教學內(nèi)容：

三角函數(shù)

二. 具體過程：

【高考要求】

1. 任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化。

2. 三角函數(shù)

①理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

②能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出，的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。

③理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0，2π]上的性質(zhì)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。

④理解同角三角函數(shù)的基本關系式：。

⑤了解函數(shù)的物理意義；能畫出的圖象，了解參數(shù)對函數(shù)圖象變化的影響。

⑥了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題。

3. 三角恒等變換

（1）和與差的三角函數(shù)公式

①會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式。

②能利用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式。

③能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

（2）簡單的三角恒等變換

能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）。

4. 解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理和余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）應用

能夠運用正弦定理和余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。

【熱點分析】

1. 近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，主要表現(xiàn)在對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查上有所加強。

2. 對本章內(nèi)容一般以選擇、填空題形式進行考查，且難度不大，大致可分為四類問題（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關的問題；（2）與三角函數(shù)圖象有關的問題；（3）應用同角變換和誘導公式，求三角函數(shù)值及化簡和等式證明的問題；（4）與周期有關的問題。

3. 基本的解題規(guī)律為：觀察差異（或角，或函數(shù)，或運算），尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因），實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。解題規(guī)律：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉(zhuǎn)化為由一個三角函數(shù)表達的形式求解。

4. 立足課本、抓好基礎。從前面敘述可知，我們已經(jīng)看到近幾年高考已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點轉(zhuǎn)移到對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對基礎知識和基本技能的考查上來，所以在復習中首先要打好基礎。在考查利用三角公式進行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，可見高考在降低對三角函數(shù)恒等變形的要求下，加強了對三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度。

【復習建議】

本章內(nèi)容由于公式多，且習題變換靈活等特點，建議同學們復習本章時應注意以下幾點方法技巧：

1. 三角函數(shù)恒等變形的基本策略。

（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1＝cos²θ＋sin²θ＝tanx·cotx＝tan45°等。

（2）項的分拆與角的配湊。如分拆項：sin²x＋2cos²x＝（sin²x＋cos²x）＋cos²x＝1＋cos²x；配湊角：α＝（α＋β）－β，β＝－等。

（3）降次與升次。

（4）化弦（切）法。

（5）引入輔助角。asinθ＋bcosθ＝sin（θ＋），這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan＝確定。

2. 證明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。

（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學歸納法。

3. 證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

4. 解答三角高考題的策略。

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。

（4）由于三角函數(shù)是我們研究數(shù)學的一門基礎工具，近幾年高考往往考查知識網(wǎng)絡交匯處的知識，故學習本章時應注意本章知識與其它章節(jié)知識的聯(lián)系。如平面向量、換元法、解三角形等。

5. 重視數(shù)學思想方法的復習，如前所述，本章試題都以選擇、填空題形式出現(xiàn)，因此復習中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數(shù)形結合法、代入檢驗法、特殊值法，待定系數(shù)法、排除法等。另外對有些具體問題還需要掌握和運用一些基本結論。如：關于對稱問題，要利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋（k∈Z），對稱中心為（kπ，0），（k∈Z）等基本結論解決問題，同時還要注意對稱軸與函數(shù)圖象的交點的縱坐標特征。在求三角函數(shù)值的問題中，要學會用勾股數(shù)解題的方法，因為高考試題一般不能查表，給出的數(shù)都較特殊，因此主動發(fā)現(xiàn)和運用勾股數(shù)來解題能起到事半功倍的效果。

6. 加強三角函數(shù)應用意識的訓練，實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養(yǎng)“實踐第一”的觀點。總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。

7. 變?yōu)橹骶€、抓好訓練。變是本專題的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化“變”的意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規(guī)律。針對高考中的題目來看，還要強化變角訓練，經(jīng)常注意收集角間關系的觀察分析方法。另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關系式的訓練也要加強，這也是高考的重點。同時應掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結合的題目。

8. 注意對三角形中的問題的復習。由于教材的變動，有關三角形中的正、余弦定理。解三角形等內(nèi)容提到高中來學習，近年又加強數(shù)形結合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中的問題伸展。

9. 在復習中，應立足基本公式，在解題時，注意在條件與結論之間建立聯(lián)系，在變形過程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎，發(fā)展能力，適應高考。

在本專題內(nèi)容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換，尤其是三角函數(shù)的最大值與最小值、周期。多數(shù)題型為選擇題或填空題；其次是三角函數(shù)式的恒等變形。如運用三角公式進行化簡、求值，解決簡單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面內(nèi)容。

另外，還要注意利用三角函數(shù)解決一些應用問題。

【典型例題】

例1. 已知，求（1）；（2）的值。

解：（1）；

   （2）

。

點評：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

例2. 求函數(shù)的值域。

解：設，則原函數(shù)可化為

，因為，所以

當時，，當時，，

所以，函數(shù)的值域為。

例3. 已知函數(shù)。

（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；

（2）證明：函數(shù)的圖像關于直線對稱。

解：（1）

所以的最小正周期，因為，

所以，當，即時，最大值為；

（2）證明：欲證明函數(shù)的圖像關于直線對稱，只要證明對任意，有成立，

因為，

，

所以成立，從而函數(shù)的圖像關于直線對稱。

例4. 已知函數(shù)y＝cos²x＋sinx·cosx＋1 （x∈R），

（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；

（2）該函數(shù)的圖像可由y＝sinx（x∈R）的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

