因?yàn)樽帜阜?hào)表示數(shù)，所以我們可以將字母和數(shù)（實(shí)際上都是符號(hào)）一起進(jìn)行各種各樣的運(yùn)算，而且在運(yùn)算上滿足運(yùn)算律。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和分式等概念和運(yùn)算，從中可以發(fā)現(xiàn)，式的運(yùn)算在本質(zhì)上就是對(duì)符號(hào)運(yùn)用運(yùn)算律所進(jìn)行的形式運(yùn)算。例如，兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，就是利用分配律把它歸于單項(xiàng)式的乘積之和式來(lái)運(yùn)算，而單項(xiàng)式的乘積則是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算。本章主要討論如何對(duì)數(shù)和字母開平方而得到的特殊式子——二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，學(xué)生將建立起比較完善的代數(shù)式及其運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并為勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

本章教學(xué)約需8課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：

16．1 二次根式                         2課時(shí)

16．2 二次根式的乘除                   2課時(shí)

16．3 二次根式的加減                   2課時(shí)

數(shù)學(xué)活動(dòng)                               1課時(shí)

小結(jié)                                   1課時(shí)

一、本章內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．本章內(nèi)容

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖如下：

在“實(shí)數(shù)”一章中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根、算術(shù)平方根的概念，以及利用平方運(yùn)算與開平方運(yùn)算的互逆關(guān)系，求非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的方法。在此基礎(chǔ)上，本章將進(jìn)一步研究二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算，目的是以二次根式這一類典型的“式”為載體，進(jìn)一步學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)字、符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算的方法，體會(huì)通過(guò)符號(hào)運(yùn)算所得結(jié)果的一般性，進(jìn)而培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力。

本章重點(diǎn)是二次根式的運(yùn)算和運(yùn)算法則；難點(diǎn)是理解二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。實(shí)際上，運(yùn)算習(xí)慣的養(yǎng)成與符號(hào)意識(shí)的養(yǎng)成、運(yùn)算能力的形成緊密相關(guān)，這也是在整個(gè)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中需要注意的問(wèn)題。關(guān)于本章中如何加強(qiáng)符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力的培養(yǎng)問(wèn)題，我們?cè)诤竺娴慕虒W(xué)建議中再來(lái)討論。

本章分為三節(jié)。第一節(jié)研究二次根式的概念和性質(zhì)。教材通過(guò)幾個(gè)具體問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)的平方根和算術(shù)平方根的知識(shí)寫出結(jié)果，并概括它們的共同特點(diǎn)，引出二次根式的概念。理解被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)的要求是理解二次根式概念的關(guān)鍵，教材結(jié)合例題對(duì)此進(jìn)行了具體分析。一般地，代數(shù)學(xué)的研究遵循“概念——性質(zhì)——公式”的路線，因此教材接著采用從具體到抽象的方法，歸納出二次根式的性質(zhì)，并根據(jù)算術(shù)平方根的定義對(duì)這條性質(zhì)進(jìn)行了分析。對(duì)于另一條性質(zhì)，教材采用了同樣的處理方式。

二次根式的運(yùn)算中，乘除運(yùn)算比加減運(yùn)算更容易，并且是加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，因此教材先安排二次根式的乘除。顯然，運(yùn)算法則是運(yùn)算的依據(jù)，因此教材通過(guò)“探究”欄目，引導(dǎo)學(xué)生利用二次根式的性質(zhì)，從具體數(shù)字的運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而歸納得出二次根式的乘法法則、除法法則。最簡(jiǎn)二次根式的概念是加減運(yùn)算的基礎(chǔ)，實(shí)際上也是對(duì)二次根式運(yùn)算結(jié)果的一種要求，同時(shí)也為二次根式的運(yùn)算明確了方向。

第三節(jié)是二次根式的加減運(yùn)算。將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，二次根式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是對(duì)被開方數(shù)相同的二次根式作“合并同類項(xiàng)”。由于“在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立”，因此二次根式的加減運(yùn)算實(shí)際上是利用了分配律。教材按照這樣的思路，采用歸納的方法，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生概括了二次根式加減運(yùn)算法則，并通過(guò)幾個(gè)二次根式混合運(yùn)算的例題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則、整式的性質(zhì)和運(yùn)算法則之間的一致性。

