典型例題一

例1  橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A?2，0?，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置． 解：（1）當(dāng)A?2，0?為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，a?2，b?1，

x

2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

4

y

2

1

1；

（2）當(dāng)A?2，0?為短軸端點(diǎn)時(shí)，b?2，a?4，

x

2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

4

y

2

16

1；

說(shuō)明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給出一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況．

典型例題二

例2 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線(xiàn)間的距離三等分，求橢圓的離心率． 解：?2c?

a

2

c

33

2?

13

∴3c2?a2，

∴e?

3

．

說(shuō)明：求橢圓的離心率問(wèn)題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．

典型例題三

例3  已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線(xiàn)x?y?1?0交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程．

解：由題意，設(shè)橢圓方程為

xa

22

y?1，

2

1 / 20

x?y?1?0?2由?x2，得?1?a?x2?2a2x?0，

2

2?y?1?a

∴xM?

x1?x2

2yMxM

2

1?aa

2

2

，yM?1?xM?

11?a

2

，

kOM?

1a

2

14

，∴a2?4，

∴

x

2

4

y?1為所求．

說(shuō)明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線(xiàn)與曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題．

典型例題四

例4橢圓

x

2

25

y9

2

9?

1上不同三點(diǎn)A?x1，y1?，B?4?，C?x2，y2?與焦點(diǎn)F?4，0?的

5?

距離成等差數(shù)列．

（1）求證x1?x2?8；

（2）若線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為T(mén)，求直線(xiàn)BT的斜率k． 證明：（1）由橢圓方程知a?5，b?3，c?4． 由圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義知：

AFa

2

ca

，

c

x1

∴   AF?a?ex1?5?同理   CF?5?

45

45

x1．

x2．

95

∵   AF?CF?2BF，且BF?

4

，

∴   ?5?

4???18

， x1???5?x2??

5??55?

即   x1?x2?8．

（2）因?yàn)榫€(xiàn)段AC的中點(diǎn)為?41

y?y2?

，所以它的垂直平分線(xiàn)方程為 2?

2 / 20

y?

y1?y2

2

x1?x2y1?y2

x?4?．

又∵點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為?x0，0?，代入上式，得       x0?4?

y1?y2

2

2

2?x1?x2?

又∵點(diǎn)A?x1，y1?，B?x2，y2?都在橢圓上， ∴  y12?    y2?

22

925925

2

25?x?

2

1

25?x?

22

∴  y1?y2??

925

x1?x2??x1?x2?．

將此式代入①，并利用x1?x2?8的結(jié)論得         x0?4??

9

3625

∴  kBT

0

5??．

4?x04

典型例題五

例5 已知橢圓

x

2

2

4

y3

1，F(xiàn)1、F2為兩焦點(diǎn)，問(wèn)能否在橢圓上找一點(diǎn)M，使M到

左準(zhǔn)線(xiàn)l的距離MN是MF1與MF2的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：假設(shè)M存在，設(shè)M?x1，y1?，由已知條件得

a?2，b?

3，∴c?1，e?

12

．

∵左準(zhǔn)線(xiàn)l的方程是x??4， ∴MN?4?x1． 又由焦半徑公式知：

3 / 20

MF1?a?ex1?2?MF2?a?ex1?2?

1212

x1， x1．

∵M(jìn)N

2

MF1?MF2，

2

∴?x1?4???2?

1

1???

x1??2?x1?． 2??2?

整理得5x12?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??

125

．                          ①

另一方面?2?x1?2．                               ② 則①與②矛盾，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M不存在．

說(shuō)明：

（1）利用焦半徑公式解?？珊?jiǎn)化解題過(guò)程．

（2）本例是存在性問(wèn)題，解決存在性問(wèn)題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進(jìn)行推理和運(yùn)算．進(jìn)而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷．

（3）本例也可設(shè)M2cos?3sin?存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）．

典型例題六

例6 已知橢圓

x

11?2

y?1，求過(guò)點(diǎn)P??且被P平分的弦所在的直線(xiàn)方程． 2?22?

