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什么叫平均差?什么叫極差,?什么叫方差,什么叫標(biāo)準(zhǔn)差?(初二下學(xué)期)數(shù)學(xué)

 朦朧齋主人 2015-03-08
什么叫平均差?什么叫極差, 什么叫方差,什么叫標(biāo)準(zhǔn)差?(初二下學(xué)期)數(shù)學(xué)
閱讀:30722007-06-30 12:18
1. 極差是指一組數(shù)據(jù)內(nèi)的最大值和最小值之間的差異。
極差=最大值—最小值
2. 先平均,再求差,然后平方,最后再平方,得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)的偏離平均值的情況,這個(gè)結(jié)果通常稱為方差。
方差S2=1/ n [ (x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+……+( xn-x)2]
S2 是表示一組數(shù)據(jù)的方差,用x 表示一組數(shù)據(jù)的平均值,x1、x2、x3、 xn —表示各個(gè)原始數(shù)據(jù)。
方差是表現(xiàn)點(diǎn)的離散程度的,方差越小,點(diǎn)的離散程度越小,也就越接近平均值。方差越小,成績(jī)就越穩(wěn)定。
3.至于標(biāo)準(zhǔn)差就是方差開根號(hào)。
平均差是說(shuō)明集中趨勢(shì)的,標(biāo)準(zhǔn)差是說(shuō)明一組數(shù)據(jù)的離中趨勢(shì)的。
極差越大,平均差的代表性越小,反之亦然;標(biāo)準(zhǔn)差越大,平均差的代表性越小,反之亦然。


全距(Range),又稱極差,是用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)(measures of variation),其最大值與最小值之間的差距;即最大值減最小值后所得之?dāng)?shù)據(jù)。極差不能用作比較,單位不同 ; 方差能用作比較, 因?yàn)槎际莻€(gè)比率。

極差是指一組測(cè)量值內(nèi)最大值與最小值之差,又稱范圍誤差或全距,以R表示。它是標(biāo)志值變動(dòng)的最大范圍,它是測(cè)定標(biāo)志變動(dòng)的最簡(jiǎn)單的指標(biāo)。。移動(dòng)極差(Moving Range)是其中的一種。

極差沒有充分利用數(shù)據(jù)的信息,但計(jì)算十分簡(jiǎn)單,僅適用樣本容量較小(n<10)情況。

中文名:極差
外文名:range
別稱:全距
屬性:用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)
適用:適用樣本容量較小(n<10)情況
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計(jì)算公式

全距=最大標(biāo)志值—最小標(biāo)志值

R=Xmax-Xmin

(其中,Xmax為最大值,Xmin為最小值)

例如 :12 12 13 14 16 21

這組數(shù)的極差就是 :21-12=9

方差計(jì)算公式:s^2=(1/n)*[(x1-x0)^2 + (x2-x0)^2 +...+ (xn-x0)^2]

(X0即為x的平均值)

移動(dòng)極差

移動(dòng)極差(Moving Range),是指兩個(gè)或多個(gè)連續(xù)樣本值中最大值與最小值之差,這種差是按這樣方式計(jì)算的:每當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)額外的數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí),就在樣本中加上這個(gè)新的點(diǎn),同時(shí)刪除其中時(shí)間上“最老的”點(diǎn),然后計(jì)算與這點(diǎn)有關(guān)的極差,因此每個(gè)極差的計(jì)算至少與前一個(gè)極差的計(jì)算共用一個(gè)點(diǎn)的值。一般說(shuō)來(lái),移動(dòng)極差用于單值控制圖,并且通常用兩點(diǎn)(連續(xù)的點(diǎn))來(lái)計(jì)算移動(dòng)極差。

極差計(jì)算示例

求下列數(shù)字集的極差

65、81、73、85、94、79、67、83、82

極差指的是這些數(shù)字分開得有多遠(yuǎn),計(jì)算方法是:用其中最大的數(shù)減去最小的數(shù)

首先找其中最大的數(shù),65、81、73、85、94、79、67、83、82

最大數(shù)是94,94比其他數(shù)都大,所以它是這些數(shù)字中最大的。然后要減去這些數(shù)字中最小的。該數(shù)字集中最小的數(shù)字是65。

那么極差是:

94?65

算一算

94?65=29

這個(gè)數(shù)字越大,表示分得越開,最大數(shù)和最小數(shù)之間的差就越大,該數(shù)越小,數(shù)字鍵就越緊密,這就是極差的概念!


用途和意義

在統(tǒng)計(jì)中常用極差來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度,以及反映的是變量分布的變異范圍和離散幅度,在總體中任何兩個(gè)單位的標(biāo)準(zhǔn)值之差都不能超過(guò)極差。同時(shí),它能體現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的范圍。極差越大,離散程度越大,反之,離散程度越小。

極差只指明了測(cè)定值的最大離散范圍,而未能利用全部測(cè)量值的信息,不能細(xì)致地反映測(cè)量值彼此相符合的程度,極差是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的有偏估計(jì)值,當(dāng)乘以校正系數(shù)之后,可以作為總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)值,它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單,含義直觀,運(yùn)用方便,故在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理中仍有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。 但是,它僅僅取決于兩個(gè)極端值的水平,不能反映其間的變量分布情況,同時(shí)易受極端值的影響。