2．本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

根據(jù)課標(biāo)的要求，確定本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

（1）了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由。

（2）了解最簡(jiǎn)二次根式的概念。

（3）理解二次根式的性質(zhì)：

≥0（a≥0）；；。

（4）了解二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單四則運(yùn)算。

（5）了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。

二、編寫時(shí)考慮的主要問(wèn)題

本章是初中階段“數(shù)—式”內(nèi)容的最后一章。實(shí)際上，二次根式并不是一個(gè)全新的概念，它是一個(gè)非負(fù)數(shù)，是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根概念的一般表示。因此，本章內(nèi)容，核心是以“二次根式”這一特殊的“式”為載體，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)算在代數(shù)中的核心地位，學(xué)習(xí)用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，體會(huì)運(yùn)算法則的邏輯相容性，體會(huì)數(shù)系運(yùn)算律在代數(shù)中的基礎(chǔ)地位。

1．一以貫之地進(jìn)行代數(shù)基本思想和方法的教學(xué)

我們知道，“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算，也即加、減、乘、除、乘方、開方等等。所有能用代數(shù)運(yùn)算加以表達(dá)的問(wèn)題統(tǒng)稱之為代數(shù)問(wèn)題?！倍皩W(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)，就是要學(xué)會(huì)善用運(yùn)算律去有效、有系統(tǒng)地解決多種多樣的代數(shù)問(wèn)題?！保?/span>見注1）前面，學(xué)生在“有理數(shù)”一章進(jìn)行了較系統(tǒng)的“數(shù)及其運(yùn)算”的學(xué)習(xí)，初步建立了研究數(shù)系擴(kuò)張、運(yùn)算法則和運(yùn)算律的“基本套路”，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了必要的代數(shù)基本思想和基本方法的基礎(chǔ)。在“實(shí)數(shù)”一章中，借助完全平方數(shù)、完全立方數(shù)，學(xué)生已經(jīng)了解了平方根、立方根的概念和求法；借助，π的幾何表示，以及用有理數(shù)逼近等方法，學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算有了初步體會(huì)。在“整式的加減”、“整式的乘法與因式分解”、“分式”等章中，學(xué)生學(xué)習(xí)了式的運(yùn)算法則以及用運(yùn)算律進(jìn)行式的運(yùn)算的方法。這些學(xué)習(xí)都為本章學(xué)習(xí)打下了思想方法的基礎(chǔ)。二次根式作為一類特殊的數(shù)，為學(xué)生進(jìn)一步理解實(shí)數(shù)及其運(yùn)算提供了載體。因此，如何使學(xué)生在本章的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)學(xué)的基本思想和基本方法，是編寫中考慮的一個(gè)核心問(wèn)題。具體做法上，循著如下思路展開：

二次根式的概念（定義研究對(duì)象）——二次根式的性質(zhì)——二次根式的運(yùn)算（運(yùn)算法則和運(yùn)算律的應(yīng)用）

其中，“概念”、“性質(zhì)”是“運(yùn)算”的基礎(chǔ)，在“運(yùn)算”中自然地提出“如何算”的問(wèn)題，并運(yùn)用運(yùn)算律而得到相應(yīng)的運(yùn)算法則，從而實(shí)現(xiàn)有效地、有系統(tǒng)地進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。

因?yàn)椤皻w納法是整個(gè)代數(shù)學(xué)的基本大法和基本功”，“歸納地去探索、發(fā)現(xiàn)，然后歸納地定義，再歸納地論證”（見注2）是解決代數(shù)問(wèn)題的基本過(guò)程，所以教材特別注意歸納法的應(yīng)用。例如，通過(guò)具體實(shí)例，從正數(shù)的平方根、算術(shù)平方根中歸納出研究對(duì)象二次根式；通過(guò)具體實(shí)例歸納二次根式的性質(zhì)；通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明（a≥0）是一個(gè)實(shí)數(shù)，進(jìn)而明確“這一類實(shí)數(shù)滿足怎樣的運(yùn)算法則”的問(wèn)題；所有運(yùn)算法則都是采用從特殊到一般的歸納方式得出的；等等。