2

分析一：已知一點(diǎn)求直線(xiàn)，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為k，利用條件求k． 解法一：設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)方程為y?整理得

1

1??

k?x??．代入橢圓方程，并22??

1?2k?x

2

2

2k?2kx?

2

2

12

k?k?

2

32

0．

由韋達(dá)定理得x1?x2?

2k?2k1?2k

2

．

12

∵P是弦中點(diǎn)，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直線(xiàn)方程為2x?4y?3?0．

．

4 / 20

分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為?x1，y1?、?x2，y2?，列關(guān)于x1、x2、y1、y2的方程組，從而求斜率：

y1?y2x1?x2

．

解法二：設(shè)過(guò)P??的直線(xiàn)與橢圓交于A?x1，y1?、B?x2，y2?，則由題意得

22?

11?

x122

y1?1，?2?2?x22

y2?1，??2

x1?x2?1，?

y1?y2?1.

①② ③④

2

2

2

①－②得

x1?x2

2

2

y1?y2?0．                ⑤

y1?y2x1?x2

12

12

將③、④代入⑤得??，即直線(xiàn)的斜率為?．

所求直線(xiàn)方程為2x?4y?3?0．

說(shuō)明：

（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問(wèn)題，主要有三種類(lèi)型：過(guò)定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．

（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問(wèn)題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率． （3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線(xiàn)問(wèn)題也適用．

典型例題七

例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

6?； （1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)?2，

（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6． 分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由

xa

222

ybx

22

1求出a?148，

2

b?37，在得方程

2

x

2

148

y

2

37

1后，不能依此寫(xiě)出另一方程

y

2

148

37

1．

5 / 20

為所求點(diǎn)，因此yM?3，且M在橢圓上．故xM?23．所以M233．

說(shuō)明：本題關(guān)鍵在于未知式AM?2MF中的“2”的處理．事實(shí)上，如圖，e?

12

，

即MF是M到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離的一半，即圖中的MQ，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)M，使M到A的距離與到右準(zhǔn)線(xiàn)距離之和取最小值．

典型例題九

例9 求橢圓

x

2

3

y?1上的點(diǎn)到直線(xiàn)x?y?6?0的距離的最小值．

2

分析：先寫(xiě)出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值．

解：橢圓的參數(shù)方程為?直線(xiàn)的距離為

3cos??sin??6d?

2

2sin?????6

3?

2

x?

3cos?，

設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為

y?sin?.

3cos?，sin?，則點(diǎn)到

．

當(dāng)sin?

1時(shí)，d最小值?22． ?3?

說(shuō)明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問(wèn)題時(shí)，可建立曲線(xiàn)的參數(shù)方程．

典型例題十

例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e?

32

3?2?

，已知點(diǎn)P?0?到

這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)．

分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問(wèn)題的能力，在求d的最大值時(shí)，要注意討論b的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要

善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識(shí)解決一些綜合性問(wèn)題，從而加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．

7 / 20

解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是

xa

22

yb

22

1，其中a?b?0待定．

由e?

2

ca

22

a?ba

2

22

1?

ba

22

可得

ba

e?

2

34

12

，即a?2b．

設(shè)橢圓上的點(diǎn)?x，y?到點(diǎn)P的距離是d，則

2

3?y?9?2?2

x??y???a?1??y?3y? 2??2?b?4??

2

2

2

d

2

1??

4b?3y?3y???3?y???4b2?3

42??

2

2

9

其中?b?y?b． 如果b?

12

，則當(dāng)y??b時(shí)，d2（從而d）有最大值．

2

由題設(shè)得

7?

3??

b??，由此得b?

2??

2

7?

32

12

，與b?

12

矛盾．

因此必有b?由題設(shè)得

12

2

成立，于是當(dāng)y??

12

時(shí)，d2（從而d）有最大值．

7?

2

4b?3，可得b?1，a?2．

∴所求橢圓方程是

x

2

4

y

2

1

1．

由y??

12

及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點(diǎn)??

