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陶行知指出：“教”的法子要根據(jù)“學(xué)”的法子。學(xué)生是有自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式與特征的，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重新認(rèn)識，不僅能促進教學(xué)行為的改善，“學(xué)”與“教”品質(zhì)的提升，還能促進教師教學(xué)觀念的重建。 我們所面對的學(xué)生，并非是“一無所有”地走進課堂的，他們在生活中就已經(jīng)有許多數(shù)學(xué)知識的體驗，而學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)則是他們生活中有關(guān)數(shù)學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)與升華。學(xué)生原有的知識儲備，以及在社會生活中所形成的關(guān)于數(shù)學(xué)的樸素認(rèn)識，都構(gòu)成了他們進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“特定視界”，影響并制約著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)生從“有”走向“更有”的過程。通俗地理解，學(xué)習(xí)是一種變化，這樣的變化，表現(xiàn)為從“有”到“更有”。當(dāng)然，什么發(fā)生變化，發(fā)生怎樣的變化，這都是有標(biāo)準(zhǔn)的。 以三年級學(xué)生“認(rèn)識長方形和正方形”的教學(xué)為例。在一年級，學(xué)生就已經(jīng)直觀認(rèn)識了長方形、正方形，還有不少學(xué)生在幼兒園就已經(jīng)整體辨識了長方形和正方形。那么，通過三年級的學(xué)習(xí)，他們“更有”什么呢？學(xué)生的“認(rèn)識”與這節(jié)課之前的“認(rèn)識”有什么發(fā)展呢？ 在認(rèn)識了長方形和正方形的特征之后，我出示了下面的問題：下面的圖形中，哪些是長方形？哪些是正方形？ 這樣的問題，在一年級，學(xué)生就能完成了。三年級再做這樣練習(xí)的不同之處在于要學(xué)生說清楚選擇的理由，而這恰恰要應(yīng)用此時所認(rèn)識的長方形和正方形的特征作答。 在解釋的過程中，學(xué)生會初步感受到：要說它是長方形或正方形，必須看它是否符合長方形和正方形的所有特征，而判斷它不是長方形或正方形，只要有一點特征不符合，就可以做出判斷。由此，學(xué)生可看出“有”和“更有”的不同，從而使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與結(jié)果更有意義和價值。 臺灣作家林清玄曾在文章中寫道：墾地播種，總是“花未發(fā)而草先萌，禾未綠而草先青”。為何？原來是草籽早在耕種前就已經(jīng)存在。在學(xué)生學(xué)習(xí)新知的過程中，我們關(guān)注過他們原來頭腦中的“草籽”嗎？原有的“草籽”，能否生長成為“禾苗”呢？ “草籽”，其實也相當(dāng)于學(xué)生學(xué)習(xí)新知前的“感覺”。學(xué)習(xí)，是需要感覺的。面對新知，如果學(xué)生對此一無所知，很容易在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生“防御性的反應(yīng)”，而如果我們對所學(xué)內(nèi)容有所接觸、有所感覺、有所知曉，且在我們的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，那接下來的學(xué)習(xí)將會充滿信心和動力。 以“圖形的放大與縮小”的教學(xué)為例。 在日常生活中，學(xué)生就已經(jīng)積淀了有關(guān)“放大”和“縮小”的認(rèn)識?；诖耍處熞鹬貙W(xué)生的已知、已有，組織學(xué)生在敞亮“感覺”的過程中建構(gòu)圖形“放大”和“縮小”的正確理解。 我在出示圖1之后，分別演示圖1“放大”成圖2、圖3、圖4。 我指出：“如果按照我們平時的想法，與圖1比，圖2、圖3、圖4這3幅圖都放大了。