水減糖水，便是加水量。

加水先求糖，原來(lái)含糖為：20X15%=3（千克）

糖完求糖水，含3千克糖在10%濃度下應(yīng)有多少糖水，3/10%=30（千克）

糖水減糖水，后的糖水量減去原來(lái)的糖水量，30-20=10（千克）

(2)加糖濃化

例：有20千克濃度為15%的糖水，加糖多少千克后，濃度變?yōu)?0%？

【口訣】

加糖先求水，水完求糖水。

糖水減糖水，求出便解題。

加糖先求水，原來(lái)含水為：20X（1-15%）=17（千克）

水完求糖水，含17千克水在20%濃度下應(yīng)有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）

糖水減糖水，后的糖水量再減去原來(lái)的糖水量，21.25-20=1.25（千克)

8工程問(wèn)題

例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做4天完成，乙單獨(dú)做6天完成。甲乙同時(shí)做2天后，由乙單獨(dú)做，幾天完成？

【口訣】

工程總量設(shè)為1，1除以時(shí)間就是工作效率。

單獨(dú)做時(shí)工作效率是自己的，一齊做時(shí)工作效率是眾人的效率和。

1減去已經(jīng)做的便是沒(méi)有做的，沒(méi)有做的除以工作效率就是結(jié)果。

[1-（1/6+1/4）X2]/（1/6）=1（天）

9植樹(shù)問(wèn)題

【口訣】

植樹(shù)多少棵，要問(wèn)路如何？

直的減去1，圓的是結(jié)果。

例1：在一條長(zhǎng)為120米的馬路上植樹(shù)，間距為4米，植樹(shù)多少棵？

路是直的，則植樹(shù)為120/4-1=29（棵）。

例2：在一條長(zhǎng)為120米的圓形花壇邊植樹(shù)，間距為4米，植樹(shù)多少棵？

路是圓的，則植樹(shù)為120/4=30（棵）。

10盈虧問(wèn)題

【口訣】

全盈全虧，大的減去小的；一盈一虧，盈虧加在一起。

除以分配的差，結(jié)果就是分配的東西或者是人。

例1：小朋友分桃子，每人10個(gè)少9個(gè)；每人8個(gè)多7個(gè)。求有多少小朋友多少桃子？

一盈一虧，則公式為：（9+7）/（10-8）=8（人），相應(yīng)桃子為8X10-9=71（個(gè)）

例2：士兵背子彈。每人45發(fā)則多680發(fā)；每人50發(fā)則多200發(fā)，多少士兵多少子彈？

全盈問(wèn)題，則大的減去小的，即公式為：（680-200）/（50-45）=96（人），相應(yīng)的子彈為96X50+200=5000（發(fā)）。

例3：學(xué)生發(fā)書。每人10本則差90本；每人8 本則差8本，多少學(xué)生多少書？

全虧問(wèn)題，則大的減去小，即公式為：（90-8）/（10-8）=41（人），相應(yīng)書為41X10-90=320（本）

11余數(shù)問(wèn)題

例：時(shí)鐘現(xiàn)在表示的時(shí)間是18點(diǎn)整，分針旋轉(zhuǎn)1990圈后是幾點(diǎn)鐘？

【口訣】

余數(shù)有（N-1）個(gè)，最小的是1，最大的是（N-1）。

周期性變化時(shí)，不要看商，只要看余。

分析：分針旋轉(zhuǎn)一圈是1小時(shí)，旋轉(zhuǎn)24圈就是時(shí)針轉(zhuǎn)1圈，也就是時(shí)針回到原位。1980/24的余數(shù)是22，所以相當(dāng)于分針向前旋轉(zhuǎn)22個(gè)圈，分針向前旋轉(zhuǎn)22個(gè)圈相當(dāng)于時(shí)針向前走22個(gè)小時(shí)，時(shí)針向前走22小時(shí)，也相當(dāng)于向后24-22=2個(gè)小時(shí)，即相當(dāng)于時(shí)針向后拔了2小時(shí)。即時(shí)針相當(dāng)于是18-2=16（點(diǎn)）。

12牛吃草問(wèn)題

【口訣】

每牛每天的吃草量假設(shè)是份數(shù)1，A頭B天的吃草量算出是幾？M頭N天的吃草量又是幾？大的減去小的，除以二者對(duì)應(yīng)的天數(shù)的差值，結(jié)果就是草的生長(zhǎng)速率。原有的草量依此反推。

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長(zhǎng)速率。未知吃草量的牛分為兩個(gè)部分：一小部分先吃新草，個(gè)數(shù)就是草的比率；有的草量除以剩余的牛數(shù)就將需要的天數(shù)求知。

例：整個(gè)牧場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，一樣快。27頭牛6天可以把草吃完；23頭牛9天也可以把草吃完。問(wèn)21頭多少天把草吃完。

每牛每天的吃草量假設(shè)是1，則27頭牛6天的吃草量是27X6=162，23頭牛9天的吃草量是23X9=207；

大的減去小的，207-162=45；二者對(duì)應(yīng)的天數(shù)的差值，是9-6=3（天），則草的生長(zhǎng)速率是45/3=15（牛/天）；

原有的草量依此反推——

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長(zhǎng)速率。

原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。

將未知吃草量的牛分為兩個(gè)部分：

一小部分先吃新草，個(gè)數(shù)就是草的比率，這就是說(shuō)將要求的21頭牛分為兩部分，一部分15頭牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，

所求的天數(shù)為：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）

13正方體展開(kāi)圖

正方體有6個(gè)面，12條棱，當(dāng)沿著某棱將正方體剪開(kāi)，可得到正方體的展開(kāi)圖形，很顯然，正方體的展開(kāi)圖形不是唯一的，但也不是無(wú)限的，事實(shí)上，正方體的展開(kāi)圖形有且只有11種，11種展開(kāi)圖形又可以分為4種類型：

141型

中間一行4個(gè)作側(cè)面，上下兩個(gè)各作為上下底面，共有6種基本圖形。

2231型

中間一行3個(gè)作側(cè)面，共3種基本圖形。

3222型

中間兩個(gè)面，只有1種基本圖形。

433型

中間沒(méi)有面，兩行只能有一個(gè)正方形相連，只有1種基本圖形。

（來(lái)源：奧數(shù)網(wǎng)）