3，?

1??

，點(diǎn)?2??

3，?

1?

到點(diǎn)2?

3?

P?0?的距離是7． ?2?

x?acos??y?bsin?

解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是?

0???2?，?為參數(shù)．

，其中a?b?0，待定，

由e?

2

ca

22

a?ba

2

22

b?

1???可得

a?

2

8 / 20

ba

e?

2

34

12

，即a?2b．

設(shè)橢圓上的點(diǎn)?x，y?到點(diǎn)P?0?的距離為d，則

2?

2

2

3?

d

2

3?3???22

x??y???acos???bsin???

2?2???

2

4b2?3b2sin2??3bsin??

2

94

1??2

3b2?sin????4b?3

2b??

如果

12b

1，即b?

12

，則當(dāng)sin???1時(shí)，d2（從而d）有最大值．

2

由題設(shè)得成立．

7?

2

3??

b??，由此得b?

2??12b

7?

32

12

，與b?

12

矛盾，因此必有

12b

1

于是當(dāng)sin???由題設(shè)知

時(shí)d2（從而d）有最大值．

7?

2

2

4b?3，∴b?1，a?2．

x?2cos?

∴所求橢圓的參數(shù)方程是?．

y?sin??

12

由sin???

，cos???

32

，可得橢圓上的是??

3，?

1??

，?2??

3，?

1?

． 2?

典型例題十一

例11 設(shè)x，y?R，2x?3y?6x，求x?y?2x的最大值和最小值． 分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程2x?3y?6x與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè)x?y?2x?m，顯然它表示一個(gè)圓，由此可以畫(huà)出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值．

解：由2x?3y?6x，得

2

2

2

2

2

2

22

22

9 / 20

3??

2?x??y??       ??1

93????

2?4?

2

可見(jiàn)它表示一個(gè)橢圓，其中心在?點(diǎn)．

設(shè)x2?y2?2x?m，則   ?x?1??y2?m?1

2

3

，0?點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)（0，0）點(diǎn)和（3，0）?2?

它表示一個(gè)圓，其圓心為（－1，0）半徑為m?1?m??1?．

在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如圖所示．觀察圖形可知，當(dāng)圓過(guò)（0，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最小，即m?1?1，此時(shí)m?0；當(dāng)圓過(guò)（3，0）點(diǎn)時(shí)，半徑最大，即m?1?4，∴m?15．

∴x2?y2?2x的最小值為0，最大值為15．

典型例題十二

xy

例12 已知橢圓C2?2?1?a?b?0?，A、B是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．

ab

b如何變化，?APB?120．（1）過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)F作垂直于長(zhǎng)軸的弦PP?，求證：不論a、

22

（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使?AQB?120，求C的離心率e的取值范圍． 分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問(wèn)都應(yīng)從?APB和?AQB的正切值出發(fā)做出估計(jì)，因

10 / 20

此要從點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率入手．本題的第（2）問(wèn)中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿(mǎn)足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：x?a，y?b，根據(jù)?AQB?120?得到

2ayx?y?a

2

2

2

將x?a???3，

22

ab

22

2

b、消去x，用a、以便利用y?bc表示y，y代入，

列出不等式．這里要求思路清楚，計(jì)算準(zhǔn)確，一氣呵成．

解：（1）設(shè)F?c，0?，B?a，0?，A??a，0?． ?x?c?b2

P?     ?22

2222?ca

bx?ay?ab

于是kAP?

b

2

a?c?a?

，kBP?

b

2

a?c?a?

．

∵?APB是AP到BP的角．

b

2

∴tan?APB?

ac?a1?

2

b

4

2

ac?a2

2

b

2ac

2

2

ac?a

∵a2?c2 ∴tan?APB??2

故tan?APB??3          ∴?APB?120?． （2）設(shè)Q?x，y?，則kQA?

yx?a

，kQB?

yx?a

．

由于對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)y?0，于是?AQB是QA到QB的角．

y

y

2ay? 2222

yx?y?a

2

∴tan?AQB?1?

x?a

2

∵?AQB?120，   ∴

2ayx?y?a

2

2

2

3

222

整理得3?x?y?a??2ay?0

∵x?a?

