變量與函數(shù)

紫曦唯冪1 2012-11-29

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變量與函數(shù)一. 教學(xué)內(nèi)容：

變量與函數(shù)

1. 變量和函數(shù)的有關(guān)定義.

2. 如何確定自變量的取值范圍，如何確定實際問題的函數(shù)關(guān)系式，并會求出函數(shù)值.

3. 怎樣用描點法畫簡單函數(shù)的圖像，函數(shù)的三種表示方法.

二. 知識要點：

1. 變量與常量

在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.

區(qū)別變量與常量的方法就是：看它們在這一“變化過程中”數(shù)值是否發(fā)生變化.

如：以60千米/時的速度勻速行駛的汽車，路程s隨時間t而變化，其中__________是不變的，所以是常量，__________和__________都是變化的，所以是變量.

2. 函數(shù)

一般地，在某一變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).

（1）函數(shù)涉及兩個變量，不是一個，也不是兩個以上. 如y＝xz表示的就不是函數(shù)關(guān)系.

（2）對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng). 如y²＝x，y不是x的函數(shù)，而y＝x²，y是x的函數(shù).

3. 函數(shù)值

三. 重點難點：

1. 重點：函數(shù)的一般概念，即變化與對應(yīng)意義下的函數(shù)定義是本講的重點.

2. 難點：由于函數(shù)概念的含義比較抽象、深刻，往往不能一下子從其定義的文字真正地理解它. 突破難點的辦法是由具體例子逐步過渡到抽象定義，多分析歸納具體問題，在具體問題中理解定義.

【典型例題】

例1. 常量和變量在研究“某一變化過程中”時是確定的，以s＝vt為例（t為時間，v為速度，s為路程）：

①若速度v固定，則常量是__________，變量是__________；

②若時間t固定，則常量是__________，變量是__________.

分析：①速度v固定，即在這個變化過程中v的取值保持不變，此時s隨t的變化而變化，可以取不同的數(shù)值，故v為常量，s和t為變量；②t固定，即為常量，此時s和v可以取不同的數(shù)值，是變量.

解：①v，s、t；②t，s、v

評析：確定變量與常量時應(yīng)具體問題具體分析.

例2. 已知變量x與y的四種關(guān)系：y＝︱x︱，︱y︱＝x，2x²－y＝0，2x－y²＝0其中y是x的函數(shù)的有__________個.

分析：依函數(shù)定義，︱y︱＝x與2x－y²＝0中，x每取一個大于0的值，y都有兩個與之對應(yīng)，例如x＝4時，︱y︱＝4有y＝±4，故y不是x的函數(shù)；只有y＝︱x︱和2x²－y＝0中y是x的函數(shù).

解：2

評析：本題沒有指出變量x與y哪個是自變量，哪個是函數(shù)，但是由問題“y是x的函數(shù)”可判斷x是自變量.

（2）（2007年眉山）在某次實驗中，測得兩個變量m和v之間的4組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：

m	1	2	3	4
v	0.01	2.9	8.03	15.1

則m與v之間的關(guān)系最接近于下列各關(guān)系式中的（）

A. v＝2m－2 B. v＝m²－1

C. v＝3m－3 D. v＝m＋1

解：（1）20（2）B

評析：（1）求函數(shù)值，實質(zhì)上就是將自變量的值代入函數(shù)關(guān)系式，求代數(shù)式的值. （2）有些實際問題不能準確地用函數(shù)解析式表示，但可以用一個近似關(guān)系式表示.

例5. 拖拉機開始工作時，油箱中有油30升，每小時耗油5升.

（1）寫出油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數(shù)表達式；

（2）求出自變量t的取值范圍；

（3）畫出函數(shù)的圖像.

分析：由于函數(shù)圖像是函數(shù)關(guān)系的反映，因此所畫的圖像要與自變量的取值范圍相一致，本題中自變量t的取值范圍是0≤t≤6，因此它的圖像是直線Q＝－5t＋30上的一部分（即一條線段）.