不過，3幅圖中，只有1幅圖符合數(shù)學(xué)意義上的放大。你認(rèn)為是哪一幅呢？” 學(xué)生憑著自己的感覺，都認(rèn)為是圖4，并且能解釋自己的感覺——放大時，長和寬放大的倍數(shù)應(yīng)相等。 我接著出示圖1的尺寸（長3厘米，寬2厘米）和圖4的尺寸（長6厘米，寬4厘米）。學(xué)生用學(xué)過的“倍”的說法表達(dá)怎樣放大之后，我提出：“能用‘比’表 達(dá)嗎？也就是說，圖1按照幾比幾放大成圖4？” 學(xué)生憑著自己的“感覺”，有的說“按1：2放大”，有的說“按 1：4 放大”。接下來，我就順其自然地引導(dǎo)學(xué)生閱讀、自學(xué)教科書了。 教學(xué)片段中同時對比呈現(xiàn)圖形的“拉伸”與“放大”，學(xué)生潛在的感覺（放大，長和寬都要放大）被明晰、強化。進而，我又以反例，以反襯正、以反激正，促進學(xué)生完善認(rèn)識“放大時，長和寬放大的倍數(shù)應(yīng)相等”。 在完成對“放大”的定性認(rèn)識之后，我緊接著組織學(xué)生探討關(guān)于放大的定量刻畫。當(dāng)談及“放大”和“縮小”時，我們一般認(rèn)為把原圖邊長擴大2倍，即按1：2放大，或許還會像學(xué)生所說的面積擴大到原來的4倍，做出“1：4”的回答。而數(shù)學(xué)上的規(guī)定，恰恰是2：1。我先讓學(xué)生把“感覺”敞亮出來，繼而引發(fā)他們看書自學(xué)的內(nèi)在需求，并在交流中去偽存真，實現(xiàn)概念替代。 學(xué)生的感覺，有的對，有的錯。但無論對與錯，都反映了學(xué)生真實的學(xué)習(xí)起點。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)在學(xué)生原有基礎(chǔ)上展開。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，是學(xué)生對數(shù)學(xué)有所“發(fā)現(xiàn)”的過程。這里的“發(fā)現(xiàn)”，是學(xué)生對前人已有定論的數(shù)學(xué)知識的習(xí)得，是對自身未知領(lǐng)域的“發(fā)現(xiàn)”。正如弗賴登塔爾所說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。 以“銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形”的教學(xué)為例。在沒有學(xué)習(xí)銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形之前，學(xué)生根據(jù)上述命名即可大致了解這三種圖形的含義。教學(xué)時，我設(shè)計了對學(xué)生更具有挑戰(zhàn)性的問題：如果將三角形按角進行分類，可以怎樣分類？能用圖表示嗎？ 一位學(xué)生是這樣想的，如下： 在該學(xué)生展示交流之后，學(xué)生就等腰直角三角形展開討論并形成認(rèn)識：等腰直角三角形是等腰三角形中一種特殊的情況，特殊在有一個角是直角；等腰直角三角形是直角三角形中一種特殊的情況，特殊在有兩條邊相等。 接著，我引導(dǎo)學(xué)生思考：等腰直角三角形和直角三角形是不是并列的關(guān)系？它們之間的關(guān)系和我們之前學(xué)習(xí)的什么知識類似？在學(xué)生回答“垂直與相交”后，我在黑板上畫出下圖（如圖5），并提出問題：垂直與相交，如果用這里的兩個圈表示它們之間的關(guān)系，大圈表示什么？小圈呢？在學(xué)生回答后，我再組織學(xué)生思考：還是這兩個圈，如何表示等腰三角形與等腰直角三角形的關(guān)系？直角三角形與等腰直角三角形呢？由此來看，等腰直角三角形與銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形之間，是不是并列關(guān)系？ 大多數(shù)學(xué)生回答“不是”，其中一位學(xué)生脫口而出：“包含關(guān)系?！蔽矣謫枺骸叭绻切伟唇欠诸悾梢栽鯓臃诸?，它們之間的關(guān)系如何畫圖呢？”我展示一位學(xué)生畫的圖，如圖6（我了解了全班學(xué)生畫圖情況，發(fā)現(xiàn)沒有學(xué)生用集合圖的形式表示三角形的按角分類）。 我提出問題：“如果畫圈，應(yīng)怎樣畫呢？”