【本講教育信息】

一. 教學(xué)內(nèi)容：

三角恒等變形及應(yīng)用

二. 課標(biāo)要求：

1. 經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；

2. 能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

3. 能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。

三. 命題走向：

從近幾年的高考考查的方向來(lái)看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多，有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考查，主要題型有三角函數(shù)求值，通過(guò)三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。

本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問(wèn)題。歷年高考中，在考查三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還注重考查思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。

【教學(xué)過(guò)程】

一、基本知識(shí)點(diǎn)回顧

1. 兩角和與差的三角函數(shù)

；

；

。

2. 二倍角公式

；

；

。

3. 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)

（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③三角公式的逆用等。

（2）化簡(jiǎn)要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。

I. 降冪公式

；；。

II. 輔助角公式

，

。

4. 三角函數(shù)的求值類型有三類

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；

（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；

（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。

5. 三角恒等式的證明

（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；

（2）三角條件等式的證題思路是通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。

【典型例題】

例1. 已知，求cos。

解：由已知sin+sin=1…………①，

cos+cos=0…………②，

①²＋②²得 2+2cos；

∴cos。

點(diǎn)評(píng)：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos、sin、cos，但未知數(shù)有四個(gè)，顯然前景并不樂(lè)觀，其錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。

例2. 已知是方程的兩個(gè)實(shí)根，求。

分析：由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。

解一：由韋達(dá)定理得tan，

所以tan

解二：由韋達(dá)定理得tan，

所以tan

，

。

點(diǎn)評(píng)：（1）本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷，好的解法來(lái)源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運(yùn)用兩角和與差三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。（3）對(duì)公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如

例3. 化簡(jiǎn)下列各式：

（1），

（2）。

分析：（1）若注意到化簡(jiǎn)式是開(kāi)平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個(gè)平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點(diǎn)。

解：（1）因?yàn)?/span>，

又因，

所以，原式=。

（2）原式=

=。

點(diǎn)評(píng)：（1）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn)，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧。（3）公式變形，。

例4. 若。

分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。

解一：由，

解二：原式

點(diǎn)評(píng)：此題若將的左邊展開(kāi)成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運(yùn)用二倍角公式，問(wèn)題就化難為易，化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問(wèn)題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，

如，

，

等。

例5. 已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。

分析：從方程的觀點(diǎn)考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。

解一：由題設(shè)得

解二：

解三：

點(diǎn)評(píng)：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過(guò)模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式，，或在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn)，所以解法三最佳。

例6. （2000全國(guó)理，17）已知函數(shù)y＝cos²x＋sinxcosx＋1，x∈R.

（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；

（2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?

（1）解：y＝cos²x＋sinxcosx＋1

＝（2cos²x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1

＝cos2x＋sin2x＋

＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋

＝sin（2x＋）＋

y取得最大值必須且只須2x＋＝＋2kπ，k∈Z，

即x＝＋kπ，k∈Z。

所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝。

（2）將函數(shù)y＝sinx依次進(jìn)行如下變換：

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象；

②把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y＝sin（2x＋）的圖象；

③把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y＝sin（2x＋）的圖象；

④把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin（2x＋）＋的圖象；

綜上得到函數(shù)y＝cos²x＋sinxcosx＋1的圖象。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。

例7. （2000全國(guó)文，17）已知函數(shù)y＝sinx＋cosx，x∈R.

（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；

（2）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?

解：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈R

y取得最大值必須且只須x＋＝＋2kπ，k∈Z，

即x＝＋2kπ，k∈Z。

所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝

（2）變換的步驟是：

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin（x＋）的圖象；

②令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)

y＝2sin（x＋）的圖象；

經(jīng)過(guò)這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖象。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。

例8. （06北京理，15）已知函數(shù).

（Ⅰ）求的定義域；

（Ⅱ）設(shè)為第四象限的角，且，求的值。

解：（Ⅰ）由 得，

故的定義域?yàn)?/span>

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，且是第四象限的角,

所以

故

。

點(diǎn)評(píng)：本題作為高考題的第一大題出現(xiàn)，考查基礎(chǔ)的三角函數(shù)的性質(zhì)和三角變換.