22

ab

22

y

2

2

a?2

∴3??1?b2?y?2ay?0

11 / 20

PF1?4b?PF2?4b?b?3b．

由橢圓第二定義，

PF1d1

e，d1為P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離，

∴d1?

PF1e

23b，

即P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為23b．

PF2d2

解法二：∵

e，d2為P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離，e?

ca

32

，

∴d2?

PF2e

233

b．

又橢圓兩準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2?

a

2

c

833

b．

∴P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

833

b?

233

b?23b．

說(shuō)明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的同側(cè)性．否則就會(huì)產(chǎn)生誤解． 橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如．一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離問(wèn)題，則用橢圓的第二定義．

典型例題十五

x?4cos?,?

例15 設(shè)橢圓?(?為參數(shù))上一點(diǎn)P與x軸正向所成角?POx?，求

3?y?23sin?.P點(diǎn)坐標(biāo)．

分析：利用參數(shù)?與?POx之間的關(guān)系求解．

解：設(shè)P(4cos?,23sin?)，由P與x軸正向所成角為

3

23sin?4cos?

3

，

∴tan?，即tan??2．

而sin??0，cos??0，由此得到cos??

55

，sin??

255

，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(

455

,

45

)．

13 / 20

典型例題十六

例16 設(shè)P(x0,y0)是離心率為e的橢圓

xa

22

22

yb

1 (a?b?0)上的一點(diǎn)，P到左焦

點(diǎn)F1和右焦點(diǎn)F2的距離分別為r1和r2，求證：r1?a?ex0，r2?a?ex0．

分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離．

解：P點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)l：x??

PF1PQ

a

2

c

的距離，PQ?x0?

a

2

c

，

由橢圓第二定義，?e，

∴r1?ePQ?a?ex0，由橢圓第一定義，r2?2a?r1?a?ex0．

說(shuō)明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．請(qǐng)寫(xiě)出橢圓焦點(diǎn)在y軸上的焦半徑公式．

典型例題十七

例17 已知橢圓

P是橢圓上一點(diǎn)．

2

2

x

9

y

5

1內(nèi)有一點(diǎn)A(1,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

(1) 求PA?PF1的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)； (2) 求PA?

32

PF2的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

分析：本題考查橢圓中的最值問(wèn)題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解．

14 / 20

解：

(1)如上圖，2a?6，F(xiàn)2(2,0)，AF2?PF1?PF2?2a?6

2，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，由

，

PA?PF2?AF2

，∴

PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?等號(hào)僅當(dāng)PA?PF2?AF2時(shí)成2，

立，此時(shí)P、A、F2共線(xiàn)．

由PA?PF2?AF2，∴PA?PF1?PF1?PF2?AF2?2a?AF2?6?號(hào)僅當(dāng)PA?PF2?AF2時(shí)成立，此時(shí)P、A、F2共線(xiàn)．

x?y?2?0,

建立A、F2的直線(xiàn)方程x?y?2?0，解方程組?2得兩交點(diǎn) 2

5x?9y?45?

P1(97?1514

2,

57?1514

2)、P2(

97?1514

2,

57?1514

2)．

2，等

綜上所述，P點(diǎn)與P1重合時(shí)，PA?PF1取最小值6?PA?PF2取最大值6?

2．

2，P點(diǎn)與P2重合時(shí)，

(2)如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)，Q為垂足，由a?3，c?2，

23

∴e?

32

．由橢圓第二定義知

PF2PQ

e?

23

，∴PQ?

32

PF2

，∴

PA?

PF2?PA?PQ，要使其和最小需有A、P、Q共線(xiàn)，即求A到右準(zhǔn)線(xiàn)距離．右

92

準(zhǔn)線(xiàn)方程為x?．

15 / 20

∴A到右準(zhǔn)線(xiàn)距離為

6551e

72

．此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿(mǎn)足條

件的點(diǎn)P坐標(biāo)(,1)．

說(shuō)明：求PA?