2．以運(yùn)算為核心，加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

我們已經(jīng)反復(fù)地提及，運(yùn)算是整個(gè)代數(shù)學(xué)的根源所在。實(shí)際上，在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，“引入一種新的數(shù)，就要研究它的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算律”，這是代數(shù)的基本思路。這里，二次根式本身就是運(yùn)算的結(jié)果——對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算，一般化而得到二次根式，接著的研究主題就是“對(duì)這一類數(shù)如何進(jìn)行運(yùn)算”。所以，從數(shù)學(xué)教育的整體上看，在義務(wù)教育階段讓學(xué)生學(xué)習(xí)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，主要目的是以這一類實(shí)數(shù)（重點(diǎn)是無(wú)理數(shù)）的運(yùn)算問(wèn)題為載體，使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)運(yùn)算形成基本完整的認(rèn)識(shí)。教材充分注意到這一點(diǎn)，注意結(jié)合學(xué)生已有的實(shí)數(shù)知識(shí)。例如，對(duì)于二次根式的加減運(yùn)算，在“實(shí)數(shù)”一章中已經(jīng)以為例，使學(xué)生對(duì)“有理數(shù)的運(yùn)算律和運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)仍然成立”有所體驗(yàn)。本章在此基礎(chǔ)上，利用分配律給出了二次根式加法、減法的運(yùn)算法則，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)算律在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中的一致性。

值得注意的是，雖然《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)本章的內(nèi)容和要求規(guī)定為“了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念，了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算”，這樣就把本章的學(xué)習(xí)對(duì)象限定在了“根號(hào)下為數(shù)的二次根式”，但這是最低要求。為了使學(xué)生更全面地了解二次根式的運(yùn)算，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，也為今后高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，教材在正文中設(shè)置了“選學(xué)例題”，采用舉例的方式，讓那些學(xué)有余力的學(xué)生能夠?qū)W到“根號(hào)下為字母的二次根式”的運(yùn)算。由于數(shù)式通性，只要將二次根式中的實(shí)數(shù)看成字母，二次根式的運(yùn)算實(shí)際上就是整式的運(yùn)算，因此我們相信，這樣的內(nèi)容是可以被大多數(shù)學(xué)生所接受的。

為了加強(qiáng)二次根式與整式之間的聯(lián)系，強(qiáng)化用整式的運(yùn)算法則、乘法公式等簡(jiǎn)化二次根式運(yùn)算的方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，教材采取舉例的方式，在二次根式混合運(yùn)算的例題中，強(qiáng)調(diào)了利用多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，突出了二次根式運(yùn)算的本質(zhì)，并用“小貼士”醒目的標(biāo)明；在小結(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生概括，指出“二次根式的加減法與整式的加減法類似，只要將根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，去括號(hào)與合并被開方數(shù)相同的二次根式就可以了。二次根式的乘法與整式的乘法類似，以往學(xué)過(guò)的乘法公式等都可以用。二次根式的除法與分式的運(yùn)算類似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接約去?！?/span>

三、對(duì)教學(xué)的幾點(diǎn)建議

1．注意代數(shù)學(xué)的整體性

作為初中階段“數(shù)—式”內(nèi)容的最后一章，本章不僅承擔(dān)二次根式的知識(shí)的教學(xué)任務(wù)，而且也有整理“數(shù)與式”的內(nèi)容、方法和基本思想的任務(wù)。因此，教學(xué)時(shí)一定要有整體觀。具體包括：

（1）對(duì)于二次根式概念的教學(xué)，要從運(yùn)算的角度提出學(xué)習(xí)任務(wù)，在分析開方運(yùn)算的意義中使學(xué)生認(rèn)識(shí)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的合理性，并通過(guò)簡(jiǎn)單的變式，使學(xué)生養(yǎng)成“看到根號(hào)就要注意被開方數(shù)的符號(hào)”的習(xí)慣。

（2）對(duì)于二次根式的性質(zhì)，要注意從“考察特例”的角度提出問(wèn)題，并注意從聯(lián)系性中發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系。實(shí)際上，從算術(shù)平方根的意義可以直接得出和；同時(shí)，與二次根式的乘法法則相聯(lián)系，這一性質(zhì)還可以看成是在a＝b時(shí)的特例。

（3）對(duì)于二次根式的運(yùn)算，要注意放在“代數(shù)運(yùn)算”這個(gè)大系統(tǒng)下，加強(qiáng)“從概念到法則”、“利用運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算”、“利用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算”等思想方法的教學(xué)?？傊凇岸胃绞且活愄厥獾膶?shí)數(shù)，因此滿足實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，關(guān)于整式運(yùn)算的公式和方法也適用”的思想指導(dǎo)下，展開二次根式運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)和運(yùn)算技能的訓(xùn)練。

