三角函數(shù)的值域（最值）問題，其實(shí)質(zhì)上是對(duì)含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求值，是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用。這類問題的解決涉及到問題轉(zhuǎn)換、等價(jià)化歸等常用方法。下面就其類型與解法舉例說明。

一、一次型：y=asin(ωx+φ)+b型函數(shù)

這是一個(gè)基本型，其本質(zhì)是y=at+b，其中t=sin(ωx+φ)的一次函數(shù)問題，其解法關(guān)鍵是求出t=sin(ωx+φ)的范圍。

例1、求函數(shù)y=2sin2x+■+2在x∈0，■上的最值。

解：∵0≤x≤■，∴■≤2x+■≤■，

∴-■≤sin2x+■≤1

∴sin2x+■=1時(shí)，ymax=4；

sin2x+■=-■時(shí)，ymin=1。

二、合一型：

y=asinωx+bcosωx+c型函數(shù)

這類題目解決的思路是把問題化歸為y=asin(ωx+φ)+b的形式，一般而言f(x)max=a+b，f(x)min=-a+b，但若附加了x的取值范圍，最好的方法是通過圖像加以解決。

例2、在0≤x≤■條件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。

解：利用二倍角余弦公式的變形公式，有y=■-2sin2x-3■

=2(cos2x-sin2x)-1

=2■cos2xcos■-sin2xsin■-1

=2■cos2x+■-1

∵0≤x≤■，■≤2x+■≤■

∴-1≤cos2x+■≤■

綜上所述，

當(dāng)cos2x+■=■時(shí)，ymax=1

當(dāng)cos2x+■=-1時(shí)，ymin=-2■-1

三、二次型：y=asin2x+bsinx+c

或y=acos2x+bcosx+c(a≠0)型函數(shù)

其解法是令t=sinx或t=cosx，通過換元化為關(guān)于t的二次函數(shù)y=at2+bt+c值域或最值的問題，但需要注意新元t的取值范圍。

例3、求函數(shù)y=cos2x-3sinx的最大值。

解：y=cos2x-3sinx

=-sin2x-3sinx+1

令t=sinx,t∈-1，1

∴y=-t2-3t+1=-t+■2+■

∴當(dāng)t=-1時(shí)，ymax=3

四、分式型:如y=■

或y=■(ac≠0)型函數(shù)

利用正（余）弦函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法。

例4.求函數(shù)y=■的值域。

解：∵y=■

∴(y+2)sinx=3+2y

∴sinx=■且sinx≤1

∴■≤1

解不等式得y∈-■，-1

五、和、差、積型：

y=a（sinx±cosx）+bsinxcosx+c

sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯(lián)系。sinαcosα是紐帶，三者之間知其一，可求其二。令t=sinx±cosx換元后依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值。同樣需要注意新元t的取值范圍。

例5、已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值。

解：設(shè)t=sinθ-cosθ

=■sinθ-■

又∵0≤θ≤π

∴-■≤θ-■≤■

∴-1≤t≤■

∵2sinθcosθ=1-t2

∴y=-t2+t+1=t-■2+■

當(dāng)t=■時(shí)，ymax=■；

當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=-1

處理三角函數(shù)值域問題的實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化。應(yīng)該注意的是求三角函數(shù)的最值方法有多種，像配方法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法等，這里不再贅述。（市實(shí)高徐玲玲）