第二節(jié)  偏  導  數(shù)

一 數(shù)學概念與定義

設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當固定在而在處有增量時，相應(yīng)地函數(shù)有增量

，

如果

存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記作

  或  ，即

．                     

類似地，函數(shù)在點處對的偏導數(shù)定義為

，                                                                

記作    或  ，即

=。

    偏導數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的函數(shù)．

如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點處對的偏導數(shù)都存在，那末這個偏導數(shù)就是、的函數(shù)，稱其為函數(shù)對自變量x的偏導函數(shù)，記作

，，或．

類似地，可以定義函數(shù)對自變量y的偏導函數(shù)，記作

，，或．

偏導函數(shù)也簡稱為偏導數(shù)。

設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導數(shù)，，那末在內(nèi)、都是,的函數(shù)．如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導數(shù)．按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù)：

，，

，．

其中第二、三兩個偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù)．同樣可得三階、四階、…以及階偏導數(shù)．二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)．

二 重點、難點分析

二元函數(shù)在點的偏導數(shù)有下述幾何意義：

偏導數(shù) 表示曲線 在點 處的切線 對 軸的斜率。同理，偏導數(shù) 表示曲線 在點 處的切線 對 軸的斜率．

多元函數(shù)各偏導數(shù)在某點都存在與其在該點連續(xù)沒有任何蘊涵關(guān)系。多元函數(shù)各偏導數(shù)在某點都存在，也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)．這是因為各偏導數(shù)存在只能保證點沿著平行于坐標軸的方向趨于時，函數(shù)值趨于，但不能保證點按任何方式趨于時，函數(shù)值都趨于．例如，函數(shù)

在點對的偏導數(shù)為；同樣有

．

但是我們已經(jīng)知道這函數(shù)在點(0, 0)并不連續(xù)．

三 原理、公式和方法

按偏導數(shù)的定義可知，

=，=

因此一元函數(shù)的導數(shù)公式和求導法則對多元函數(shù)偏導數(shù)的計算均適用。

定理  如果函數(shù)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等．

四 典型例題分析

例1  求在點處的偏導數(shù)．

解法一  把看作常量，對求導數(shù)，得；

把看作常量，對求導數(shù)，得．

將(1, 2)代入上面的結(jié)果，就得，．

解法二    

例2  設(shè)，求，和。

解         ，        ；

            ，         ，  。

例3  證明函數(shù)滿足方程

，

其中．

證                                   ，

．

由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以

，．

因此                                               

．

例3中的方程叫做拉普拉斯(Laplace)方程，它是數(shù)學物理方程中一種很重要的方程。