（4）由于本章內(nèi)容與以前所學(xué)的實(shí)數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系，在思考問(wèn)題的方法上與整式的內(nèi)容又有很多相通之處，因此，教學(xué)中一定要從聯(lián)系性上多做文章，使學(xué)生通過(guò)本章學(xué)習(xí)建立完整的代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步地體會(huì)代數(shù)問(wèn)題的基本研究方法。當(dāng)然，這種“聯(lián)系性的教學(xué)”應(yīng)該結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行。例如，通過(guò)具體例子，引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，二次根式的加減運(yùn)算核心是“合并同類二次根式”，而“同類二次根式”可以類比“同類項(xiàng)”而得到；還可以通過(guò)具體例子，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)整式中的乘法公式在二次根式的運(yùn)算中也成立；等等。

2．加強(qiáng)歸納法，使學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程

前已指出，教材對(duì)本章內(nèi)容的處理，一以貫之地用“從具體數(shù)字的算術(shù)平方根的運(yùn)算中觀察規(guī)律，歸納得出二次根式的性質(zhì)、運(yùn)算法則”的方式展開。因此，教學(xué)時(shí)一定要根據(jù)教材的這一編寫意圖，讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考、討論等，經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，歸納得出有關(guān)結(jié)論。例如，對(duì)于二次根式的乘法法則和除法法則，都應(yīng)該先讓學(xué)生利用二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行一些具體數(shù)字的計(jì)算，并觀察所得結(jié)果，發(fā)現(xiàn)二次根式相乘（除）與積（商）的算術(shù)平方根之間的關(guān)系；然后讓學(xué)生自己舉例，利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證性計(jì)算，最后歸納出二次根式的乘法、除法法則。

3．加強(qiáng)運(yùn)算技能訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力

在《課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出的十個(gè)關(guān)鍵詞中，與本章相關(guān)的關(guān)鍵詞很多。例如，數(shù)感（數(shù)及其運(yùn)算結(jié)果估計(jì)方面）、符號(hào)意識(shí)（用符號(hào)表示數(shù)、進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到具有一般性的結(jié)論）、運(yùn)算能力（根據(jù)法則和運(yùn)算律正確、合理、簡(jiǎn)潔地進(jìn)行運(yùn)算）、推理能力（通過(guò)歸納和類比得出性質(zhì)、運(yùn)算法則，從運(yùn)算法則出發(fā)進(jìn)行計(jì)算）等。這與前一個(gè)《課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）有較大的不同，我們應(yīng)該關(guān)注到這種變化，在本章教學(xué)中更加注重運(yùn)算能力的培養(yǎng)，具體地又要落實(shí)在運(yùn)算技能的訓(xùn)練上。

運(yùn)算技能的訓(xùn)練是代數(shù)教學(xué)的基本任務(wù)，本章的“訓(xùn)練點(diǎn)”在兩個(gè)方面。一是“用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算”，核心是有效地利用二次根式的性質(zhì)和乘法法則、除法法則，其中將各式轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)二次根式是關(guān)鍵步驟；二是運(yùn)算習(xí)慣的培養(yǎng)，與“數(shù)感”、“符號(hào)意識(shí)”等相關(guān)，具體可以從“先觀察，后計(jì)算”、“先化為最簡(jiǎn)二次根式，后計(jì)算”、“利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算”等方面著手。

由于本章在整個(gè)中學(xué)階段具有基礎(chǔ)性地位，因此，雖然教材以“讓學(xué)生理解二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，并會(huì)熟練運(yùn)用法則進(jìn)行運(yùn)算”為重點(diǎn)，突出二次根式的性質(zhì)和法則的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而對(duì)分母有理化、同類二次根式等概念采取淡化處理，只結(jié)合具體例子進(jìn)行說(shuō)明，但這并不意味著可以削弱分母有理化，以及將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式的方法等的教學(xué)。同時(shí)要注意，《課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）作出的“根號(hào)下僅限于數(shù)的二次根式的四則運(yùn)算”的限制是最低要求，教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)適當(dāng)加強(qiáng)含有字母的二次根式的化簡(jiǎn)、四則運(yùn)算。當(dāng)然，題目不能復(fù)雜化，不應(yīng)過(guò)分關(guān)注運(yùn)算技巧。

注1：項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)代數(shù)學(xué). 北京：人民教育出版社，2004，第1，8頁(yè)。

注2：項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)代數(shù)學(xué). 北京：人民教育出版社，2004，代序，第ⅹⅵ頁(yè)。