例9. （06重慶理，17）設(shè)函數(shù)f（x）=cos²ωx+sinxcosx+a（其中＞0,aR）,且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果f（x）在區(qū)間上的最小值為，求a的值。

解：（I）

依題意得 .

（II）由（I）知，。

又當(dāng)時(shí)，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故

例10. （06上海理，17）求函數(shù)＝2＋的值域和最小正周期。

解：y=cos（x+） cos（x－）+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

∴函數(shù)y=cos（x+） cos（x－）+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

例11. 已知向量

（I）若求     （II）求的最大值。

解：（1）_；

當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí)_，最大值為_。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查以下知識(shí)點(diǎn)：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計(jì)算量不大。

例12. 有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形，即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積.

分析：本題入手要解決好兩個(gè)問(wèn)題，

（1）內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖所示，應(yīng)該分別予以處理；

（2）求最大值問(wèn)題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量。

解：如圖（1），設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ，

，

。

又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故當(dāng)cos（2θ－60°）＝1，即θ=30°時(shí)，

如圖（2），設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin（30°－θ），在△OFG中，∠OGF＝150°

設(shè)矩形的面積為S。

那么S＝EF·FG＝4R²sinθsin（30°－θ）

＝2R²［cos（2θ－30°）－cos30°］

又∵0＜θ＜30°，故當(dāng)cos（2θ－30°）＝1

。

［思維小結(jié)］

從近年高考的考查方向來(lái)看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點(diǎn)內(nèi)容，在一定程度上制約著在高考中成功與否。

1. 兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）不僅對(duì)公式的正用逆用要熟悉，而且對(duì)公式的變形應(yīng)用也要熟悉；

（2）善于拆角、拼角

如，等；

（3）注意倍角的相對(duì)性

（4）要時(shí)時(shí)注意角的范圍

（5）化簡(jiǎn)要求

熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。

2. 證明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

3. 解答三角高考題的策略。

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。

（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。

4. 加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練

1999年高考理科第20題實(shí)質(zhì)是一個(gè)三角問(wèn)題，由于考生對(duì)三角函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)實(shí)踐第一的觀點(diǎn).總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問(wèn)題以及三角變換的方法。

5. 變?yōu)橹骶€、抓好訓(xùn)練

變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強(qiáng)化變換意識(shí)是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見(jiàn)問(wèn)題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律。

針對(duì)高考中的題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個(gè)含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng)，這也是高考的重點(diǎn)。同時(shí)應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目。

【模擬試題】

一、選擇題

1. 化簡(jiǎn)sin600°的值是（    ）

A.                 B.              C.                    D.

2. 若，，則的值是（    ）

A.                      B.                 C.                       D.

3. 若，則等于（    ）

A.             B.            C.              D.

4. 如果弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（    ）

A.           B.           C.             D.

5. 已知，那么下列命題成立的是（    ）

A. 若是第一象限角，則

B. 若是第二象限角，則

C. 若是第三象限角，則

D. 若是第四象限角，則

6. 若為銳角且，則的值為（    ）

A.               B.                C.                       D.

二、填空題

1. 已知角的終邊與函數(shù)決定的函數(shù)圖象重合，的值為_____________。

2. 若是第三象限的角，是第二象限的角，則是第         象限的角。

3. 在半徑為的圓形廣場(chǎng)中央上空，設(shè)置一個(gè)照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個(gè)廣場(chǎng)，則其高應(yīng)為_______（精確到）

4. 如果且那么的終邊在第         象限。

5. 若集合，，

則=_______________________________________。

三、解答題

1. 角的終邊上的點(diǎn)與關(guān)于軸對(duì)稱，角的終邊上的點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，求之值。

2. 一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為，求扇形的半徑，圓心角各取何值時(shí)，此扇形的面積最大？

3. 求的值。

4. 已知其中為銳角，求證：。

【試題答案】

一、選擇題  

1. D  

2. A 

3. B 

4. A  作出圖形得

5. D  畫(huà)出單位圓中的三角函數(shù)線可得出答案

6. A  

二、填空題

1.  在角的終邊上取點(diǎn)

2. 一或三 

3.   

4. 二  

5.  

三、解答題

1. 解：

    。

2. 解：設(shè)扇形的半徑為，則

當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)

3. 解：

4. 證明：由得即

而，得，即

得而為銳角，