最值問題解法舉例

　　在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題，我們稱之為“最大最小問題”?！白畲蟆薄ⅰ白钚　笔峭瑢W(xué)們所熟悉的兩個(gè)概念，多年來各級數(shù)學(xué)競賽中屢次出現(xiàn)求最值問題，但一些學(xué)生感到束手無策。

　　一、枚舉法

　　例1一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)在有4把鑰匙4把鎖。但不知哪把鑰匙開哪把鎖，最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖?

　　(北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題)

　　分析與解開第一把鎖，按最壞情況考慮試了3把還未成功，則第4把不用試了，它一定能打開這把鎖，因此需要3次。同樣的道理開第二把鎖最多試2次，開第三把鎖最多試1次，最后一把鎖則不用再試了。這樣最多要試的次數(shù)為：3+2+1=6(次)。

　　二、綜合法

　　例2x3=84A(x、A均為自然數(shù))。A的最小值是______。(1997年南通市數(shù)學(xué)通訊賽試題)

　　分析與解根據(jù)題意，84A開立方的結(jié)果應(yīng)為自然數(shù)，于是我們可以把84分解質(zhì)因數(shù)，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的質(zhì)因數(shù)至少含有一個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)7，才能滿足上述要求。

　　即A的最小值為(2×3×3×7×7=)882。

　　三、分析法

　　例3一個(gè)三位數(shù)除以43，商是a，余數(shù)是b，(a、b均為自然數(shù))，a+b的最大值是多少?

　　(廣州市五年級數(shù)學(xué)競賽試題)

　　分析與解若要求a+b的最大值，我們只要保證在符合題意之下，a、b盡可能大。由乘除法關(guān)系得

　　43a+b=一個(gè)三位數(shù)

　　因?yàn)閎是余數(shù)，它必須比除數(shù)小，即b<43b的最大值可取42。

　　根據(jù)上面式子，考慮到a不能超過23。(因?yàn)?4×43>1000，并不是一個(gè)三位數(shù))

　　當(dāng)a=23時(shí)，43×23+10=999，此時(shí)b最大值為10。

　　當(dāng)a=22時(shí)，43×22+42=988，此時(shí)b最大值為42。

　　顯然，當(dāng)a=22，b=42時(shí)，a+b的值最大，最值為22+42=64。

　四、公式法

　　例4兩個(gè)自然數(shù)的和為18，那么，這兩個(gè)自然數(shù)的積的最大值為多少?(廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)

　　分析與解設(shè)兩個(gè)正數(shù)分別為a、b，它們有以下幾種關(guān)系，a+b≥

　　值，運(yùn)用此公式，本題迎刃而解。

即這兩個(gè)自然數(shù)的積的最大值為81。

　　五、圖表法

　　例5某公共汽車從起點(diǎn)站開往終點(diǎn)站，中途共有9個(gè)停車站。如果這輛公共汽車從起點(diǎn)站開出，除終點(diǎn)站外，每一站上車的乘客中從這一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下車。為了使每位乘客都有座位。那么這輛汽車至少應(yīng)有座位多少個(gè)?

　　(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題)

　　分析與解根據(jù)題意，每站下車的乘客數(shù)最少要等于該站后面的車站數(shù)，列表如下：

　　從表中可以看出，車上乘客最多時(shí)，是在第五站乘客上下車后的人數(shù)，此時(shí)人數(shù)為

　　(10+9+8+7+6)-(1+2+3+4)=30(人)

　　所以這輛汽車至少應(yīng)有座位30個(gè)。

　　最大最小問題，涉及面廣，判斷最值的方法較多，上面所列舉的僅是幾種常見的解題方法

數(shù)列推理的妙用

　　我們經(jīng)常遇到這樣一類問題，即給一列數(shù)，要求根據(jù)數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，通過分析推理，得出其排列規(guī)律，從而推出要填的數(shù)。例如：

　　在下列各列數(shù)中，□內(nèi)應(yīng)填什么數(shù)?

　　(1)3，11，19，□;

　　(2)7.9，6.6，5.3，□;

　　(3)□，25，42，59。

　　這幾列數(shù)的排列規(guī)律是不難發(fā)現(xiàn)的：在第(1)列數(shù)中，后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)多8，□內(nèi)應(yīng)填27;在第(2)列數(shù)中，后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)少1.3，□內(nèi)應(yīng)填4;在第(3)列數(shù)中，前一個(gè)數(shù)比后一個(gè)數(shù)少17，□內(nèi)應(yīng)填8。

　　巧妙地運(yùn)用這種簡單的推理方法，我們可以解決一類“消去問題”。今舉數(shù)列說明如下。

　　例1 學(xué)校計(jì)劃購買籃球和排球。如果購買6只籃球和5只排球要花263元;如果購買4只籃球和7只排球，則要花245元。問一只籃球和一只排球各值多少元?