一位學(xué)生到黑板上畫出了圖7。 這時，有學(xué)生質(zhì)疑：“在大圈中，三個小圈的外面表示什么呢？”接著，一位學(xué)生到黑板上畫出了圖 8。 又有學(xué)生質(zhì)疑：“這樣的圖，讓人感覺直角三角形、鈍角三角形都是特殊的銳角三角形?！?/span> 最后，一位學(xué)生畫出了圖9。 至此，通過充分互動、相互啟發(fā)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如何用集合圖來表示三角形的按角分類。在這個過程中，學(xué)生也進一步認(rèn)識與理解了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形以及它們之間的關(guān)系。 從上面的教學(xué)片段可以看出，學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”不是無厘頭，也不是空穴來風(fēng)，而是有所準(zhǔn)備的，既包括心理準(zhǔn)備，又包括認(rèn)知準(zhǔn)備。準(zhǔn)備的過程是學(xué)生積蓄想法、醞釀發(fā)現(xiàn)的過程?！斑^程”的價值，不但催生了學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”，而且學(xué)生觀察、比較、歸納、概括等能力都得到了發(fā)展。 發(fā)現(xiàn)不僅是一種方法，還是一種意識，主動獲取自身尚未知曉的知識的意識，更是一種能力，求己所未知的能力。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，就是在教師組織、引導(dǎo)下，學(xué)生積極發(fā)現(xiàn)，自主建構(gòu)，實現(xiàn)再創(chuàng)造的過程。 基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，有必要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，這不僅會使教學(xué)變得有“意思”，也讓教學(xué)變得有“意義”，學(xué)生們將不僅僅停留在“知道”層面，更能感受數(shù)學(xué)形成的過程，體會人類認(rèn)識世界、數(shù)學(xué)化地刻畫世界的過程，即在認(rèn)識歷史的過程中理解數(shù)學(xué)。 “年、月、日”的教學(xué)目標(biāo)一般為：通過觀察年歷表認(rèn)識時間單位年、月、日，知道大月、小月、平年、閏年等方面的知識，記住每個月以及平年、閏年的天數(shù)。由上述教學(xué)目標(biāo)可以看出“年、月、日”第一課時要學(xué)的內(nèi)容。無疑，這是“數(shù)學(xué)”。不過，這是靜態(tài)的、結(jié)論性的數(shù)學(xué)知識。 現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀已經(jīng)從靜態(tài)主義的觀點轉(zhuǎn)向動態(tài)主義的觀點。數(shù)學(xué)不應(yīng)被簡單地等同于數(shù)學(xué)知識的匯集，不應(yīng)被看作無可懷疑的真理的集合，而應(yīng)被看作人類的一種創(chuàng)造性勞動。 以往我在教學(xué)“年、月、日”這一內(nèi)容時，大致按照這樣的思路展開：觀察年歷表，理清每個月的天數(shù)；根據(jù)每個月的天數(shù)對月份進行分類，認(rèn)識并記住大月和小月；關(guān)注二月份天數(shù)的不同，認(rèn)識平年和閏年；研究二月份天數(shù)的變化規(guī)律，探究平年和閏年的判定方法。這與教材的編寫思路是一致的。 研讀教材之后，視線再轉(zhuǎn)向?qū)W生：學(xué)生需要從年歷表中歸納學(xué)習(xí)“年、月、日”的知識嗎？“年、月、日”與學(xué)生的生活聯(lián)系緊密，關(guān)于“年、月、日”，學(xué)生已經(jīng)知道了什么？ 通過調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)三年級的學(xué)生大部分已經(jīng)知曉了“年、月、日”的一些知識，如果教師仍然按照原先的思路組織學(xué)生觀察年歷表，那學(xué)生也就只能表現(xiàn)為“知道卻裝作不知道”了。 