解：（1）y＝cos²x＋sinx·cosx＋1＝（2cos²x－1）＋＋（2sinx·cosx）＋1

＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋

＝sin（2x＋）＋

所以y取最大值時，只需2x＋＝＋2kπ，（k∈Z），即  x＝＋kπ，（k∈Z）。

所以當函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x＝＋kπ，k∈Z}

（2）將函數(shù)y＝sinx依次進行如下變換：

（i）把函數(shù)y＝sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖像；

（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖像；

（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y＝sin（2x＋）的圖像；

（iv）把得到的圖像向上平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin（2x＋）＋的圖像。

綜上得到y＝cos²x＋sinxcosx＋1的圖像。

點評：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關于sinx，cosx的齊次式，降冪后最終化成y＝sin（ωx＋）＋k的形式，二是化成某一個三角函數(shù)的二次三項式。本題（1）還可以解法如下：當cosx＝0時，y＝1；當cosx≠0時，y＝＋1＝＋1

化簡得：2（y－1）tan²x－tanx＋2y－3＝0

∵tanx∈R，∴△＝3－8（y－1）（2y－3）≥0，解之得：≤y≤

∴y_max＝，此時對應自變量x的集合為{x|x＝kπ＋，k∈Z}

例5. 已知函數(shù)

（Ⅰ）將f（x）寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標；

（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²＝ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f（x）的值域。

解：

（Ⅰ）由＝0即

即對稱中心的橫坐標為

（Ⅱ）由已知b²＝ac

即的值域為。

綜上所述，，的值域為。

點評：本題綜合運用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學生的運算能力，對知識進行整合的能力。

例6. 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，

（1）求的值；

（2）若，且a＝c，求△ABC的面積。

解：（1）由正弦定理及，有，

即，所以，

又因為，，所以，

因為，所以，又，所以。

（2）在△ABC中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以△ABC的面積為

。

例7. 已知向量，且，

（1）求函數(shù)的表達式；

（2）若，求的最大值與最小值。

解：（1），，，又，

所以，

所以，即；

（2）由（1）可得，令導數(shù)，解得，列表如下：

而所以。

例8. 已知向量，

（1）求的值；

（2）若的值。

解：（1）因為

所以

又因為，所以，

即；

（2），

又因為，所以 ，

，所以，所以

例9. 平面直角坐標系有點

（1）求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；

（2）求的最值。

解：（1），

即     

（2）， 又    ，

 ，    ，  。

點評：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意。

例10. 求值

解：

例11. 已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求sin2α的值________。

解：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜。π＜α＋β＜，

∴sin（α－β）＝

∴sin2α＝sin［（α－β）＋（α＋β）］

＝sin（α－β）cos（α＋β）＋cos（α－β）sin（α＋β）

例12. 設關于x的函數(shù)y＝2cos²x－2acosx－（2a＋1）的最小值為f（a），試確定滿足f（a）＝的a值，并對此時的a值求y的最大值。

解：由y＝2（cosx－）²－及cosx∈［－1，1］得：

f（a）＝

∵f（a）＝，∴1－4a＝a＝［2，＋∞

故－－2a－1＝，解得：a＝－1，此時，

y＝2（cosx＋）²＋，當cosx＝1時，即x＝2kπ，k∈Z，y_max＝5。

【模擬試題】

一、選擇題

1. 下列各三角函數(shù)式中，值為正數(shù)的是 （    ）

A.  B.   C.    D.

2. 若＝，且為銳角，則的值等于   （      ）

A.          B.       C.            D.

3. 若＝，，則的值為    （       ）

A. 1           B. 2       C.           D.

4. 已知，則     （       ）

A.          B.  

C.          D.

5. a＝，則成立的是    （      ）

A. a＜b＜c    B. a＞b＞c   C. a＜c＜b    D. c＜a＜b

6. 函數(shù)的定義域是（    ）

A.    B.

C.    D.

7. 下面三條結論：①存在實數(shù)，使成立；②存在實數(shù)，使成立；③若cosacosb＝0，則其中正確結論的個數(shù)為（      ）

A. 0     B. 1     C. 2       D. 3

8. 函數(shù)的值域是   （       ）

A. [-2，2]     B. [-1，2]    C. [-1，1]   D. [，2]

9. 函數(shù)y＝－x·cosx的部分圖象是（    ）

10. 函數(shù)f（x）＝cos2x＋sin（＋x）是（    ）

A. 非奇非偶函數(shù)               

B. 僅有最小值的奇函數(shù)

C. 僅有最大值的偶函數(shù)

D. 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

二、填空題

1、函數(shù)的最小值等于                     并使函數(shù)y 取最小值的x的集合為                               

2、若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則              

函數(shù)的值域為                          

3、已知函數(shù)                

三、解答題

1、已知，求的值

2、在DABC中，已知三邊滿足，試判定三角形的形狀。

【試題答案】

一、1—8  CBBCD，BAB

9. 解析：函數(shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C，又當x∈（0，）時，y＜0。

答案：D

10. 解析：f（x）＝cos2x＋sin（＋x）＝2cos²x－1＋cosx

＝2［（cosx＋）－1。

答案：D

二、填空題

1、_；

2、－1

3、

三、解答題

1. 解：原式＝＝

∵，上式兩邊平方，得：

∴；又∵

∴

∴

∴，∴原式

2. 解一：由條件

展開，消

∴DABC為（A為直角或B為直角）

解二：

∴

∴△ABC為