　　解 把已知條件寫成下面兩列：

　　籃球6 4

　　排球5 7

　　價(jià)值 263 245

　　首先我們橫著看，把它們看成三列數(shù)，第一列由6到4，減少2，因此推出第三項(xiàng)的數(shù)為2，第四項(xiàng)的數(shù)為0，即6→4→2→0;同理，第二列數(shù)為5→7→9→11，第三列數(shù)為263→245→227→209。上面推理過程可以表述為：

　　現(xiàn)在我們豎著看，第四列(推出的)數(shù)表示0只籃球與11只排球價(jià)值為209元，即1只排球?yàn)?209÷11=)19(元)。再根據(jù)第一個(gè)條件，可算得1只籃球?yàn)?263-19×5)÷6=)28(元)。

　　例2 甲、乙兩人加工零件，甲做11時(shí)，乙做9時(shí)，共加工零件213個(gè);甲做9時(shí)，乙做6時(shí)，共加工零件162個(gè)。問甲、乙兩人每時(shí)各加工幾個(gè)零件?

　　解 把已知條件寫成豎列，按橫列推理：

　　豎著看：第四列(即推出的最后一列)表示甲5時(shí)做60個(gè)零件，則每時(shí)做(60÷5=)12(個(gè))零件，從而知道乙每時(shí)做的零件個(gè)數(shù)為：(213-12×11)÷9=9(個(gè))

　　這種解題方法，把已知條件看成數(shù)列，而且往遞減方向(至少有一列遞減)推理，直到有一列的某項(xiàng)為零，就很容易得到結(jié)果。上面的兩個(gè)例子，都是從左往右推理的，如果這樣做得不到某列的某項(xiàng)為零時(shí)，就可考慮從右往左推理。

　例3 某商店出售水果，3千克蘋果和5千克雪梨共值22.50元，4千克蘋果和2千克雪梨共值16.00元。試問蘋果和雪梨每千克價(jià)格各是多少元?

　　解 把已知條件寫成兩列：

　　蘋果3 4

　　雪梨5 2

　　價(jià)值 22.50 16.00

　　橫著從左往右推理，第一列為

　　……推不出零;第二列為

→……也推不出零。因此，考慮從右往左推理(已知條件為右邊的兩列)。

　　這里，左邊的第一豎列(推出的)表示14千克雪梨42.00元，則每千克雪梨價(jià)格為(42.00÷14=)3.00(元)，所以，每千克蘋果的價(jià)格為：(16.00-3.00×2)÷4=2.50(元)。

　　最后需要說明的是，這種數(shù)列推理的方法，雖然巧妙有趣，但并不是萬能的。如果已知條件給出的數(shù)列，橫著從左往右推或從右往左推都得不到某項(xiàng)為零時(shí)，就不能用這種方法直接推理得到結(jié)果。這時(shí)，我們就應(yīng)該換一換思考角度，用其他方法來處理。

幾何競賽題的特殊解法

　　幾何形體知識是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對常規(guī)的幾何題學(xué)生比較容易解答，但是對有一定難度的競賽題，指導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真地觀察圖形的形狀、位置，抓住圖形的主要特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行分析，思考，從而找出解決問題的途徑。

　　一、等量代換法

　　例1 如圖1，已知三角形ABC的面積為56平方厘米，是平行四邊形DEFC的2倍。求陰影部分的面積。

　　分析從所給的條件來看，不知道△ADE任何一條邊及其所對應(yīng)的高，因此很難直接求出△ADE的面積。只能從已知面積的部分與所求圖形面積之間的關(guān)系來著手分析。由題意可知四邊形DEFC為平行四邊形，所以連接E、C點(diǎn)，△DEC的面積為平行四邊形面積的一半。根據(jù)同底等高的三角形面積相等，可知△AED與△DEC的面積相等，而△DEC的面積等于平行四邊形面積的一半，因此，△ADE的面積也等于平行四邊形面積的一半。問題即可解決。

　　列式：56÷2÷2=14(平方厘米)