進一步思考：如果不這樣設(shè)計，那么這節(jié)課的數(shù)學(xué)味是什么呢？即如何體現(xiàn)這是一節(jié)數(shù)學(xué)課呢？換個說法，數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)的“年、月、日”與科學(xué)課上的“年、月、日”有何不同呢？ 既然學(xué)生已經(jīng)知道了“年、月、日”的一些知識，我再“助推”一下，組織學(xué)生在課前進一步研究學(xué)習(xí)“年、月、日”。我設(shè)計了下面三個問題： （1）關(guān)于“年、月、日”，我知道了什么？ （2）對“年、月、日”，我有什么疑問？ （3）我收集了哪些有關(guān)“年、月、日”的知識或數(shù)學(xué)故事？ 課堂從交流學(xué)生關(guān)于“年、月、日”的已知信息入手，學(xué)生先同桌間交流，然后全班交流，交流的內(nèi)容既有本課學(xué)習(xí)的，也有后續(xù)將要學(xué)習(xí)的，既有正確的，也有不正確的。 關(guān)于“年、月、日”，學(xué)生的疑問大致有兩類：一類是如“為什么二月的天數(shù)最少？”“為什么七月、八月都是大月？”這樣知曉結(jié)果追問緣由的問題；一類是如“年、月、日是誰發(fā)明的？”這樣對歷史由來的追問。 如何解答這些問題？顯然，得從歷史中尋找答案。從這些問題中，我們要看到數(shù)學(xué)知識，更要看到隱于知識背后的數(shù)學(xué)思想、精神…… 對于“為什么二月的天數(shù)最少？”“為什么七月、八月都是大月？”這樣的問題，讓學(xué)生“百度”一下，古羅馬凱撒與奧古斯都的故事都不難找到。那這樣的故事是否一“聽”就可以了之了呢？我的教學(xué)處理是這樣的： 教師邀請學(xué)生講解凱撒、奧古斯都的故事。之后，教師和全班學(xué)生共同回顧故事內(nèi)容并提問：“最初，大月、小 月是如何規(guī)定的？”師生完成列式解答。在計算的過程中，學(xué)生初步經(jīng)歷了歷法的變化與調(diào)整過程，對儒略歷的認(rèn)識，對大月、小月的規(guī)定不再停留于簡單的接受。 對于“年、月、日是誰發(fā)明的”這樣的問題，坦率地說，我最初也沒有想過。我所知曉的，就是年、月、日與太陽、月亮、地球有關(guān)。究竟是誰發(fā)明的年、月、日呢？查閱了一番資料之后，我豁然開朗，是古人源于對自然現(xiàn)象的觀察。 如何與三年級的學(xué)生交流這些呢？我用課件先后呈現(xiàn)從黑夜到白天的圖片、月亮圓缺變化的圖片以及一棵樹的樹葉從無到有、從綠到黃、從有到無變化的圖片，并向?qū)W生講述：古時候生活在地球上的人通過長期觀察，發(fā)現(xiàn)太陽升起落下、日復(fù)一日的變化，月亮陰晴圓缺、月復(fù)一月的變化，氣候四季交替、年復(fù)一年的變化，于是逐漸建立起了年、月、日的概念。 上述教學(xué)，試圖讓學(xué)生體會時間是關(guān)于過程的度量。時間涉及過程，是事物發(fā)生與運動的產(chǎn)物，要建立與時間有關(guān)的概念，必須要有參照物。對人類來說，最好的參照物就是太陽、月亮和浩瀚的星空。為了準(zhǔn)確地表達(dá)時間的概念，就必須清晰地描述地球與參照物之間、參照物與參照物之間的變化關(guān)系，而且準(zhǔn)確、清晰表達(dá)的捷徑就是借助數(shù)學(xué)語言。這便是用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實中的故事，這是一個完整的構(gòu)建模型的過程。 為了讓學(xué)生進一步體會人類的文明成果，課尾，我留下問題：如果沒有年、月、日，這世界將會變成什么樣？讓學(xué)生在想象中體會年、月、日這一來源于生活實踐又作用于生活實踐的發(fā)明的重要意義。 歷法的形成，是一個漫長的、復(fù)雜的演變過程，其中的故事、軼事反倒使本來比較枯燥的“年、月、日”知識變得溫情脈脈，或者說，變得好玩起來。將這些故事、軼事引人教學(xué)，從而“年、月、日”的教學(xué)多了份歷史的厚重感，學(xué)生對各月的天數(shù)也多了份“理解”。 聲明：本文綜合整理而成，歡迎朋友圈分享，微信公眾號或其他形式轉(zhuǎn)載，請注明出處。 |
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