PF2的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過(guò)A向相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)段．巧

用焦點(diǎn)半徑PF2與點(diǎn)準(zhǔn)距PQ互化是解決有關(guān)問(wèn)題的重要手段．

典型例題十八

例18  (1)寫(xiě)出橢圓

x

2

2

9

y

4

1的參數(shù)方程；

(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．

分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡(jiǎn)化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線(xiàn)上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問(wèn)題便化歸為三角問(wèn)題．

x?3cos?

解：(1) ?(??R)．

y?2sin??

(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為S，由對(duì)稱(chēng)性知，矩形的鄰邊分別平行于x軸和y軸，設(shè)

(3cos?,2sin?)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，(0???

2)，

則S?4?3cos??2sin??12sin2??12

故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．

說(shuō)明：通過(guò)橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，一般地，與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題，用參數(shù)方程形式較簡(jiǎn)便．

典型例題十九

例19 已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且?F1PF2?60?． (1)求橢圓離心率的取值范圍；

16 / 20

(2)求證?PF1F2的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)． 分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為

xa

22

yb

22

，P(x1,y1)（y1?0）． ?1（a?b?0）

KPF2?KPF11?KPF2KPF1

2

思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線(xiàn)的夾角公式，即tan60???3，設(shè)

P(x1,y1)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，化簡(jiǎn)可得

x1a

2

3x1?

2

3y1?2cy1?

2

3c?0．又

2

y1b

2

2

1，兩方程聯(lián)立消去x1得3cy1?2bcy1?

2222

3b?0，由y1?(0,b]，可以

4

確定離心率的取值范圍；解出y1可以求出?PF1F2的面積，但這一過(guò)程很繁．

思路二：利用焦半徑公式PF1?a?ex1，PF2?a?ex1，在?PF1F2中運(yùn)用余弦定理，求x1，再利用x1?[?a,a]，可以確定離心率e的取值范圍，將x1代入橢圓方程中求y1，便可求出?PF1F2的面積．

思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合PF1?PF2?2a求解．

xa

22

解：(法1)設(shè)橢圓方程為

c?0，

yb

22

，P(x1,y1)，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，?1（a?b?0）

則PF1?a?ex1，PF2?a?ex1． 在?PF1F2中，由余弦定理得

cos60??

12?

(a?ex1)?(a?ex1)?4c

2(a?ex1)(a?ex1)

2

2

2

2

，

解得x1?

2

2

4c?a3e

2

2

．

2

(1)∵x1?(0,a]，

∴0?

4c?a3e

2

22

a，即4c?a?0．

222

17 / 20

22?m?n?mn

2?(m?n)?3mn

∵m?n?2a，

∴4c2?4a2?3mn，即mn?

1

23343(a?c)?2243b． 2∴S?PFF?12mnsin60??b． 2

即?PF1F2的面積與橢圓短軸長(zhǎng)有關(guān)．

說(shuō)明：橢圓上的一點(diǎn)P與兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有

關(guān)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過(guò)變形，使之出現(xiàn)PF1?PF2的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)a，c的關(guān)系式，使問(wèn)

題找到解決思路．

典型例題二十

例20 橢圓x

a2222?yb?1(a?b?0)與x軸正向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P，

使OP?AP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率e的取值范圍．

分析：∵O、A為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，可以P點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把OP?AP，轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于a、b、c的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??x?acos?

y?bsin?(a?b?0)，

則橢圓上的點(diǎn)P(acos?,bsin?)，A(a,0)，

bsin?

acos?bsin?acos??a∵OP?AP，∴???1，

即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??

2

222222b222a?b22， ∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?b2a?b?1，又b?a?c 2

∴0?

ac22?2，

∴e?2

2，又0?e?1，∴2

2?e?1．

說(shuō)明：若已知橢圓離心率范圍(證明？

22,1)，求證在橢圓上總存在點(diǎn)P使OP?AP．如何

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