　　二、轉(zhuǎn)化法

　　例2 如圖2，四邊形ABCD為長方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面積比三角形DEF的面積大30平方厘米，求DE的長。

　　如圖2，四邊形ABCD為長方形，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面積比三角形DEF的面積大30平方厘米，求DE的長。

　　(第三屆小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)競賽決賽題)

　　分析把三角形ABF和三角形DEF分別加上四邊形BCDF，那么它們分別轉(zhuǎn)化成長方形ABCD和三角形BCE。根據(jù)三角形ABF比三角形DEF的面積大30平方厘米，把它們分別加上四邊形BCDF后，即轉(zhuǎn)化成長方形ABCD比三角形BCF的面積大30平方厘米。先求出三角形BCE的面積，根據(jù)三角形的面積和BC的長度，求出CE的長度，DE的長度即可求出。列式：(15×8-30)×2÷15-8=4(平方厘米)

　　三、假設(shè)法

　　例3 圖3中長方形的面積為35平方厘米，左邊直角三角形的面積為5平方厘米，右上角三角形的面積為7平方厘米，那么中間三角形(陰影部分)的面積是____平方厘米。

　　(1996年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽初賽B卷題)

　　分析因?yàn)殚L方形的面積為35平方厘米，不妨假設(shè)AB=5厘米，AD=7厘米，因?yàn)镾△ABE=5平方厘米，所以BE=5×2÷5=2厘米，EC=7-2=5厘米，同理：DF=7×2÷5=2厘米，CF=5-2=3厘米，那么S△ECF=5×3÷2=7.5厘米，陰影部分面積即可求出。列式：35-(7+5+7.5)=15.5(平方厘米)

　四、巧用性質(zhì)

　　例4 如圖4，三角形ABC是直角三角形，已知陰影(Ⅰ)的面積比陰影(Ⅱ)的面積小23平方厘米，BC的長度是多少?(π=3.14)

　　(北京市第三屆迎春杯數(shù)學(xué)競賽試題)

　　分析此題初看似乎無法解答，因?yàn)殛幱安糠?Ⅰ)、(Ⅱ)都是不規(guī)則圖形，但仔細(xì)觀察，不難看出，陰影(Ⅰ)是半圓的一部分，陰影(Ⅱ)是三角形ABC的一部分，根據(jù)“差不變的性質(zhì)”可以把(Ⅰ)和(Ⅱ)分別加(Ⅲ)，分別得到半圓和△ABC，它們的面積差不變，這樣就可以求出三角

×2÷20=18(厘米)

　　五、參數(shù)法

　　例5 將圖5(a)中的三角形紙片沿著虛線折疊的粗實(shí)圖形面積(圖b)與原三角形的面積比為2∶3，已知圖(b)中三個(gè)畫陰影的三角形面積之和為1，那么重疊部分的面積為______。

　　(1988年北京市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽復(fù)賽題)

　　分析圖b中重疊部分是不規(guī)則的四邊形，很難直接求出它的面積。從圖b中可以觀察陰影部分面積加上空白部分面積的2倍等于原三角形的面積，實(shí)線部分的面積應(yīng)為空白部分面積加上1，根據(jù)這一等量關(guān)系可以列方程。設(shè)空白部分面積為x，(x+1)∶(2x+1)=2∶3，x=1。　　

　　六、用比例解

　　例6 如圖6，四邊形ABCD被AC和BD分成甲、乙、丙、丁四部分，已知BE=60厘米，CE=40厘米，DE=30厘米，AE=80厘米。問丙、丁兩個(gè)三角形的面積之和是甲、乙兩個(gè)三角形的面積之和多少倍?(第三屆華羅庚金杯賽決賽題)

　　分析從圖中可以看出甲、丁都在△ADC中，所以兩個(gè)三角形的高相等，乙和丁都在△ABC中，所以兩個(gè)三角形的高也相等。根據(jù)高相等的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊長之比，那么：

　　S甲∶S丁=AE∶EC=80∶40=2∶1S甲=2S丁

　　S乙∶S丁=BE∶DE=60∶30=2∶1S乙=2S丁

　　S甲+S乙=4S丁

　　S丙∶S甲=BE∶DE=60∶30=2∶1S丙=2S甲=4S丁

　　所以，(S丙+S丁)∶(S甲+S乙)

　　=(4S丁+S丁)∶(S甲+S乙)=5S丁÷4S丁