極差 
  最直接也是最簡(jiǎn)單的方法,即最大值-最小值(也就是極差)來(lái)評(píng)價(jià)一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見,比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應(yīng)用。
  2.離均差的平方和 
  由于誤差的不可控性,因此只由兩個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們?cè)谝蟾叩念I(lǐng)域不使用極差來(lái)評(píng)判。其實(shí),離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差(我們叫它離均差)加起來(lái)就能反映出一個(gè)準(zhǔn)確的離散程度。和越大離散度也就越大。
  但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的,離均差有正有負(fù),對(duì)于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負(fù)問題,在數(shù)學(xué)有上有兩種方法:一種是取絕對(duì)值,也就是常說(shuō)的離均差絕對(duì)值之和。而為了避免符號(hào)問題,數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法--平方,這樣就都成了非負(fù)數(shù)。因此,離均差的平方和成了評(píng)價(jià)離散度一個(gè)指標(biāo)。
  3.方差(S2)
  由于離均差的平方和與樣本個(gè)數(shù)有關(guān),只能反應(yīng)相同樣本的離散度,而實(shí)際工作中做比較很難做到相同的樣本,因此為了消除樣本個(gè)數(shù)的影響,增加可比性,將離均差的平方和求平均值,這就是我們所說(shuō)的方差成了評(píng)價(jià)離散度的較好指標(biāo)。
  我們知道,樣本量越大越能反映真實(shí)的情況,而算數(shù)均值卻完全忽略了這個(gè)問題,對(duì)此統(tǒng)計(jì)學(xué)上早有考慮,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中樣本的均差多是除以自由度(n-1),它是意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個(gè)時(shí),它不可能再有自由了,所以自由度是n-1。
 ?、?離散程度的通俗解釋——波動(dòng)大小,
  ② 為什么要研究一組數(shù)據(jù)的離散程度。
  全面認(rèn)識(shí)一組數(shù)據(jù)的兩個(gè)特征:
  探索平均數(shù)的代表性。
  實(shí)際問題的需要。
 ?、厶剿魅绾伪硎疽唤M數(shù)據(jù)的離散程度——方差的形
  成過(guò)程。
  首先,極差——比較粗略;
  其次,平均差,比極差更全面,不常用;
  再次,選擇方差,但數(shù)值的單位與原數(shù)據(jù)單位不
  一致。
  最后,常用標(biāo)準(zhǔn)差。 δ = S2
 ?、芙y(tǒng)計(jì)含義的解釋——方差全面地平均地反映,
  標(biāo)準(zhǔn)差全面地直接地反映。
  偏離平均數(shù)——指與平均數(shù)的離差。
  平均的——指離差的平均數(shù)的平均值。
  全面的——指考慮了每個(gè)數(shù)據(jù)的離差。
  直接的——指數(shù)值單位與原數(shù)據(jù)單位一致。
  ⑤應(yīng)用條件——平均數(shù)相同。特殊情況,平均數(shù)相
  差很小、近似相等時(shí)也可以用,不
  受兩組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的差異限制。
  ⑥實(shí)際作用:
  1°直接比較:
  同一時(shí)間事物或現(xiàn)象的整齊性、均勻性、一致性的差異;
  不同時(shí)間過(guò)程的穩(wěn)定性、均衡性、一致性的差異;
  2°比較平均數(shù)的代表性:
  3°與平均數(shù)配合作統(tǒng)計(jì)分析:如:Vδ =
  4°樣本估計(jì)總體。樣本比較估計(jì)總體的差異,用樣本
  標(biāo)準(zhǔn)差,估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。
  *樣本估計(jì)總體的方法有兩個(gè):點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。
  只要求會(huì)點(diǎn)估計(jì),即直接用樣本的特征數(shù)作為總體
  相應(yīng)參數(shù)的估計(jì)值。
  4.標(biāo)準(zhǔn)差(SD)
  由于方差是數(shù)據(jù)的平方,與檢測(cè)值本身相差太大,人們難以直觀的衡量,所以常用方差開根號(hào)換算回來(lái)這就是我們要說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)差。
  5.變異系數(shù)(CV)
  標(biāo)準(zhǔn)差能很客觀準(zhǔn)確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,但是對(duì)于不同的項(xiàng)目,或同一項(xiàng)目不同的樣本,標(biāo)準(zhǔn)差就缺乏可比性了,因此對(duì)于方法學(xué)評(píng)價(jià)來(lái)說(shuō)又引入了變異系數(shù)CV。
  不過(guò)日常的質(zhì)控工作檢測(cè)的都是同一質(zhì)控物所以有標(biāo)準(zhǔn)差就足以反應(yīng)了,同時(shí)質(zhì)控的目的是發(fā)現(xiàn)有沒有實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤,要設(shè)制警報(bào)線,并不是要評(píng)價(jià)檢測(cè)方法,所以只可能使用標(biāo)準(zhǔn)差,而不用變異系數(shù)。
  頻數(shù)分布:
 ?、兕l數(shù)的通俗解釋:頻數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),小組里數(shù)據(jù)的個(gè)
  數(shù)。
 ?、跀?shù)據(jù)的分組整理——分三個(gè)步驟:
  一是確實(shí)分組的方法,先分組,這是整理的難點(diǎn),分
  組的方法,根據(jù)需要確定。分組的方法確定《課
  標(biāo)》不作要求。
  二是累計(jì)各小組的頻數(shù),并計(jì)算相應(yīng)的頻率,用頻數(shù)
  分布表表示整理的結(jié)果。
  三是根據(jù)頻數(shù)分布表畫出頻數(shù)分布直方圖。
 ?、塾^察頻數(shù)分布表和分布圖,獲得數(shù)據(jù)分布的信息和分布
  特征。
  1°數(shù)據(jù)分布最多,最集中(眾數(shù)組)和最少的小組;
  2°數(shù)據(jù)分布(頻數(shù))的變化趨勢(shì)與分布狀態(tài);
  3°中位數(shù)和平均數(shù)在哪個(gè)小組,是否是偏態(tài)分布;
  4°獲取所需要的其他數(shù)據(jù)信息。

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