解：（1）所求的函數(shù)關(guān)系表達式為Q＝－5t＋30；

（2）自變量t的取值范圍是0≤t≤6；

（3）①列表：

評析：寫函數(shù)關(guān)系式之前，要認真分析題意，看一個量是如何隨另一個量的變化而變化的，找出它們之間的數(shù)量關(guān)系，然后用含一個量的式子來表示另一個量. 在求自變量的取值范圍時，要注意自變量的實際意義，而其中應(yīng)特別關(guān)注臨界點是否能取到——看實際中是否存在這種情形.

例6. （2008年浙江金華）三軍受命，我解放軍各部隊奮力進入抗震救災(zāi)一線. 現(xiàn)有甲、乙兩支解放軍小分隊將救災(zāi)物資送往某重災(zāi)小鎮(zhèn)，甲隊先出發(fā)，從部隊基地到小鎮(zhèn)只有唯一通道，且路程為24km，如圖是他們行走的路線關(guān)于時間的函數(shù)圖象，四位同學(xué)觀察此函數(shù)圖象得出有關(guān)信息，其中正確的個數(shù)是（）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

分析：根據(jù)題意，過原點的那條曲線是甲隊的圖象，另一條是乙隊的圖象. 在4.5小時處甲、乙所走過的路程相等，則乙隊出發(fā)2.5小時后追上的甲隊；乙隊到達小鎮(zhèn)用了6－2＝4小時，平均速度是24÷4＝6 km/h；甲隊比乙隊早出發(fā)2小時，他們同時到達的小鎮(zhèn)；甲隊到達小鎮(zhèn)用了6小時，從3小時到4小時，路程沒有變化，表示停頓了1小時.

解：D

評析：函數(shù)的圖象是一個由點組成的曲線，其中所有點的橫坐標的集合恰好是自變量的取值范圍. 各點的縱坐標，分別是自變量取值為各橫坐標時對應(yīng)的函數(shù)值.

【方法總結(jié)】

學(xué)習函數(shù)圖象時，注意由圖象分析函數(shù)的變化趨勢的學(xué)習，由圖象分析數(shù)量變化規(guī)律是研究問題的方法之一.

【模擬試題】（答題時間：45分鐘）

一. 選擇題

1. 若一輛汽車以50千米/時的速度勻速行駛，則行駛的路程s（千米）與行駛的時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）

A. s＝50＋50t B. s＝50t

C. s＝50－50t D. 以上都不對

2. 下列變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）

A. 長方形的寬一定，其長與面積

B. 正方形的周長與面積

C. 圓的半徑與面積

D. 等腰三角形的底邊長與面積

*5. （2007年鹽城）如圖，烏鴉口渴到處找水喝，它看到了一個裝有水的瓶子，但水位較低，且瓶口又小，烏鴉喝不著水，沉思一會后，聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升后，烏鴉喝到了水. 在這則烏鴉喝水的故事中，設(shè)從烏鴉看到瓶的那刻起向后的時間為x，瓶中水位的高度為y，下列圖象中最符合故事情景的是（）

**6. 學(xué)校春季運動會期間，負責發(fā)放獎品的張也同學(xué)，在發(fā)放運動鞋（獎品）時，對運動鞋的鞋碼統(tǒng)計如下表：

新鞋碼（y）	225	245	…	280
原鞋碼（x）	35	39	…	46

如果獲獎運動員李偉領(lǐng)取的獎品是43（原鞋碼）的運動鞋，則這雙運動鞋的新鞋碼是（）

A. 270 B. 255

C. 260 D. 265

10. （2007年浙江金華）自由下落的物體的高度h（米）與下落的時間t（秒）的關(guān)系為h＝4.9t². 現(xiàn)在有一鐵球從離地面19.6米高的建筑物的頂部做自由下落運動，到達地面需要的時間是__________秒.

11. 一個梯形的上底長為5，下底長為x，高為6，則梯形的面積y與下底長x之間的函數(shù)關(guān)系式是__________，當下底x＝7時，梯形面積y＝__________.

12. 函數(shù)y＝ax²＋3x的圖像經(jīng)過點（－1，1），則a＝__________.

**13. （2008年四川成都）某農(nóng)場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，又調(diào)來乙播種機參與播種，直至完成800畝的播種任務(wù)，播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那么乙播種機參與播種的天數(shù)是__________.